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信号的展缩 信号 平移、倒置、展缩 同时都有的变换
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一.信号的自变量的变换（波形变换）
1.信号的平移 2.信号的倒置 3.信号的展缩 4.一般情况
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1.信号的平移
将信号 f (t ) 沿 t轴平移 τ即得时移信号 f (t − τ ) , τ为时间常数
f (t ) → f (t − τ )
频率：f 角频率：ω = 2πf 初相：θ
衰减正弦信号：书上p7 图1-7
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欧拉(Euler)公式
1 jω t sin ωt = e − e − jω t 2j
1 jω t cos ωt = e + e − jωt 2
(
)
(
)
e jω t = cos ωt + j sin ωt
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正弦信号的性质
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2. 倒置(翻转)
f (t ) → f (− t )
以纵轴为轴折叠
f (t )t ) (−
例：
f (t )
1
1
1
− 2 −1 0
t
−1 0
1 2
t
把信号的过去与未来对调。
没有可实现此功能的实际器件。数字信号处理中可 以实现此概念，例如堆栈中的“后进先出” 。
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3. 信号的展缩
f (t ) → f (at )
注意！
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f (t )
例题 已知f(t)，求f(3t+5)。
解 方法1：先时移，再标度变换
f(t)→f(t+5) →f(3t+5)
−6 −5 −4
f ( t + 5)
1
−1 0 1 f (3t + 5)
t
1 t
f ( 3t )
1
−1 301 3
−2
− 4 3
1 t
方法2：先压缩， 后移动 验证： 计算特殊点
t
−
τ O
2
t
τ
2
t
τ
−
τ
2 t
τ
∫−∞ f (τ )dτ
τ
2 t
τ O
2
(− 1)
−
τ O
2
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§1.4阶跃信号和冲激信号
主要内容 单位斜变信号 单位阶跃信号 单位冲激函数 冲激偶信号 重点 难点
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单位冲激信号 单位冲激信号，冲激偶
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本节介绍
函数本身有不连续点(跳变点)或其导数 与积分有不连续点的一类函数统称为奇异信 号或奇异函数。 主要内容 •单位斜变信号 •单位阶跃信号 •单位冲激信号 •冲激偶信号
宗量t t=-1 t=0 t=1
f (3t + 5)
1
t
−2
−4 3
t
宗量3t+5 3t+5=-1，t=-2 3t+5=0，t=-5/3 3t+5=1，t=-4/3
函数值 1 1 0
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二. 信号的时域运算
1.相加和相乘 2.微分和积分
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1.相加和相乘
sin ω t
同一瞬时两信号对应值相加（相乘）。
e (t )
x (n )
r (t )
y (n)
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§1.2 信号的描述与分类
主要内容 信号的分类 信号的描述 典型确定性信号介绍 重点 典型确定性信号的描述 难点 复指数信号，抽样信号
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几种典型确定性信号
1.指数信号 2.正弦信号 信号的表示 函数表达式 f (t ) 波形
3.复指数信号(表达具有普遍意义) 4.抽样信号(Sampling Signal)
5.钟形脉冲函数(高斯函数)
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1.指数信号
f ( t ) = Ke
αt
α = 0 直流(常数), α <0 , α >0 f (t )
单边指数信号
1
α <0
f (t )
α >0 α =0
t
K
0
0
t
⎧0 ⎪ f (t ) = ⎨ − t ⎪e τ ⎩
• 其微分积分仍然是正弦信号，即
π d d f ( t ) = [ K sin(ωt + θ )] = ωK sin[ωt + θ + ] dt 2 dt
幅度增至 ω 倍，初相增加了 π / 2。
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3.复指数信号
f ( t ) = Ke
st
( −∞ < t < ∞ )
= Ke σ t cos ω t + jKe σ t sin ω t
f(t/2) 1 2
时间尺度压缩：t → t 2 ,波形扩展
f(t)→f(2t)
f (t )
(( f f 2t )
2
1
2
1
0
t
T
宗量相同，函数值相同
0 T /2
t
求新坐标
t 0 T
f(t) 1 2
2t 0 T
f(2t) 1
2
t 0 T/2
f(２t) 1 2
t→2t，时间尺度增加，波形压缩。
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比较
由泰勒级数展开 θ2 θ4 θ6 cosθ = 1 − + − +L
2！ 4！ 6！
sin θ = θ −
θ3 θ5 θ7
+ − +L 3！ 5！ 7！
e jθ 展开，可得到 同样若 2 3 4 j θ ( jθ ) ( jθ ) ( jθ ) e jθ = 1 + + + + +L 1! 2! 3! 4! ⎛ ⎞ θ2 θ4 θ6 θ3 θ5 θ7 = 1− + − + L + j ⎜θ − + − + L⎟ ⎜ 2！ 4！ 6！ 3！ 5！ 7！ ⎟ ⎝ ⎠
sin ω t
1 sin 3ω t 3
1 sin 3ω t 3
1 sin ω t + sin 3ω t 3
1 sin ω t • sin 3ω t 3
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2.微分和积分
1
f (t )
df (t ) 微分：f ′(t ) = ， dt
1
积分： f (τ )dτ ∫
t −∞
f (t )
−
τ O
2
τ
2
f ′(t ) 2
0
f (t )
t0 t0 + 1
t
3.三角形脉冲
⎧k ⎪ R( t ) 0≤ t ≤τ f (t ) = ⎨τ ⎪ 0, 其它 ⎩
K
注意!
0
τ
t
奇异函数的定义区间是全时间域范围。
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二. 单位阶跃信号
1. 定义
u(t )
⎧0 u( t ) = ⎨ ⎩1
t<0 t>0
1 t
0
0点无定义或1/2
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2. 有延迟的单位阶跃信号
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4.抽样信号(Sampling
sin t Sa( t ) = t
Signal)
1
Sa(t )
性质
① Sa(− t ) = Sa(t )，偶函数 ② t = 0 , Sa( t ) = 1，即 limSa( t ) = 1 t →0 ③ Sa( t ) = 0, t = ± nπ ，n = 1,2,3L ∞ sin t ∞ sin t π ④ ∫0 t dt = 2 , ∫−∞ t dt = π ⑤ tlim Sa( t ) = 0 → ±∞ ⑥ sinc( t ) = sin πt / πt
§1.1 信号与系统
主要内容 信号(signal) 系统（system） 系统分析，系统综合 重点 信号，系统的定义 难点 辨析信号/消息/信息
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信号(Signal)
信号：指消息的表现形式与传送载体，消息是信号的传 送内容。 信息：消息中赋予人们的新知识、新概念。 消息传送过程： 发送端消息----->信号----->到接收端信号----->消息 电信号是应用最广泛的物理量。
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系统（system）
由若干相互作用和相互依赖的事物组合 而成 系统： 的，具有稳定功能的整体。 通信系统：为传送消息而装设的全套技术设备 (包括传输信道） 系统可以看作是变换器、处理器。 电系统具有特殊的重要地位。 “系统”、“电路”、“网络” 名词可以通用。
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系统分析，系统综合
•系统分析：研究信号经系统传输或处理的一般规 律，基本概念，基本分析方法。 •系统综合：根据系统的功能和要求设计系统。 •本课程重点：讨论信号的分析、系统的分析。 •信号与系统的关系简单描述为
f (t )
⎧ a > 1压缩,保持信号的时间缩短了 f ( t ) → f (at )⎨ ⎩0 < a < 1扩展 ,保持信号的时间增长了
f (t / 2) 2 1
t
f (2t ) 2 1
2T t
2
1
0
T
0
0 T /2
t
•三个波形相似，都是t 的一次函数。 •但由于自变量t 的系数不同，则达到同样函数值2的时 间不同。 •时间变量乘以一个系数等于改变观察时间的标度。
标度变换
⎛ t ⎞ 例 ： 已 知 f (t ) ， 画 出 f (2 t ) 和 f ⎜ ⎟ 的 波 形 。 ⎝2⎠ f ( t ) → f (t 2) f (t ) ff((t/)2) t 2 2
1
1
0
t
T
0