高三数学（理科）模拟试卷及答案3套模拟试卷一试卷满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡．．．．．．上） 1． 2020i = ( )A ．1B ．1-C ．iD ．i -2．设i 为虚数单位，复数()()12i i +-的实部为（ ）A.2B.-2C. 3D.-3 3.若向量,)()3,(R x x a∈=，则“4=x ”是“5=a”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C 充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.下列函数中，在区间（0，＋∞）上单调递增的是（ ）A. B. C.x y 21log = D.5.已知)cos(2)2cos(απαπ+=-，且31)tan(=+βα，则βtan 的值为（ ） .A 7- .B 7.C 1.D 1-6.将函数()()()sin 20f x x ϕϕ=+<<π的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则函数()f x 的一个单调减区间为( )A ．5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．5,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦7. 如图，在平行四边形ABCD 中,11,,33AE AB CF CD G ==为EF 的中点，则DG =（ ）A ．1122AB AD - B ．1122AD AB - C. 1133AB AD -D ．1133AD AB -8. 执行如图所示的程序框图，则输出的a 值为（ ）A ．3-B ．13 C.12- D ．2 9. 公元前5世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方.如图，以O 为圆心的大圆直径为4,以AB 为直径的半圆面积等于AO 与BO 所夹四分之一大圆的面积,由此可知，月牙形区域的面积与△AOB 的面积相等.现在在两个圆所覆盖的区域内随机取一点，则该点来自于阴影部分的概率是（ ）A ．384ππ++ B ．684ππ++ C. 342ππ++ D ．642ππ++10．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，在x 轴上F 的右侧有一点A ，以FA 为直径的圆与椭圆在x 轴上方部分交于M 、N 两点，则||||||FM FN FA +等于（ ）A ．BB ． CD11. 已知函数21181,2,log 2)(21≤≤<≤⎪⎩⎪⎨⎧+=x x x x f x，若))(()(b a b f a f <=，则ab 的最小值为 A.22 B.21C.42D.3512. 已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x ，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ，交y 轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且点C 位于点A ，B 之间.已知O 为原点，且a OA 35||=，则=||||FC FA A.45 B.34C.23D.25二、填空题: 本题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡横线上。

13. 数列{}n a 满足11,a =前n 项和为n S ，且),2(2*N n n a S n n ∈≥=，则{}n a 的通项公式=n a ．14. 我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件：①所有的奇数项满足2121n n a a -+<，所有的偶数项满足222n n a a +<； ②任意相邻的两项21n a -，2n a 满足21n a -<2n a . 根据上面的信息完成下面的问题：（i ）数列123456，，，，， “有趣数列”（填“是”或者“不是”）； （ⅱ）若2(1)nn a n n=+-，则数列{}n a “有趣数列”（填“是”或者“不是”）.15．已知抛物线24C y x =：的焦点为F ，则F 的坐标为 ；过点F 的直线交抛物线C 于A B ,两点，若4AF =，则△AOB 的面积为 ．16.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点为A , 以A 为圆心的圆与双曲线C的某一条渐近线交于两点,P Q .若60PAQ ∠=,且3OQ OP =（其中O 为原点），则 双曲线C 的离心率为 ．三、解答题: 共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题: 共70分 17. (本小题满分12分)在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知2(sin cos cos sin )sin A C A C A += sin C +. ⑴求证：a 、b 、c 成等差数列； ⑵若7c =，23C π=，求b 和sin2B 的值.18. （本小题满分12分）棋盘上标有第0，1，2，⋅⋅⋅，100站，棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏.若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束.设棋子跳到第n 站的概率为n P .（1）当游戏开始时若抛掷均匀硬币3次后求棋手所走站数之和X 的分布列与数学期望； （2；并求99P ,100P 的值.19. （本小题满分12分）如图，在三棱柱111 ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ,底面ABC 是正三角形,1111113,,33AB AA AE AB C F AC ==== (1)求证:1//A E 平面BCF ;(2)求直线1AA 与平面BCF 所成角的正弦值.20. (本小题满分12分)近来天气变化无常，陡然升温、降温幅度大于10C ︒的天气现象出现增多.陡然降温幅度大于10C ︒容易引起幼儿伤风感冒疾病.为了解伤风感冒疾病是否与性别有关，在某妇幼保健院随机对人院的100名幼儿进行调查,得到了如下的列联表,若在全部100名幼儿中随机抽取1人，抽到患伤风感冒疾病的幼儿的概率为25(1)请将下面的列联表补充完整;患伤风感冒疾病不患伤风感冒疾病合计 男 25 女 20 合计100(2)能否在犯错误的概率不超过0.1的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有关?说明你的理由;(3)已知在患伤风感冒疾病的20名女性幼儿中,有2名又患黄痘病.现在从患伤风感冒疾病的20名女性中,选出2名进行其他方面的排查,记选出患黄痘病的女性人数为X ,求X 的分布列以及数学期望.下面的临界值表供参考:()20P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.0763.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中 .n a b c d =+++21.（本小题满分12分）已知函数()cos sin x f x e x x x =-，()sin x g x x =，其中e 是自然对数的底数．（1）12ππ,0,0,22x x ⎡⎤⎡⎤∀∈-∃∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，使得不等式12()()f x m g x ≤+成立，试求实数m 的取值范围；（2）若1x >-，求证：()()0f x g x ->．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22. [选修4-4:坐标系与参数方程] （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点M (－2，－4)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2 θ＝2cos θ，（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与C 交于A ，B 两点，且|MA |·|MB |＝40，求倾斜角α的值．23. [选修4-5:不等式选讲] （本小题满分10分） 已知函数()11++-=x x x f ． （1）解不等式：()2≤x f ；（2）设函数()x f 的最小值为m ，若a ，b 均为正数，且m ba =+41，求b a +的最小值．参考答案1-5 ABDCB 6-10 AADBA 11-12 BB13. ⎩⎨⎧≥==-2,21,12n n a n n 14．是；是 15．(10),17. 解：（1）因为()2sin cos cos sin sin sin +=+A C A C A C ，所以()2sin sin sin A C A C +=+. ………………………………………………1分由于在ABC ∆中，+=A C B π-，所以()sin sin A C B +=，所以2sin sin sin B A C =+. ……………………………………………………3分 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得2b a c =+. 所以,,a b c 成等差数列. …………………………………………………………5分 （2）在ABC ∆中，27,3c C π==， 由余弦定理，得 222272cos3a b ab π=+-, 即22+49+=a b ab . ……………………………………………………………7分 由（1）知27=-a b ，所以()()2227+2749-+-=b b b b ，解得5b =. …………………………………………………………………………9分由正弦定理，得2sin3sin 14b Bc π==. 在ABC ∆中，因为于2=3C π，所以0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以11cos 14B ===. ……………………………10分所以sin 22sin cos 98B B B ==. ………………………………………12分 18.解：（1）()()()()81216,8321583214,812136,54,333233133=⎪⎭⎫ ⎝⎛===⎪⎭⎫ ⎝⎛===⎪⎭⎫ ⎝⎛===⎪⎭⎫ ⎝⎛==X P C X P C X P X P X ，可取 分布列如下：29816835834813=⨯+⨯+⨯+⨯=EX .……………6分（2）易知棋子先跳到第2n -站，再掷出反面，其概率为212n P -；棋子先跳到第1n -站，再掷出正面，其概率为112n P -，因此有()1212n n n P P P --=+，即()11212n n n n P P P P ----=--，也即()982)(21-11≤≤-=--+n P P P P n n n n . 故数列{}()11n n P P n --≥是首项为{}()11n n P P n --≥ 1011122P P -=-=-，公比为12-的等比数列.因此有()()11101122nn n n nP P P P ---⎛⎫-=--=⎪⎝⎭，由此得到999899100111211122232P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛-=-999899989921132,21P P P 则又由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有10098991111232P P ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.……12分19.解:(1)证明:在线段BC 上取一点G .使13CG BC =.连结.EG FG . 在ABC 中.因为11,33AE AB CG BC == 所以22,33BE AB BG BC == 所以23BE BG AB BC ==所以，//EG AC 且23EG AC =因为111111, //3C F AC AC AC =.所以111122//33A F AC AC A F AC ==且所以1//EG A F 且1EG A F =故四边形1A FGE 为平行四边形,所以1//A E FG又1A E ⊄平面,BCF FG ⊂平面BCF . 所以1//A E 平面BCF .(2)以B 为坐标原点，,,Bx BC BB 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为底面ABC 是正三角形，1 3.AB AA AE ===11.3AB C F =1113AC 所以点()()350.0.0.0.3.0.,,32()2B C F 则()350.3.0.,,322BC BF ⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭设平面BCF 的法向量为(),,n x y z =.由()()(),,0,3,003535,,,,330222n BC x y z n BF x y z x y z ⎧==⎪⎪⎛⎫⎨==++= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩令3z =得平面BCF 的一个法向量为(6.0.3.n = 又()10,0,3AA =设直线1AA 与平面BCF 所成角的大小为θ.则()()0,0,36,0,313sin 339AA n AA nθ-===⨯所以直线1AA 与平面BCF20.解：(1)列联表补充如下;()2计2K 算的观测值为()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2100203520250.6734 2.70640604555⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯所以不能在犯错误的概率不超过0.1的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有美. (3)根据题意,X 的值可能为0,1,2.则()()121512222020153180,119095C C P X P X C C ======()2222012190C P X C ===故X 的分布列如下：故X 的数学期望：()012190951905E X ⨯++⨯==⨯21.解：（1） 由题意，12ππ,0,0,22x x ⎡⎤⎡⎤∀∈-∃∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，使得不等式12()()f x m g x ≤+成立，等价于[]1max 2max ()()f x m g x ≤+． 1分()(cos sin )(sin cos )()cos (1)sinx x x f x e x x x x x e x x e x '=--+=--+， 当π[,0]2x ∈-时，()0f x '>，故()f x 在区间π[0,]2上单调递增，所以0x =时，()f x 取得最大值1．即 max ()1f x = ·········· 3分 又当π[0,]2x ∈时，()cos x g x x '=，()sin 0x g x x ''=-< 所以()g x '在π[0,]2上单调递减，所以()()010g x g ''≤=<，故()g x 在区间π[0,]2上单调递减，因此，0x =时，max ()(0)g x g ==．所以1m ≤1m ≥+． 实数m的取值范围是)1,+∞ ……6分（2）当1x >-时，要证()()0f x g x ->，只要证e cos sin sin 0x x x x x x -->，即证(()e cos 1sin x x x x >+，由于cos 0,10x x >+>，只要证e 1xx + ······················ 7分 下面证明1x >-时，不等式e 1xx +令()()e 11x h x x x =>-+，则()()()()22e 1e e 11x x x x x h x x x +-'==++， 当()1,0x ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增．所以当且仅当0x =时，()h x 取最小值为1． ··············· 9分法一：k =cos sin k x x =，即sin cos x k x -=，即sin()x ϕ-，，即11k -≤≤，所以max 1k =，而()()min01h x h ==，但当0x =时，()010k h =<=；0x ≠时，()1h x k >≥所以，maxmine 1x x ⎛⎫> ⎪+⎝⎭，即e 1xx + 综上所述，当1x >-时，()()0f x g x ->成立． ············ 12分 法二：令()x ϕ=，其可看作点()cos ,sin A x x 与点()B 连线的斜率k，所以直线AB的方程为：(y k x =+，由于点A 在圆221x y +=上，所以直线AB 与圆221x y +=相交或相切， 当直线AB 与圆221x y +=相切且切点在第二象限时， 直线AB 取得斜率k 的最大值为1．而当0x =时，()(0)010h ϕ=<=；0x ≠时，()1h x k >≥．所以，min max ()()h x x ϕ>，即e sin 1cos 2xx x x >++ 综上所述，当1x >-时，()()0f x g x ->成立． ············ 12分 法三：令sin ()cos 2xx x ϕ=+，则212cos ()(cos 2)x x x ϕ+'=+，当32,()4x k k N ππ=+∈时，()x ϕ取得最大值1，而()()min 01h x h ==，但当0x =时，()()0010h ϕ=<=；0x ≠时，()1h x k >≥所以，min max ()()h x x ϕ>，即e sin 1cos 2xx x x >++ 综上所述，当1x >-时，()()0f x g x ->成立． ············ 12分 22. 解：（1）因为l 的倾斜角为α，l 过点M (－2，－4)，所以直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝－4＋t sin α(t 是参数)． 因为ρsin 2 θ＝2cos θ，所以ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 得曲线C 的直角坐标方程是y 2＝2x ．…………（5分）（2）把l 的参数方程代入y 2＝2x ，得t 2sin 2α－(2cos α＋8sin α)t ＋20＝0．当Δ＝(2cos α＋8sin α)2－80sin 2α时，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 则|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝20sin 2 α．由20sin 2α＝40，0≤α＜π，Δ＞0，得α＝π4．…………（10分）23. 【详解】（Ⅰ） 或 或 ,不等式解集为.（Ⅱ）,,又,,,,当且仅当 即时取等号,所以.模拟试卷二一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i是虚数单位，，是z的共轭复数，则的虚部是A. B. C. 1 D.2.已知集合，，则A. B.C. D.3.甲、乙两名同学在五次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是，，观察茎叶图，下列结论正确的是A. ，乙比甲成绩稳定B. ，乙比甲成绩稳定C. ，甲比乙成绩稳定D. ，甲比乙成绩稳定4.已知数列的前n项和为，为常数，若，，则A. 120B. 140C. 210D. 5205.已知a为实数，，若，则函数的单调递增区间为A. B. C. 、 D.6.设D为所在平面内一点，，则A. B.C. D.7.某几何体的三视图如图所示，其正视图是斜边长为的等腰直角三角形，则该几何体的体积是A. B. C. D.8.，恰有三个零点，则实数m的取值范围是A. B. C. D.9.双曲线的左、右焦点分别为，，M为双曲线右支上一点．若，直线的斜率为，则双曲线的离心率为A. B.C. D. 310.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如图，如果大正方形的面积为50，直角三角形中较小的锐角为，，在大正方形内取点，则此点取自中间小正方形的概率为A.B.C.D.11.抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上与原点不重合的两点，弦AB经过点，并且，则的面积是A. B. 9 C. D. 1212.在棱长为1的正方体中，E，F分别为棱AB，的中点，G为棱靠近C点的三等分点，用过点E，F，G的平面截正方体，则截面图形的周长为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为______．14.已知数列的前n项积为，，，，，则______15.若，则______．16.函数在单调递增，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数，在锐角中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且．Ⅰ求A的大小；Ⅱ若，求面积的最大值．18.某医疗器械公司在全国共有100个销售点，总公司每年会根据每个销售点的年销量进行评价分析．规定每个销售点的年销售任务为一万四千台器械．根据这100个销售点的年销量绘制出如下的频率分布直方图，Ⅰ完成年销售任务的销售点有多少个？Ⅱ若用分层抽样的方法从这100个销售点中抽取容量为25的样本，求该五组，，，，单位：千台中每组分别应抽取的销售点数量，Ⅲ在Ⅱ的条件下，从前两组，中的销售点随机选取3个，记这3个销售点在中的个数为X，求X的分布列和期望．19.四棱柱中，侧棱底面ABCD，底面ABCD为菱形，，，是的中点，与相交于点F．Ⅰ求证：平面平面DEF．Ⅱ求二面角的余弦值．已知点Q是圆：上一动点，线段OQ与圆：相交于点直线d经过Q，并且垂直于x轴，T在d上的射影点为E．Ⅰ求点E的轨迹C的方程；Ⅱ设圆C1与x轴的左、右交点分别为A，B，点P是曲线C上的点点P与A，B不重合，直线AP，BP与直线l：分别相交于点M，N求证：以MN为直径的圆经过定点20.已知函数．Ⅰ若，使得恒成立，求a的取值范围；Ⅱ设，为函数图象上不同的两点，PQ的中点为求证：21.在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．Ⅰ求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；Ⅱ求曲线C上的点M到l的距离的最大值．22.已知函数．Ⅰ若，求不等式的解集；Ⅱ若不等式的解集非空，求a的取值范围．答案1.【答案】D2.【答案】C3.【答案】A4.【答案】C5.【答案】6.【答案】D7.【答案】B8.【答案】A9.【答案】D10.【答案】A11.【答案】C12.【答案】B【解析】13.【答案】2214.【答案】115.【答案】16.【答案】17.【答案】解：Ⅰ因为：，可得：，所以：，因为：，可得：，解得：；Ⅱ因为：，所以，可得：，所以，当且仅当时取等号，可得，所以，即当时，三角形ABC的面积的最大值为．18.【答案】解：Ⅰ由频率分布直方图得：，解得．则完成年销售任务的销售点个数为．Ⅱ各组应该抽取的销售点数量比例为2：8：9：3：3，则各组应该抽取的销售点数量分别为2，8，9，3，3．Ⅲ在第Ⅱ问的容量为25的样本中，，中的销售点的数量分别为2，8，则X所有的可能取值为1，2，3，，，，的分布列为：X 1 2 3P．19.【答案】证明：Ⅰ连结BF，，F是的中点，，又，平面，，在中，，，，在矩形，，F是中点，，平面，即平面，又平面DEF，平面平面DEF．解：Ⅱ取BC中点G，以A为原点，AG为x轴，AD为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，则，2，，，0，，，，2，，设平面的一个法向量y，，则，取，得0，，设平面的一个法向量y，，则，取，得，设二面角的平面角为，则，二面角的余弦值为．20.【答案】解：Ⅰ设，，当时，；当时，，即有，，代入可得，化为，即为E的轨迹方程；Ⅱ证明：设AP，BP的斜率分别为k，，，可得，，即有，设AP的方程，可得，BP的方程为，可得，即有以MN为直径的圆的方程为，整理可得，由，，解得，或，．可得以MN为直径的圆经过定点，．21.【答案】解：Ⅰ，使得恒成立，令，，由于则在上单调递减，在单调递增，故，解得，故a的取值范围为；证明：Ⅱ的中点为，，故，则，，故要证，即证．由于，即证，不妨设，只需要证明，即，设，构造函数，则，则，则有，从而22.【答案】解：Ⅰ直线的参数方程为为参数，消去参数t，能求出直线l的普通方程为．曲线C的极坐标方程为．，，曲线C的直角坐标方程为，即．Ⅱ曲线C的参数方程为，为参数，设，则，其中满足，，曲线C上的点M到l的距离的最大值为．23.【答案】解：Ⅰ，，当时，无解；当时，由得，解得，；当时，恒成立，，所以不等式的解集为；Ⅱ，由的解集非空，，或，解得或，的取值范围为或．模拟试卷三一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)1．已知集合M＝{x|x2＋x－2＝0}，N＝{0,1}，则M∪N＝( )A．{－2,0,1} B．{1} C．{0} D．∅2．函数f(x)＝xe－|x|的图象可能是( )3．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )A．4 B.3 C．2 D．04已知α，β表示两个不同的平面，直线m是α内一条直线，则“α∥β”是“m∥β”的( )A．既不充分也不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．充分不必要条件5．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是()A ．4＋4 2B ．42＋2C ．8＋4 2D.836已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)，其部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( )A ．f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4B ．f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4C ．f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋3π4 D ．f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 7．等差数列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，则公差d ＝( ) A. 2 B.12 C 14D ．－128如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD ­A1B1C1D1中，AA1＝2AB ＝2，则异面直线A1B 与AD1所成角的余弦值为( )A.15 B.25 C.35D.459如图所示，已知三棱柱ABC ­A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC ，则三棱锥B1­ABC1的体积为( )A.312B.34 C.612D.6410已知数列{an}的前n 项和为Sn ，a1＝1，a2＝2，且an ＋2－2an ＋1＋an ＝0(n ∈N*)，记Tn ＝1S1＋1S2＋…＋1Sn (n ∈N*)，则T2 018＝( )A.4 0342 018B.2 0172 018C.4 0362 019D.2 0182 01911定义在[0，＋∞)的函数f(x)的导函数为f′(x)，对于任意的x≥0，恒有f′(x)＞f(x)，a ＝e3f(2)，b ＝e2f(3)，则a ，b的大小关系是()A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．无法确定12锐角三角形角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若则的取值范围是（） A B C D二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) 13.曲线y ＝xex ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为 ______________ .14已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x2＝x 2＋x 2＋4x2≥3，x ＋27x3＝x 3＋x 3＋x3＋27x3≥4，…，归纳得x ＋axn ≥n＋1(n ∈N*)，则a ＝________. 15已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________．16设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝2x －y 的最小值为________．sin sin A22a b +ac=0-2(0,223(322,3)三、解答题(写出必要的文字说明和解题步骤) 17.（10分）已知直线l 经过点P(1,1)，倾斜角α＝. (1)写出直线l 的普通方程与参数方程；(2)设l 与圆x2＋y2＝4相交于两点A ，B ，求点P 到A, B 两点的距离之积 18.（12分）已知等比数列{an}的公比q=2,且a3＋1,是a2，a4等差中项 (1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn ＝nan 求数列{bn}的前n 项和Tn.19．（12分）已知数列{an}满足a1＋4a2＋42a3＋…＋4n －1an ＝n4(n ∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn ＝4nan2n ＋1，求数列{bnbn ＋1}的前n 项和Tn.20.（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且acosB ＝(3c －b)cosA. (1)求sinA ； (2)若a ＝2，且△ABC 的面积为，求b ＋c 的值．21.（12分）如图，四棱柱ABCD －A1B1C1D1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A1O ⊥平面ABCD ，AB ＝，AA1＝2. (1)证明：AA1⊥BD(2)证明：平面A1BD ∥平面CD1B1； (3)求三棱柱ABD －A1B1D1的体积.22(12分)已知函数 f(x)=x-1-lnx23. 求f(x)的最小值.24.若kx>x-1-f(x)恒成立，求k的取值范围.(3)若g(x)=x f(x),证明g(x)存在唯一的极大值点x0 ，且e-2<g(x0)<2-2参考答案一选择题 ACBDA BCDAC BD二填空题13 y=3x+1 14 nn 15 4 16 -1 17(1)直线的普通方程是y-1=直线的参数方程为即(t为参数)．(2)把直线代入x2＋y2＝4，得＋＝4，化简得t2＋(＋1)t－2＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，所以t1t2＝－2，则点P到A，B两点的距离之积为2.18(1)由a2，a3+1，a4成等差数列，则a2+a4=2（a3+1），即有2a1+8a1=2（4a1+1），解得a1=1，则an=a1qn-1=2n-1．故数列{ an}的通项公式为an＝2n－1(2)由于 bn＝nan =n·2n－1，Tn＝1·20＋2·21＋…＋(n－1)·2n－2＋n·2n－1，∴2Tn ＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n－1＋n·2n， 两式相减，得－Tn ＝1＋21＋…＋2n －1－n·2n＝－n·2n，∴Tn ＝(n －1)·2n＋1.19解：(1)当n ＝1时，a1＝14.因为a1＋4a2＋42a3＋…＋4n －2an －1＋4n －1an ＝n4，①所以a1＋4a2＋42a3＋…＋4n －2an －1＝n －14(n≥2，n ∈N*)，②①－②得4n －1an ＝14(n≥2，n ∈N*)，所以an ＝14n(n≥2，n ∈N*)．当n ＝1时也适合上式，故an ＝14n (n ∈N*)．(2)由(1)得bn ＝4nan 2n ＋1＝12n ＋1，所以bnbn ＋1＝12n ＋12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3，故Tn ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3 ＝n6n ＋9. 20(1)∵acosB ＝(3c －b)cosA ， ∴sinAcosB ＝3sinCcosA －sinBcosA ， 即sinAcosB ＋sinBcosA ＝sinC ＝3sinCcosA ， ∵sinC≠0，∴cosA ＝，则sinA ＝.(2)∵△ABC的面积为，∴bc＝，得bc＝3，∵a＝2，∴b2＋c2－bc＝8，∴(b＋c)2－bc＝8，即(b＋c)2＝16，∵b>0，c>0，∴b＋c＝4.21.(1)证明∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又∵A1O⊥平面ABCD且BD⊂面ABCD，∴A1O⊥BD，又∵A1O∩AC＝O，A1O⊂面A1AC，AC⊂面A1AC，∴BD⊥面A1AC，AA1⊂面A1AC，∴AA1⊥BD.(2)证明连接A1D，A1B，CD1，B1C.∵A1B1∥AB，AB∥CD，∴A1B1∥CD，又∵A1B1＝CD，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴A1D∥B1C，同理A1B∥CD1，∵A1B⊂平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，CD1⊂平面CD1B1，B1C⊂平面CD1B1，且A1B∩A1D＝A1，CD1∩B1C＝C，∴平面A1BD∥平面CD1B1.(3)解∵A1O⊥面ABCD，∴A1O是三棱柱A1B1D1－ABD的高，在正方形ABCD中，AO＝1.在Rt△A1OA中，AA1＝2，AO＝1，∴A1O＝，∴＝＝×()2×＝，∴三棱柱ABD－A1B1D1的体积为.22：（1）解：∵f（x）=x-1-lnx（x＞0），当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，∴f（x）的最小值为f（1）=0．…（2）欲使lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，只需在（0，+∞）上恒成立，设．，∴（3）()2g lnx x x x x=--，g()22ln'xx x=--．设()22ln h x x x=--，则1()2'x h x =-．当1(0,)2x ∈ 时，()0h'x < ；当1(,)2x ∈+∞ 时，()0h'x >， 所以()h x 在1(0,)2上单调递减，在1(,)2+∞上单调递增．又()2e 0h ->，1()02h <，()10h =，所以()h x 在1(0,)2有唯一零点0x ，在1[,)2+∞有唯一零点1， 且当()00,x x ∈时，()0h x >；当()0,1x x ∈时，()0h x <，当()1,x ∈+∞时，()0h x >．因为()g ()'x h x =，所以x x =是()g x 的唯一极大值点．由0g ()0'x =得()00ln 21x x =-，故()()000g 1x x x =-．由()00,1x ∈得()01g 4x <．因为0x x =是()g x 在（0，1）的最大值点，由()1e 0,1-∈，1g (e )0'-≠得120g()(e )e x g -->=．所以()220e g 2x --<<．。