二项分布【知识网络】1、条件概率的概念、公式、性质，并能运用它们计算事件的概率；2、两个事件相互独立的概念，判断两个事件是否是相互独立事件；3、理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。

【典型例题】 例1：（1）将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率)(B A P 等于 （ ）A 、9160B 、21C 、185D 、21691答案：A 。

解析：1515519115460()60(),()3,(|)666666216666216()91P AB P B P AB P A B P B =+⨯+⨯⨯==⨯⨯⨯=∴==。

（2）某人射击命中目标的概率为0.6,每次射击互不影响,连续射击3次,至少有2次命中目标的概率为 ( )A.12584B. 12581C. 12536D. 12527答案：B 。

解析：12581)53(52)53(333225=+⋅C C 。

（3）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率是71，现在甲、乙两人从袋中轮流摸出1球，甲先取，乙后取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球每一次被取到的机会是等可能的，那么甲取到白球的概率是 （ ）A 、73B 、356C 、351D 、3522答案：D 。

解析：设白球有n 个，2271,3,7nC n C==∴P 甲=34334321227765765435+⨯⨯+⨯⨯⨯=。

（4）某气象站天气预报准确率是80%，5次预报中至少有4次准确的概率是______(精确到0.01) 。

答案：0.74。

解析：74.08.02.08.0)(555445≈⋅+⨯⨯=C C A P 。

（5）在10个球中有6个红球，4个白球（各不相同），不放回的依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是 。

答案：95。

解析：设“第一次摸到红球”为事件A ，“第二次摸到红球”为事件B ，则665(),()10109P A P AB ⨯==⨯，∴(|)()/()5/9P A B P AB P A ==。

例2：甲乙两人独立解出某一道数学题的概率依次为()1212,P P P P >，已知该题被甲或乙解出的概率为0.8，甲乙两人同时解出该题的概率为0.3，求: （1）12, P P ;（2）解出该题的人数X 的分布列及EX .答案：解：（1）设甲乙两人解出该数学题分别为事件A 和B ，则12(),()P A P P B P ==，所以()()()()0.80.3P A B P A B P A B P A B ⎧⋅+⋅+⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()()12211212110.80.3P P P P P P P P ⎧-⋅+-⋅+⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩解之得120.6,0.5P P ==（2）(0)0.40.50.2P X ==⨯=，(1)0.60.50.40.50.5P X ==⨯+⨯=，(2)0.60.50.3P X ==⨯=所以00.20.510.32 1.1EX =⨯+⨯+⨯=。

例3：高二（1）班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为31，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验.（Ⅰ）第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实 验至少有3次发芽成功的概率；（Ⅱ）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发 芽成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但实验的次数最多 不超过5次，求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的概率分布列和数学期望． 答案：解（Ⅰ）至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发牙成功 设5次试验中发芽成功的次数为随机变量X ，则P （X=3）=33251240()()33243C ⋅= 4451210(4)()33243P X C ==⋅=555121(5)()33243P X C ==⋅=所以至少有3次发芽成功的概率)5()4()3(=+=+==X P X P X P P4010151243243243243=++=（Ⅱ）随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4，51(1)3P ξ==212(2)339P ξ==⋅= 2214(3)()3327P ξ==⋅=3218(4)()3381P ξ==⋅= 4216(5)()1381P ξ==⋅=所以ξ的分布列为ξ的数字期望812118116581842743922311=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE例4：设飞机A 有两个发动机，飞机B 有四个发动机，如有半数或半数以上的发动机没有故障，飞机就能安全飞行。

现设各发动机发生故障的概率p 是 t 的函数1t p e λ-=-，其中t 为发动机启动后所经历的时间，λ为正常数，试论证飞机A 与飞机B 哪一个更安全(这里不考虑其他故障)。

答案：解：设飞机A 能安全飞行的概率为1P ，飞机B 能安全飞行的概率为2P ，则22221211)1()1(p p C p p C P -=-+-=43434443342341)1(41)1(1p p p p p p C p p C P +-=---=---=)1)(31(3)1)(13()143(43223223412--=--=+-=+-=-p p p p p p p p p p p p P P又 tep λ--=1 所以)32()1(3212-⋅⋅-=----t t t e e e P P λλλ 当23ln1λ>t 时，320<<-t e λ，012<-P P ，12P P <； 当23ln1λ=t 时，32=-t e λ，012=-P P ，12P P =； 当23ln1λ<t 时，32>-t e λ，012>-P P ，12P P >；故当23ln1λ>t 时，飞机A 安全；当23ln 1λ=t 时，飞机A 与飞机B 一样安全；当23ln1λ<t 时，飞机B 安全。

【课内练习】1．在4次独立试验中，事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率是8165，则事件A 在一次试验中出现的概率是 （ ）A 、31B 、52C 、65D 、32答案：A 。

解析：设A 发生概率为P ，46511(1),813P P --==。

2．把一枚硬币抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现反面”，则)(A B P 等于 （ ）A .21B .41C .31D . 1答案：A 。

解析：()111(),(),(|)24()2P AB P A P AB P B A P A ====。

3．甲、乙两人独立解同一个问题，甲解决这个问题的概率是1p ，乙解决这个问题的概率是2p ，那么恰好有一人解决这个问题的概率是 （ ） A 、21p p B 、)1()1(1221p p p p -+- C 、211p p - D 、)1)(1(121p p ---答案：B 。

解析：恰好有一人解决这个问题是指甲解决且乙未解决，与乙解决且甲未解决这两个互斥事件有一个发生。

4．一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次停止，用X 表示取球的次数，则==)12(X P 。

答案：1022118385⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛C 。

解析：==)12(X P 1022118385⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛C 。

5．抛掷一颗骰子两次,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下, 则第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为 。

答案：21。

解析：设第一次掷得向上一面点数是偶数的事件为A,第二次掷得向上一面点数是偶数的事件为B,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为213618369)()()(===A P AB P A B P 。

6．已知每个人的血清中含有乙型肝炎病毒的概率为3‰，混合100人的血清，则混合血清中有乙型肝炎病毒的概率约为 。

(参考数据：0.996100≈0.6698，0.997100≈0.7405，0.998100≈0.8186)答案：0.2595。

解析：P=1－()100003.01-≈0.2595。

7．一张储蓄卡的密码共6位数字，每位数字都可从0到9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，则（1）任意按一位数字，不超过2次就按对的概率为 ；（2）如果他记得密码的最后一位数字是偶数，不超过两次就按对的概率为 。

答案：12;55。

解析：（1）1911101095P ⨯=+=⨯，（2）14125545P ⨯=+=⨯。

8．设随机变量X —B(2,P)，Y —B(3,P ），若7(1)16P X ≥=,则P （Y=2）= .答案:964.解析：27(1)1(0)1(1)16P X P X P =≥=-==--，解得14P =， 故223139(2)()4464P Y C ==⋅⋅=。

9．一高考考生咨询中心有A 、B 、C 三条咨询热线。

已知某一时刻热线A 、B 占线的概率均为0.5，热线C 占线的概率为0.4，各热线是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有ξ条热线占线，试求随机变量ξ的分布列和它的期望。

答案：解：随机变量ξ可能取的值为0，1，2依题意，得P(ξ=0)=0.15， P(ξ=1)=0.4，P(ξ=2)=0.35，P(ξ=3)=0.1 ∴ξ的分布列如下表：∴它的期望为E ξ=0⨯0.15+11.0335.024.0⨯+⨯+⨯=1.4。

10．某校要组建明星篮球队，需要在各班选拔预备队员，规定投篮成绩A 级的可作为入围选手，选拔过程中每人投篮5次，若投中3次则确定为B 级，若投中4次及以上则可确定为A 级，已知某班同学阿明每次投篮投中的概率是0.5. （1）求阿明投篮4次才被确定为B 级的概率；（2）设阿明投篮投中次数为X ，求X 的分布列及期望；（3）若连续两次投篮不中则停止投篮，求阿明不能入围的概率.答案：解：（1）阿明投篮4次才被确定为B 级的概率1632121)21(223=⨯⨯=C P .（21(5,)25()2E X =（3）若连续两次投篮不中则停止投篮，阿明不能入围这一事件有如下几种情况：①5次投中3次，有24C 种投球方式，其概率为163)21()3(524==C P ； ②投中2次，分别是中中否否、中否中否否、否中中否否、否中否中否，概率是325)21(3)21()2(54=⨯+=P ；③投中1次分别有中否否、否中否否，概率为163)21()21()1(43=+=P ； ④投中0次只有否否一种，概率为41)21()0(2==P ； 所以阿明不能入围这一事件的概率是3225)0()1()2()3(=+++=P P P P P 。