3.在等比数列 an 中,若 a2a5
5
3 4
, a2
a3
a4
a5
5 4
,
则
1 a2
1 a3
1 a4
1 a5
____3__.
4.设等差数列 an 的前 n 项和 Sn ，且 a1 0, a3 a10 0,
a6a7 0, 则满足 Sn 0 的最大自然数 n 的值为__1_2___.
5．设数列 an , bn 都是等差数列,若 a1 b1 7, a3 b3 21,
4.设数列 an 的前 n 项和为 Sn , 已知 a1 a, an1 Sn 3n , n N*.
(Ⅰ) 设 bn Sn 3n ，求数列 bn 的通项公式;(a 3)2n1(n N* )
(Ⅱ) 若 an1 ≥ an , n N* ,求 a 的取值范围. 9，
成等比数列.
⑤Sn Sm qm Snm (n > m)
设 三数等差： a d , a, a d
元 四数等差：
技 巧
a 3d,a d,a d,a 3d
三数等比： a , a, aq或a, aq, aq2 q
四数等比： a, aq, aq2 , aq3
联
系
① 如果 an 是正项等比数列,则数列 log3 an 是等差数列.
n
项 和
①Sn
na1
n(n 2
1)
d
n(n
1)
注:1 2 (n 1) __2__
②Sn _n_(_a_12__a_n )
(Ⅰ) 当 q 1 时, Sn na1
(Ⅱ)①Sn
a1
1 qn 1q
(q 1)
注:(1 q)(1 q q2 qn1) 1____qn
(倒写相加法推导)
a1 anq
要 性 质 (会 推 导 就
(m, n, p, q N * , m n p q)
(m, n, p, q N * , m n p q)
② an am (n m)d
② an am qnm
③从等差数列中抽取等距离的项组 ③从等比数列中抽取等距离的项组
成的数列是一个等差数列。
成的数列是一个等比数列。
③Sn
d 2
n
2
a
1
d 2
n
(二次函数的特点)
② Sn ___1___q_____(q 1)
(错位相减法推导)③SnFra biblioteka1 1q
qn
a1 1 q
(q
1)
( q 0 时,指数函数规律)
等差数列
等比数列
重 ①等和性:am an a p aq
① 等积性 : am an a p aq
证明等差数列的方法
an1 q an
( q 为常数, n≥ 2)
证明等比数列的方法
通项 an a1 (n 1)d
公式
累加法推导
an a1qn1
累乘法推导
中项
若 则
aA、A_、_a_b_成_b_等__差_,.
若 a、G、b 成等比,
则 G ____a_b____ .
2
等差数列
等比数列
前
② 如果 an 是等差数列,则数列 3an 是等比数列.
例 1.已知成等差数列三个正数的和等于 15，并且这三个 实数依次加上 1,1,4 后又成等比数列，求这三个数．
解：设这三个数为 a d,a,a d ,
由题意，得
a d a
a d 1
a d 15
a d 4
a
1 12 2
等差与等比综合
温习等差与等比定义、通项、中项
前几项和公式
等差与等比的性质
例1 课堂练习1，2，3，4，5
例2、例3 课堂练习6，7，8
补充练习
阳江市第一中学
周如钢
等差与等比综合
等差数列和等比数列是数列的两个重要模型,
应深刻领会其概念及有关性质.
等差数列
等比数列
定义 an1 an d
( d 为常数, n≥ 2)
若 3a8 5a13 ,则当 Sn 取最大值时， n 的值为_2__0___.
2.已知方程 x2 mx 2 x2 nx 2 0 的四个根组
成一个首项为 1 的等比数列，则 m n __3__
2
2
3.设数列 an 的各项都为正数,若 an 与 2 的等差中项等于
其前 n 项和 Sn 与 2 的等比中项 (n N ) ,则 an =4__n___2.
判断正确的是 ①②④⑤ （写出全部正确的序号）
8.在数列
an
中,
a1
1 , an1
(1
1 n )an
n1
2nn (n
N
)
.
(1) 求数列an 的通项公式; (2) 求数列an 的前 n 项和 Sn
.
an Sn
2n n2
2n1 n4
n2 2n1
补充练习：
1.已知等差数列 an 的首项 a1 0 ,前 n 项和为 Sn ,
bn
是等差数列;
用定义证
(Ⅱ) 求数列
an
的前 n 项和 Sn . Sn (n－1) 2n 1
课堂练习：
1.已知 an 则 cos a2
2.等比数列
为等差数列，若 a11 a5 a8 的值为_____2_. an 的前 n 项和为 Sn
a9
32n1 r
，
,则
r
1 的值为___3_.
则 a5 b5 __3_5___.
课堂练习：
6.设等比数列 an 满足 a1 a3 10 ， a2 a4 5 ，
则 a1a2 …an 的最大值为__6_4___.
7.已知 a1、a2、a3、a4 成等差数列，且 0 a1 2 ,
a3 4 ，定义 bn 2an ( n 1, 2, 3, 4 )， 则 ① b1、b2、b3、b4 成等比数列; ② b1 b2 ; ③ b2 < 4 ; ④ b4 > 32 ; ⑤ b2b4 256 .
如：a1 , a4 , a7 , a10 , （下标成等差数列） 如： a1 , a4 , a7 , a10 , （下标成等差数列）
④ Sk , S2k Sk , S3k S2k 成等差数列. ④ Sk 0时，Sk , S2k Sk , S3k S2k
行) ⑤S2n1 (2n 1)an
1
(Ⅰ) 求数列 an 的通项公式; an 3n
(Ⅱ) 设 bn log3 a1 log3 a2 ...... log3 an ,
求数列
1 bn
的前
n
项和.
2n n1
例 3.在数列 an 中， a1 1 ， an1 2an 2n ．
(Ⅰ) 设 bn
an 2n1
,证明:数列
由（1）（2）两式，解得 a 5
将 a 5代入（2），
整理得 d 2 3d 18 0解得d 3或d 6(舍),
∴这三个数为 2, 5, 8 .
【解题回顾】本题巧妙利用等差数列、等比数列的条件设 未知数，充分利用条件列方程是解这类问题的关键所在.
例 2.等比数列an 的各项均为正数，
且 2a1 3a2 1, a32 9a2a6 .