一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{|1}A x x =<，2{|log 1}B x x =<，则（ ）A ．{|1}AB x x =<U B ．{|2}A B x x =<UC ．{|1}A B x x =<ID ．{|2}A B x x =<I 【答案】B {|1}A x x =<，{|02}B x x =<<，{|01}A B x x =<<I ，{|2}A B x x =<U ． 2．i 是虚数单位，4i1iz =-，则||z =（ ） A ．2 B ．22 C ．4 D ．42 【答案】B 由题意得4i 4i(1i)2i(1i)22i 1i (1i)(1i)z +===+=-+--+，∴22||(2)222z =-+=．故选B ． 3．已知某公司按照工作年限发放年终奖金并且进行年终表彰．若该公司有工作10年以上的员工100人，工作510:年的员工400人，工作05:年的员工200人，现按照工作年限进行分层抽样，在公司的所有员工中抽取28人作为员工代表上台接受表彰，则工作510:年的员工代表有（ ） A ．8人 B ．16人 C ．4人 D ．24人【答案】B 依题意知，该公司的所有员工中工作10年以上、工作510:年、工作05:年的员工人数比例为1:4:2， 所以工作510:年的员工代表有428167⨯=． 4．已知向量||2=a ，||1=b ，(2)2⋅-=a a b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．90︒ D ．150︒【答案】B ∵2(2)2422⋅-=-⋅=-⋅=a a b a a b a b ，∴1⋅=a b ．设a 与b 的夹角为θ，则1cos ||||2θ⋅==a b a b ，又0180θ︒≤≤︒，∴60θ=︒，即a 与b 的夹角为60︒．5．长方体1111ABCD A B C D -，1AB =，2AD =，13AA =，则异面直线11A B 与1AC 所成角的余弦值为（ ） A ．1414 B ．8314 C ．1313D ．13【答案】A【解析】∵1111C D A B ∥，∴异面直线11A B 与1AC 所成的角即为11C D 与1AC 所成的角11AC D ∠， 在11AC D Rt △中，111C D =，222112314AC =++=，∴11111114cos 1414C D AC D AC ∠===，故选A ． 6．执行下图的程序框图，若输出的结果为10，则判断框中的条件是（ ）A ．4?i <B ．5?i <C ．6?i <D ．7?i < 【答案】B【解析】由程序框图可知，该程序框图的功能是计算(1)1232i i S i +=++++=L 的值， 又10S =，所以4i =，当15i +=时退出循环，结合选项可知，应填5?i <．6题 7题7．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>）的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象 向左平移π6个单位长度，得到()y g x =的图象，则下列说法不正确的是（ ） A ．函数()g x 为奇函数 B ．函数()g x 的最大值为3 C ．函数()g x 的最小正周期为π D ．函数()g x 在π(0,)3上单调递增【答案】D 由图可知3A =，35ππ3π()41234T =--=，∴πT =，2ω=， 将点5π(,3)12代入3sin(2)y x ϕ=+，得π2π3k ϕ=-+()k ∈Z ，故π()3sin(2)3f x x =-，向左平移π6个单位长度得ππ()3sin[2()]3sin 263y g x x x ==+-=，故A ，B ，C 正确，故选D ．8．随机设置某交通路口亮红绿灯的时间，通过对路口交通情况的调查，确定相邻两次亮红灯与亮绿灯的时间之和为90秒，且一次亮红灯的时间不超过60秒，一次亮绿灯的时间不超过50秒，则亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间的概率为（ ）A ．14 B ．19 C ．59 D ．511【答案】A 设亮绿灯的时间随机设置为t 秒，则50t ≤，亮红灯的时间为9060t -≤，所以3050t ≤≤， 亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间即为45t ≥，由几何概型的概率公式知：P =50−4550−30=14． 9．已知函数1()1ln f x x x=--，则()y f x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A ∵1()1ln f x x x=--，∴1ln 0x x --≠，令()1ln g x x x =--，∵(1)0g =，∴函数的定义域为(0,1)(1,)+∞U ，可得211()(1ln )x f x x x x -'=-⋅--， 当(0,1)x ∈时，()0f x '>，函数单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，函数单调递减，∴A 选项图象符合题意10．已知圆222x y r +=(0)r >与抛物线22y x =交于A ，B 两点，与抛物线的准线交C ，D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则r 等于（ ） A ．22B ．2C ．52 D ．5 【答案】C 由题意可得，抛物线的准线方程为12x =-，画出图形如图所示：在222x y r +=(0)r >中，当12x =-时，则有2214y r =-．① 由22y x =，得22y x =，代入222x y r +=，消去x 整理得422440y y r +-=．②结合题意可得点A ，D 的纵坐标相等，故①②中的y 相等， 由①②两式消去2y ，得222211()4()4044r r r -+--=， 整理得42168150r r --=，解得254r =或234r =-（舍去），∴52r =，故选C ． 11．在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知5a =，2534ABC S =△，且2222cos cos b c a ac C c A +-=⋅+⋅，则sin sin B C +=（ ）A ．3B ． 9√32C ．3D ．33【答案】C 在ABC △中，由余弦定理得22222222cos cos 22a b c b c a ac C c A ac c bc ab bc+-+-⋅+⋅=⋅+⋅=，∵2222cos cos b c a ac C c A +-=⋅+⋅，∴222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，∵0πA <<，∴π3A =，∵2534ABC S =△，∴13253sin 244bc A bc ==，∴25bc =，即22225b c a +-=， ∵5a =，∴2250b c +=，由222550bc b c =⎧⎨+=⎩，解得5b c ==，∴a b c ==，∴π3B C A ===， ∴π3sin sin 2sin2332B C +==⨯=．12．已知函数24,0(),0x x x x f x e x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x ax =-，若()g x 有4个零点，则a 的取值范围为（ ）A ．2(,4)4eB ．(,4)4eC ．(,)4e +∞D ．2(,)4e +∞【答案】A 因为()()g x f x ax =-有4个零点，即函数()y f x =与y ax =有4个交点，当0x >时，2(1)()xx ef x x-'=， 所以(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， 画出()f x 的图象如图所示，求出()f x 的过原点的切线，()f x 在0x =处的切线1l 的斜率为2100(4)|(24)|4x x k x x x =='=+=+=， 设()f x 的过原点的切线2l 的切点为000(,)x e P x x 0(0)x ≠，切线2l 的斜率为2k ，又2(1)()x x e x e x x -'=，故000220020(1)x x x e k x e x k x ⎧-=⎪⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎩，解得02x =，224e k =， 由图可知()y f x =与y ax =有4个交点，则21k a k <<，所以244ea <<．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若5(2)()ax x x+-展开式的常数项等于80，则a = ． 【答案】2【解析】5()a x x -的通项公式为55525155C (1)(1)C r r r r r r r r r r T a x x a x ----+=⋅⋅⋅-⋅=-⋅，∴5(2)()a x x x+-展开式中的常数项为235C 80a =，∴2a =．14．设x ，y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是 ．【答案】-6【解析】根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示，由103x y x -+=⎧⎨=⎩，得34x y =⎧⎨=⎩，由图可知目标函数在点(3,4)A 取最小值23346z =⨯-⨯=-．15．已知双曲线22:13y C x -=的左右焦点分别为1F 、2F ，点A 在双曲线上，点M 的坐标为2(,0)3，且M 到直线1AF ，2AF 的距离相等，则1||AF = ．【答案】4【解析】由题意得1(2,0)F -，2(2,0)F ，点A 在双曲线的右支上，又点M 的坐标为2(,0)3， ∴128||233F M =+=，224||233MF =-=． 画出图形如图所示，1MP AF ⊥，2MQ AF ⊥，垂足分别为P ，Q ，由题意得||||MP MQ =，∴AM 为12F AF ∠的平分线，∴1122||||2||||AF F M AF MF ==，即12||2||AF AF =， 又12||||2AF AF -=，∴1||4AF =，2||2AF =．故答案为4．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，直线:l y x a =+，过直线l 上点P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，若存在点P 使得32PA PB PO +=u u u r u u u r u u u r，则实数a 的取值范围是 ．【答案】[−2√2，2√2]【解析】取AB 中点H ，OH AB ⊥，∵PA PB =，H 为AB 中点，∴90AHP ∠=︒，∴O ，H ，P 三点在一条直线上，2PA PB PH +=u u u r u u u r u u u r，322PH PO =u u u r u u u r ，34PH PO =u u u r u u u r ，设||3PH x =u u u r ，∴||4PO x =uuu r，∴OH x =，在AHO Rt △中，得222r OH AH -=，221AH x =-，①，在OAP 中运用射影定理得2AH OH PH =⋅，2233AH x x x =⋅=，②， 联立①②，2231x x =-，214x =，12x =，||42OP x ==， ∴P 点以O 为圆心，2r =的圆上，P 轨迹224x y +=， 又∵P 在y x a =+上，直线与圆有交点，∴||211a d =≤+，∴2222a -≤≤． 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知数列{}n a 满足132********n n n a a a a +-++++=-L ()n ∈*N ，4log n n b a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列11{}n n b b +⋅的前n 项和n T ．【解析】（1）∵132********n n n a a a a +-++++=-L ，∴31212222222nn n a a a a --++++=-L (2)n ≥， 两式相减得112222n n n nn a +-=-=，∴212n n a -=(2)n ≥． 又当1n =时，12a =满足上式，∴212n n a -=()n ∈*N ． ∴数列{}n a 的通项公式212n n a -=． （2）由（1）得21421log 22n n n b --==， ∴114112()(21)(21)2121n n b b n n n n +==-⋅-+-+， ∴12231111111112[(1)()()]3352121n n n T b b b b b b n n +=+++=-+-++-⋅⋅-+L L 142(1)2121nn n =-=++．18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，22AD BC ==，90BAD ABC ∠=∠=︒．（1）证明：PC BC ⊥；（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为30︒，求二面角B PC D --的余弦值． 【解析】（1）取AD 的中点为O ，连接PO ，CO ， ∵PAD △为等边三角形，∴PO AD ⊥．底面ABCD 中，可得四边形ABCO 为矩形，∴CO AD ⊥，∵0PO CO =I ，∴AD ⊥平面POC ，PC ⊂平面POC ，AD PC ⊥． 又AD BC ∥，所以PC BC ⊥．（2）由面PAD ⊥面ABCD ，PO AD ⊥知，∴PO ⊥平面ABCD ，OP ，OD ，OC 两两垂直，直线PC 与平面PAD 所成角为30︒， 即30CPO ∠=︒，由2AD =，知3PO =，得1CO =．分别以OC u u u r ，OD u u u r ，OP uuu r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,3)P ，(0,1,0)D ，(1,0,0)C ，(1,1,0)B -，(0,1,0)BC =u u u r ，(1,0,3)PC =-u u u r ，(1,1,0)CD =-u u u r，设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，∴030y x z =⎧⎪⎨-=⎪⎩，则(3,0,1)=n ．设平面PDC 的法向量为(,,)x y z =m ，∴030x y x z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，则(3,3,1)=m ．427|cos ,|||||727⋅<>===m n m n m n ， ∴二面角B PC D --的余弦值为277-．19．（12分）某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况， 采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450~950之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：将月消费金额不低于元的学生称为“高消费群”．（1）求a 的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[550,650)，[750,850)内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；（3）若样本中属于“高消费群”的女生有10人，完成下列22⨯列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）解：（1）由题意知100(0.00150.00250.00150.001)1a ++++=，解得0.0035a =，样本的平均数为：5000.156000.357000.258000.159000.10670x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）， 所以估计该校学生月消费金额的平均数为670元．（2）由题意，从[550,650)中抽取7人，从[750,850)中抽取3人．随机变量X 的所有可能取值有0，1，2，3，337310C C ()C k k P X k -==(0,1,2,3)k =，所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望35632119()012312012012012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． （3）由题可知，样本中男生40人，女生60人，属于“高消费群”的25人，其中女生10人； 得出以下22⨯列联表：750222()100(10251550)505.556 5.024()()()()406025759n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯，所以有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关．20．（12分）已知椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点F 与抛物线28y x =的焦点重合，且椭圆的离心率为63，过x 轴正半轴一点(,0)m 且斜率为33-的直线l 交椭圆于A ，B 两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在实数m 使以线段AB 为直径的圆经过点F ，若存在，求出实数m 的值；若不存在说明理由． 解：（1）∵抛物线28y x =的焦点是(2,0)，∴(2,0)F ，∴2c =，又∵椭圆的离心率为63，即63c a =，∴6a =，26a =，则2222b a c =-=，故椭圆的方程为22162x y +=．（2）由题意得直线l 的方程为3()3y x m =--(0)m >， 由221623()3x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消去y 得222260x mx m -+-=， 由2248(6)0Δm m =-->，解得2323m -<<，又0m >，∴023m <<，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12x x m +=，21262m x x -=，∴212121212331[()][()]()33333m m y y x m x m x x x x =--⋅--=-++． ∵11(2,)FA x y =-u u u r ，22(2,)FB x y =-u u u r，∴212121212462(3)(2)(2)()43333m m m m FA FB x x y y x x x x +-⋅=--+=-+++=u u u r u u u r ， 若存在m 使以线段AB 为直径的圆经过点F ，则必有0FA FB ⋅=u u u r u u u r， 即2(3)03m m -=，解得0m =或3m =． 又023m <<，∴3m =，即存在3m =使以线段AB 为直径的圆经过点．21．（12分）已知函数1()ln 12m f x x x =+-()m ∈R 的两个零点为1x ，2x 12()x x <．（1）求实数m 的取值范围；（2）求证：12112x x e+>． 解：（1）2212()22m x mf x x x x -'=-+=， 当0m ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，不可能有两个零点； 当0m >时，由()0f x '>，可解得2x m >；由()0f x '<，可解得02x m <<， ∴()f x 在(0,2)m 上单调递减，在(2,)m +∞上单调递增，∴min 1()(2)ln 2122m f x f m m m ==+-， 要使得()f x 在(0,)+∞上有两个零点，则11ln 21022m +-<，解得02e m <<，则m 的取值范围为(0,)2e ． （2）令1t x=，则1111()ln()1ln 122f x m mt t x x =--=--，由题意知方程1ln 102mt t --=有两个根，即方程ln 22t m t+=有两个根，不妨设111t x =，221t x =，令ln 2()2t h t t+=，则当1(0,)t e ∈时，()h t 单调递增，1(,)t e∈+∞时，()h t 单调递减，综上可知，1210t t e >>>， 令2()()()x h x h x e ϕ=--，下面证()0x ϕ<对任意的1(0,)x e∈恒成立，2221ln()21ln ()()()222()x x e x h x h x e x x eϕ-----'''=+-=+-， ∵1(0,)x e ∈，∴ln 10x -->，222()x x e<-，∴222221ln()2ln ()1ln ()2222()2()2()x x x x e e x x x x e e eϕ--------'>+=---， 又∵1(0,)x e∈，∴22221()()2x xe x x e e +--≤=， ∴()0x ϕ'>，则()x ϕ在1(0,)e 单调递增，∴1()()0x eϕϕ<=，∵2222()()()0t h t h t e ϕ=--<，∴222()()h t h t e<-，又∵12()()h t h t =，∴122()()h t h t e<-，∴122t t e >-，∴122t t e +>，即12112x x e +>．2020届尼尔基一中高三理科数学模拟试卷7(教师版）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为131x t y t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为 极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-． （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）已知与直线l 平行的直线l '过点(2,0)M ，且与曲线C 交于A ，B 两点，试求||||MA MB ⋅．【解析】（1）把直线l 的参数方程化为普通方程为3(1)1y x =-+，即3130x y -+-=． 由22cos 1cos θρθ=-，可得22(1cos )2cos ρθρθ-=，∴曲线C 的直角坐标方程为22y x =． （2）直线l 的倾斜角为π3，∴直线l '的倾斜角也为π3， 又直线l '过点(2,0)M ，∴直线l '的参数方程为12232x t y t ⎧'=+⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩（t '为参数），将其代入曲线C 的直角坐标方程可得234160t t ''--=，设点A ，B 对应的参数分别为1t '，2t '， 由一元二次方程的根与系数的关系知12163t t ''=-，1243t t ''+=，∴16||||3MA MB ⋅=． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数()|||2|([0,2])f x x a x a a =+---∈．（1）当1a =时，解不等式()1f x ≥；（2）求证：()2f x ≤．【解析】（1）当1a =时，解不等式()1f x ≥等价于|1||1|1x x +--≥，①当1x ≤-时，不等式化为111x x --+-≥，原不等式无实数解；②当11x -<<时，不等式化为111x x ++-≥，解得112x ≤<； ③当1x ≥时，不等式化为111x x +-+≥，解得1x ≥，综上所述，不等式()1f x ≥的解集为1[,)2+∞．（2）()|()(2)|2f x x a x a a a ≤+---=+-，∵[0,2]a ∈，∴(2)2(2)a a a a +-≥-，∴22[(2)](2)a a a a +-≥+-， ∴2(2)4a a +-≤，22a a +-≤，∴()2f x ≤．。