函数零点个数问题赏析————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：近年高考试卷中的N 型函数零点个数问题赏析近些年来，有不少的N 型函数零点个数问题出现在不同年份、不同省区与全国的高考试卷中，这不能不成为高考的热门话题和需要我们研究并指导高三学生进行科学备考的一个重点内容。

什么是N 型函数零点个数问题呢，就是含参函数()y f x =在其定义域内连续可导，有两个极值点1x 、2x 并将其定义域分成三个单调区间，通常是“增减增”或“减增减”，在此条件的基础上，方程()0f x =或()f x m =的根的个数与参数取值范围相关的问题。

这里注意：函数()y f x =在其靠近定义域两端点时，函数值会很大或很小（即一端足够大，大于极大值；一端足够小，小于极小值）。

N 型函数有哪些呢？一可能是三次函数32()f x ax bx cx d =+++(0)a ≠，二可能是函数2()ln()f x ax bx x t =+++(0)a ≠，它们在定义域内都必须有两个极值点。

例1、（2006年福建高考卷）已知函数2()8f x x x =-+，()6ln g x x m =+。

（Ⅰ）求f (x )在区间[,1]t t +上的最大值()h t ；（Ⅱ）是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。

解析：（Ⅰ）略；（Ⅱ）构作函数2()()()86ln x f x g x x x x m ϕ=-=-++，0x >；求导得：22862(1)(3)'()x x x x x x xϕ-+--==，0x >，函数单调性与极值列表如下：x(0,1) 1 (1,3)3 (3,)+∞ '()x ϕ+-+()x ϕ7m ϕ=-极大6ln 315m ϕ=+-极小依题意，转化为函数()x ϕ图象与x 轴的交点为3时情形，当x 充分接近0时，()0x ϕ<，当x充分大时，()0x ϕ>，为此有：707156ln 36ln 3150m m m ϕϕ=->⎧⇒<<-⎨=+-<⎩极大极小。

故m 的取值范围为7156ln3-（，）。

例2、（2008年四川高考卷）已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点。

（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值范围。

解析：（Ⅰ）（Ⅱ）略；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()()()216ln 110,1,f x x x x x =++-∈-+∞，()()22432(1)(3)11x x x x f x xx-+--'==++，()1,x ∈-+∞，故函数单调性与极值情况如下表：因此，()()21616101616ln 291f f =-⨯>-=，()()213211213f e f --<-+=-<， 所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞上，直线y b =与()y f x =的图象有三个交点，当且仅当()()31f b f <<；因此，b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--。

例3、（2009年陕西高考卷·文）已知函数3()31,0f x x ax a =--≠。

（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 在1x =-处取得极值，直线y m =与()y f x =的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围。

解析：（Ⅰ）略；（Ⅱ）因为()f x 在1x =-处取得极大值，所以()213(1)30f a '-=⨯--=，得：1a =，继而3()31f x x x =-+，2()33f x x '=-，由()0f x '=解得121,1x x =-=。

如下表因为直线y m =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，又(3)193f -=-<-，(3)171f =>，结合()f x 的单调性可知，m 的取值范围是3-（，1）。

评述：以上三例为两个函数图象（或一条直线与一个函数图象）有三个不同交点的问题，都可以转化为一个N 型函数()f x 有三个零点问题，即方程()0f x =或()f x m =有三个根的问题，列相应不等式组， 00f f >⎧⎨<⎩极大极小或f m f <<极小极大，解出参数范围，如下图。

x(1,1)- 1 (1,3) 3(3,)+∞ '()f x +-+()f x16ln 29f =-极大32ln 221f =-极小x(,1)-∞-1- (1,1)- 1 (1,)+∞ ()f x ' +-+()f x1f =极大3f =-极小()y f x =()y f x =1x2x2x1xxf >极大例4、（2007年全国高考Ⅱ卷）已知函数3()f x x x =-。

（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（Ⅱ）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<。

解析：（Ⅰ）切线方程为： 23(31)2y t x t =--。

（Ⅱ）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--，即32230t at a b -++=。

于是，若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根。

记32()23g t t at a b =-++，则 2()66g t t at '=-6()t t a =-。

当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：t (0)-∞， 0 (0)a ， a()a +∞， ()g t ' +0 -+()g t极大值a b +极小值()b f a -由()g t 的单调性，当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时，方程()0g t =最多有一个实数根；当0a b +=时，解方程()0g t =得302at t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根； 当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2at t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根． 综上，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则()0a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即()a b f a -<<。

例5、（2010年湖北高考卷·文）设函数221()32a f x x x bx c =-++，其中0a >，曲线()y f x =在点(0,(0))p f 处的切线方程为1y =。

（Ⅰ）确定,b c 的值；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点1122(,())(,())x f x x f x 及处的切线都过点（0,2）.证明：当12x x ≠时，12()()f x f x ''≠；（Ⅲ）若过点(0,2)可作曲线()y f x =的三条不同切线，求a 的取值范围。

解析：（Ⅰ）（Ⅱ）略；（Ⅲ） 321()132a f x x x =-+， 2'()f x x ax =-。

由于点(,())t f t 处的切线方程为()()()y f t f t x t '-=-，而点（0,2）在切线上，所以2()()(0)f t f t t '-=-，化简得3221032a t t -+=，即t 满足的方程为3221032at t -+=。

过点（0,2）可作()y f x =的三条切线，等价于方程2()()(0)f t f t t '-=-有三个相异的实根，即等价于方程3221032a t t -+=有三个相异的实根。

设322()132a g t t t =-+，则2()2g t t at '=-。

令2()2g t t at '=-＝0得120,(0)2a x x a ==>列表如下：t(.0)-∞0 (0,)2a2a (,)2a+∞ ()g t ' ＋－＋()g t↗ 极大值1 ↘极小值3124a -↗由322()132a g t t t =-+的单调性知，要使322()132ag t t t =-+=0有三个相异的实根，当且仅当10>，31024a -<，即323a >。

故a 的取值范围是323+∞（，）。

例6、（2008年湖南高考卷·文）已知函数43219()42f x x x x cx =+-+有三个极值点。

（Ⅰ）证明：275c -<<；（Ⅱ）若存在c ，使函数()f x 在区间[]2a a +，上单调递减，求a 的取值范围。

解析：（I ）证明：因为函数43219()42f x x x x cx =+-+有三个极值点，也即 32()390f x x x x c '=+-+=有三个互异的实根。

设32()39g x x x x c =+-+，则2()3693(3)(1)g x x x x x '=+-=+-，其单调性与极值如下表：由于()0g x =有三个不同实根，所以(3)0g ->且(1)0g <。

即2727270c -+++>，且1390c +-+<，解得27,c >-且5,c <故275c -<<。

（II ）略。

评述：例4、例5为过某定点可作曲线（或函数图像）的三条切线的条件问题，此问题可以转化为一个N 型函数有三个零点问题，即方程()0f x =或()f x m =有三个根的问题。

而例6则是原函数()f x 有三个极值点的问题，它等同于其导函数()f x '（是N 型函数）有三个零点问题，即可转化为方程()0f x '=有三个根的问题。

例7、（2005年全国高考Ⅱ卷·文）设a 为实数，函数32()f x x x x a =--+。

（Ⅰ）求()f x 的极值；（Ⅱ）当a 在什么范围内取值时，曲线()y f x =与x 轴仅有一个交点。

解析：(I)2()321f x x x '=--，令()0f x '=，则113x =-，21x =。