镇海中学高三数学（理科）试卷2014.4.11一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在下页的表格中 1. 设全集U=R ，f (x )=sin x ，g (x )=cos x ，M ={}()0x f x ≠，N ={}()0x g x ≠，那么集合{}()()0x f x g x =等于（ ）A M C U ⋂N C UB N MC U ⋃)( C M ⋃N C UD M C U ⋃N C U2. 下列命题中，正确的是（ ）A 若z C ∈,则2z ≥0； B 若,a b R ∈,且a b >，则a i b i +>+； C 若a R ∈，则()1a i +⋅是纯虚数； D 若1z i=,则3z +1 对应的点在复平面内的第一象限。
3. 若)(x g 的图象与)2()2()(2≤-=x x x f 的图象关于直线x y =对称，则=)(x g （ ） A ．)0(2≥-x x B ．)0(2≥+x xC ．)2(2≤-x xD ．)2(2-≥+x x4.如图，直线()00Ax By C AB ++=≠的右下方有一点(),m n ，则A m B n C ++的值（ ）A . 与C 同号B. 与A 同号C. 与B 同号D. 与A ，B 均同号5.已知： f (x )是定义在R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T ，则f （2T-）等于（ ） A 0B2TC TD 2T -6．已知双曲线的中心在坐标原点,离心率2e =,且它的一个顶点与抛物线x 8y 2-=的焦点重合,则此双曲线的方程为A. 14y 12x 22=-B. 112y 4x 22=-C. 13y x 22=- D. 1y 3x 22=- 7．若关于x 的不等式2－2x >|x －a | 至少有一个负数解，则a 的取值范围为（ ）A 9,24⎛⎫-⎪⎝⎭B 5,24⎛⎫-⎪⎝⎭C 7,24⎛⎫-⎪⎝⎭D 7,33⎛⎫-⎪⎝⎭8. 在765)1()1()1(x x x +++++的展开式中含4x 项的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的（ ）A ．第19项B ．第20项C ．第21项D ．第22项9. 一个正方体，它的表面涂满了红色，把它切割成27个完全相等的小正方体，从中任取2个，其中1个恰有(m,n)xy一面涂有红色，另1个恰有两面涂有红色的概率为 （ ） A ．11716 B ．11732 C ．398 D ．391610. 过△ABC 的重心任作一直线分别交AB ，AC 于点D 、E ．若AD xAB =，AE y AC =，0xy ≠，则11x y+的值为 （ ） A ．4 B. 3 C . 2 D . 1二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题后表格中.11. 21lim 01n n an b n →∞⎛⎫+--= ⎪+⎝⎭，则a =___________，b =__________.12. 把函数3cos sin y x x =-的图象，按向量(),m n =-a （m >0）平移后，所得的图象关于y 轴对称，则m的最小正值为__________________。
13.设12,F F 为椭园22142x y += 的左右焦点，l 是它的一条准线，点P 在l 上，则12F PF ∠的最大值为__________________。
14. 设有两个命题：（1）不等式|x |+|x －1|>m 的解集为R ；（2）定义在R 上的函数()()73xf x m =--是减函数；这两个命题中有且只有一个命题是真命题，则m 的取值范围是___________。
三、 解答题：本大题共6小题．共84分． 15．（本小题14分）已知向量()()()()cos ,sin ,sin 2,1cos2,0,1,0,x x x x x π==-=∈a b c . (1)向量,a b 是否共线？证明你的结论；(2)若函数f (x )=||()-+⋅b a b c ,求f (x )的最大值,并指出取最大值时对应的x 值.16. （本小题14分）已知：()212,n n n f x a x a x a x =+++且数列{}n a 成等差数列。
（1）当n 为正偶数时，(1)n f n -=，且1a =1，求数列{}n a 的通项； （2）在（1）的条件下，试比较1()2n f 与3的大小。
17. （本小题14分）已知长方体ABCD -1111D C B A 中，棱AB ＝BC ＝3，1BB ＝4，连结C B 1，过B 点作C B 1的垂线交1CC 于E ，交C B 1于F ．（1）求证：C A 1⊥平面EBD ；（2）求ED 与平面C B A 11所成角的大小；（3）求二面角E -BD -C 的大小．18. （本小题14分）一个房间有3扇同样的窗子，其中只有一扇窗子是打开的。
有一只鸟自开着的窗子飞入这个房间，它只能从开着的窗子飞出去。
鸟在房子里一次又一次地向着窗户飞去，试图飞出房间. 鸟飞向各扇窗子是随机的.（1）假定鸟是没有记忆的，若这只鸟恰好在第x 次试飞时飞出了房间,求试飞次数x 的分布列；（2）假定这只鸟是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次，若这只鸟恰好在第y 次试飞时飞出了房间,求试飞次数y 的分布列；19. （本小题14分）点Q 位于直线3x =-右侧,且到点()1,0F -与到直线3x =-的距离之和等于4.（1）求动点Q 的轨迹C ；（2）直线l 过点()1,0M 交曲线C 于A 、B 两点，点P 满足1()2FP FA FB =+，0EP AB =，又OE =(0x ,0)，其中O 为坐标原点，求0x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，PEF ∆能否成为以EF 为底的等腰三角形？若能，求出此时直线l 的方程；若不能，请说明理由。
20. （本小题14分）设12,x x 是函数()()322032a b f x x x a x a =+->的两个极值点，且122x x +=.（1）证明：439b ≤. （2）若()()()1'2g x f x a x x =--，证明当12x x <<时，且10x <时，()4g x a ≤。
数学答案（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． DDABA BABCB二、 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．题 号 11121314答 案a =1；b =－156π 6π 12m ≤<三、 解答题：本大题共6小题．共84分． 15．（本小题14分）解：（1）向量,a b 是共线的。
……………………………………………2分∵()cos 1cos2sin sin 2cos cos 0x x x x x x --=-=, ∴,a b 共线。
……………………………………………………6分（2）f (x )=()2||()2sin sin 2sin x x x -+⋅=-+b a b c 2112sin 48x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭∴ f (x )的最大值为18，…………………………………………12分 此时1arcsin 4x =或1arcsin 4π-。
………………………………14分16．（本小题14分）解：(1)若n 为偶数，则1231n n a a a a a n --+-+-+=设{}n a 的公差为d ，则12dn =n ，所以，d =2。
又∵1a =1，∴ 21n a n =-.…………………………………………………………6分(2)()2111113212222nn f n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1122n f ⎛⎫= ⎪⎝⎭231111113(23)(21)2222nn n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得：1122n f ⎛⎫= ⎪⎝⎭23111111222(21)22222n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，2111()3(21)222nn n f n -⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，1()32n f <。
……………………………………………………14分 17．（本小题14分）（1）连结AC 交BD 于O ，则AC ⊥BD ．又 ∵ A A 1⊥平面AC ， ∴ C A 1⊥BD ．∵ C B 1⊥BE 而11B A ⊥平面C B 1， ∴ C A 1⊥BE ．∵ BD BE ＝B ， ∴ C A 1⊥平面BED ． -----------------4（2）连结D A 1，由B A 1∥CD 知D 在平面C B A 11内，由（1）是C A 1⊥E B ． 又∵ 11B A ⊥BE ，∴ BE ⊥平面C B A 11，即得F 为垂足．连结DF ，则∠EDF 为ED 与平面C B A 11所成的角． 由已知AB ＝BC ＝3，B B 1＝4，可求是C B 1＝5，512=BF ． ∴ 59=CF ，5161=F B ，则2027=EF ，49=EC ．∴ 415=ED ．在Rt △EDF 中，259sin =∠EDF ， ∴ ED 与平面C B A 11所成的角为259arcsin． -----------------9（3）连结EO ，由EC ⊥平面BDC 且AC ⊥BD 知EO ⊥BD ． ∴ ∠EOC 为所求二面角E -BD -C 的平面角． ∵ 49=EC ，223=OC ，∴ 在Rt △EOC 中，423tan ==∠OC EC EOC ． ∴ 二面角E -BD -C 的大小为423arctan． ---------------------14 18．（本小题14分） 解：（1）试飞次数x 的分布列如下：x1 2 ……n……P13 2133⨯ ……12133n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭…………………………………………………………………………………7分 （2）()113P y ==，()123P y ==，()133P y ==。
试飞次数y 的分布列如下： y 123P13 13 13……………………………………………………………………………14分 19．（本小题14分）解：（1）设(),Q x y ，则()343QF x x ++=>-，即：()()221343x y x x ++++=>-，化简得：()2430y x x =--<≤。
所以，动点Q 的轨迹为抛物线24y x =-位于直线3x =-右侧的部分。