m
2. 本征函数的封闭性也可看作 (x)
函数按本征函数展开，而展开系数恰为本
征函数的复共轭。
(x x) cxnn (x)
n
c
x n
*n (x)(x x)dx *n (x)
(x x) n (x)*n (x)
n
Ⅳ . 算符的共同本征函数 一次测量有一“涨落”
A Aˆ 2 (,Aˆ 2) (,(Aˆ Aˆ )2)
是不对的 。仅当 a2 0 才成立。
3. 函数的导数 函数具有任何级的导数，可以证明
(n)(x x0 )f (x)dx (1)nf (n)(x0 )
(m) (x) (1)m (m) (x)
(m) (y x)(n) (x a)dx (mn) (y a)
x(n) (x) n(n1) (x)
Ⅵ . 算符的共同本征函数 A. 算符“涨落”之间的关系 B. 算符的共同本征函数组
B. 函数 1. 函数的定义和表示 函数不是一般意义下的函数，而
是一分布。但习惯上仍将它看作一函数。
其重要性和意义在积分中体现出来 它可用一函数的极限来定义
（1）
(x)
0
x0 x0
（2）
b
a
f
(x)(x
第十讲回顾
第四章 量子力学中的力学量 Ⅰ. 表示力学量算符的性质
D. 厄米算符 E. 厄米算符的性质 Ⅱ. 厄米算符的本征值和本征函数 A. 算符的本征方程
B. 力学量算符的本征值和本征函数 性质
C. 测量结果的概率 D. 直接可观测的力学量的本征函数
构成一完备组。 Ⅲ. 连续谱本征函数的“归一化”
cnn
n
Ⅲ. 连续谱本征函数的“归一化”
A. 连续谱本征函数“归一化”
◉ 连续谱“归一化”的本征函数
应满足
( , ) ( )
而
0 (x x0 )
x x0 0 x x0 0
b
a
f
(x)(x
x0 )dx
f
(x0 ) 0
a x0 b (a,b) x0
“正交归一”的动量本征函数为
,
3
2
-
1
1, 2 1, 1
,
2
-
1
1, 2 1, 1
0
得
2
,
2
2 , 1
1, 2 1, 1
1, 2 * 1, 1
1 ,
2
1 , 1
2 * , 1
1, 2 1, 1
1
,
1
0
从而证得：
(1, 1) 2, 2 2, 12
2. 算符“涨落”之间的关系－不确定 关系：
Aˆ 2 Bˆ 2 1 *[Aˆ , Bˆ ]dx 2 4
定值 ，则体系处于 un ，它满足方程
Aˆ un Anun
称上述方程为算符的本征方程
量子力学第三个基本假设：在量子力学 中，一个直接可观测的力学量，对应于一
个线性厄米算符 Aˆ ；当对体系进行该力学
量的测量时，一切可能测得值，只能是算 符的本征方程的本征值。
例 轨道角动量在 z 方向分量 Lˆ Z 的本 征值和本征函数。
显然
1 eizx
U(x) 2i c z dz
(x) U(x) 1 eizxdz 2 c
1 eikxdk
2
下面给出另一些 δ 表示式（作为函数 参量极限）
c
δ
(x)
1 π
lim
α 0
x2
α α
2
1 lim sin Lx L x
lim eix 2 i
lim 1 ex 2 0
mxm(m1) (x) xm1(m) (x) 0
xm1(m)(x) 0
例：求 xu(x) (x) 之解 因 x(x) (x) , 所以特解是 (x)
而相应齐次方程是
xu(x) 0
有解 (x) 。从而得通解
u(x) (x) c(x)
事实上
xu(x) (x) u(x) (x) c(x)
)dx
2
0
x
lim
0
(x2
)2
2 dx
1
lim
0 0
(x2
)2
2dx 2
1
lim
0
y2
2 dy
1
lim ( arctan )
0 2
1
x
(x 2
)dx
1
2 0
所以，
(x)
x
(x
2
)
1 2
(x)
0
0 0 0
0 0 0
这表明，无条件地给出等式
x (x2 ) (x)
两个算符，在一个态中，一般都有涨 落，Aˆ 2 ，Bˆ 2 不同时为零。在什么条件
下，Aˆ ，Bˆ 有共同本征函数组
A. 算符“涨落”之间的关系 1. Schwartz不等式
如果 1 , 2 是任意两个平方可积的
波函数，则
1, 12, 2 1, 2 2
证：令
3
2
-
1
1, 2 1, 1
而
3
(x) cnun (x) cn u*n (x)(x)dx
n
u
已归一化
n
所以
(x)
n
un
(x)u*n
(x)(x)dx
由此可见，
un(x)u*n(x) (x x)
n
上述表示式称为本征函数的封闭性，
它表明本征函数组可构成一 函数
例1 Lˆ z 的本征函数
m
1 eim 2
m 0,1,2,3
1 [(, Aˆ Bˆ ) (, Bˆ Aˆ )]
2i
1 ,[Aˆ , Bˆ ] 2
(, Aˆ ) (Aˆ †, ) (Aˆ , ) (, Aˆ )*
3. 在任何状态下，平均值为实的线性 算符必为厄米算符。
(, Aˆ ) (, Aˆ )* (Aˆ , )
显然，若 Aˆ 是厄米算符，则
Aˆ 2 0
Ⅱ.厄米算符的本征值和本征函数 A. 算符的本征方程 要使“涨落”为零，即测量值只取确
xm1(m) (x) 0
x(x) 0 x(x) (x)
假设 x(n1) (x) (n 1)(n2) (x)
(n1)(x) x(n)(x) (n 1)(n1)(x)
xn (x) n(n1) (x)
x(x) 0
假设 xm(m1) (x) 0
mxm1(m1) (x) xm(m) (x) 0
m ()
1 eim 2
lz m
m 0, 1, 2
要求 Lˆ Z 是厄米算符（保证本征值为实
数）
lz
1 , 3 , 5 , 2 2 2
0, 1, 2, 3,
B. 力学量算符的本征值和本征函数性质 1. 力学量的每一可取值都是实数（即 本征值）；
2. 相应不同本征值的本征函数是正交 的
2. 函数的性质 下面给出 函数的性质，是表示当
它们在积分中出现时，左边表示可被右边 表示代替
(x) (x)
(ax) 1 (x) a
x(x) 0
b
f (x)(x a)dx f (a) b b
f (x)(x a)dx f (a) b
b,b a
b0
b
f (x)x(x)dx f (0) 0 0 b
x1
))
例
(x2 a2 )
1
(x a)
1
(x a)
(x2 a2 )
(x2 a2 )
xa
xa
1 (x a) 1 (x a)
2a
2a
1 (x a) (x a)
2x
于是有推论
x (x2 ) (x)
但是由
x (x2 )dx
0
x(x2 )dx x(x2 )dx
0
i[Aˆ , Bˆ ] A B
2
证明： 如令
1 (Aˆ A) 2 (Bˆ B)
1,2 2
1 2i
1,
2
2
, 1
2
1 2i
(Aˆ A), (Bˆ B)
(Bˆ B), (Aˆ A)
2
1 2i
, (Aˆ A)(Bˆ B)
, (Bˆ B)(Aˆ A)
2
＝ 1 , Aˆ Bˆ Aˆ B ABˆ AB , Bˆ Aˆ BAˆ Bˆ A BA 2i
k(x)
1 eikx 2
或
px (x)
1 eipxx 2
“正交归一”的坐标本征函数
x(x) (x x)
◉ 任一波函数可按其展开
(x) cd
c 2 d 为测量 ˆ 取值在区域 d
中的概率
4.4 4.5 4.9 4.14
第 十 一讲
Ⅲ. 连续谱本征函数的“归一化” B. 函数 C. 本征函数的封闭性
的态必可表为
c11 c22 c33
所以，在一体系中（以 描述），
测量力学量 Aˆ ，取值 An的概率幅为
Ci
(
ci cj 2 )1
2
(n , ) (n ,n )1 2(,)1
2
j
D. 直接可观测的力学量的本征函数构成 一完备组。
如 n 是力学量 Aˆ 的本征函数组， 则任一波函数可以以 n 表示
推论：如有方程 A B ，则
A B c(x) xx
例 x d ln x 1, 所以， dx
d ln x 1 c(x)
dx
x
由于
b
d dx
ln
xdx
ln
b
ln
a
a
b
1 x
dx