圆锥曲线中的存在性问题一、基础知识1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。

再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替（1）点：坐标（x0, y0）（2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量）（3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程3、解决存在性问题的一些技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。

（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。

（3）核心变量的求法：①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。

二、典型例题：22例1：已知椭圆C : x+ y=1（a b0）的离心率为3，过右焦点F的直线l与C相交于A, B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为（1）求a, b的值uuur uuur uuur （2）C上是否存在点P，使得当l绕F旋转到某一位置时，有OP = OA + OB成立？若存在，求出所有的P的坐标和l的方程，若不存在，说明理由解：（1）e = c = 3a:b:c = 3: 2 :1a3则a = 3c ,b = 2c ，依题意可得： F (c ,0) ，当l 的斜率为1时l :y = x - cx - y - c = 0 d O -l = = 解得： c = 122a = 3,b = 2 椭圆方程为： +=132(2)设P ( x 0 , y 0 ) ， A (x 1, y 1),B (x 2, y 2)当l 斜率存在时，设l :y = k (x -1)联立直线与椭圆方程：y =k (x -1) 消去y 可得：2x 2+3y 2=6 (3k 2 +2)x 2 -6k 2x +3k 2 -6=0uuur uuur uuur Q OP =OA +OBx 0 =x 1 +x 2 y 0 =y 1+y 2 x 1+x 2= 62k y 1+ y 2 =k (x 1+x 2)-2k = 6k 3 3k 2+2 -2k 4k 3k 2+ 2 4k P 3k 62k +2,-3k 42k +2 因为P 在椭圆上 23k 2+2+3-3k 2+2=6 72k 4 +48k 2 =6(3k 2 + 2)2 24k 2 (3k 2 +2)=6(3k 2 +2)2 24k 2= 6(3k 2+ 2) k = 2 当 k = 2 时， l : y =2 ( x -1) ， P , - 32 2,- 2 当k =- 2时，l : y =- 2(x -1)，P 3, 2 32 2, 2 当斜率不存在时，可知l :x =1 ，A 1,2 3 l :x =1 A 1, 3 ,B 1,-23 3，则P (2,0)不在椭圆上2x 2+3k 2(x -1)2 = 6 ，整理可得：综上所述： l : y = 2(x -1)，P 3,- 2或l : y =- 2(x -1)，P 3, 2 22 32 22 22 例2：过椭圆 : x + y = 1(a b 0)的右焦点F 2的直线交椭圆于A , B 两点， F 1为其左 焦点，已知V AF 1B 的周长为 8，椭圆的离心率为 3 121)求椭圆的方程 2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点P ,Q ，且 OP ⊥ OQ ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由 解：(1)由V AFB 的周长可得：4a =8a = 2 e = = c = 3 b 2 = a 2 - c 2 = 1 a 2 椭圆:x+ y 2 =1 4 2)假设满足条件的圆为x 2 +y 2 = r 2 ，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内 0 r1 若直线PQ 斜率存在，设PQ :y =kx +m ，P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2) Q PQ 与圆相切 d O -l = m=r m 2=r 2(k 2+1) k 2 + 1 uuur uuur OP ⊥OQ OP OQ =0 即xx +y y =0 联立方程： y =kx +m (1 + 4k 2 ) x 2 + 8kmx + 4m 2 - 4 = 0 x 2+4y 2=4 8km 4m 2 - 4x 1 + x 2 = - , x 1x 2 = 1 2 4 k 2+1 1 2 4 k 2+ 1 y y =(kx +m )(kx +m )=k 2x x +km (x + x )+m 2 xx + y y =(k 2+1)x x +km (x +x )+m 25m 2-4k 2-4 4k 2 + 1 5m 2 - 4k 2 - 4 = 0对任意的m , k 均成立uuur uuur 2OP OQ =0 PQ :x =2 5符合题意若PQ :x =-2 5 ，同理可得也符合条件4 综上所述，圆的方程为： x 2 + y 2 =4 522 例3：已知椭圆 x + y =1(a b 0)经过点(0, 3) ，离心率为1 ，左，右焦点分别为 F 1(-c ,0) 和 F 2 (c ,0)(1)求椭圆C 的方程(2)设椭圆C 与x 轴负半轴交点为A ，过点M (-4,0)作斜率为k (k0)的直线l ，交椭 圆C 于B ,D 两点(B 在M ,D 之间)，N 为BD 中点，并设直线ON 的斜率为k 1 ① 证明： k k 1为定值② 是否存在实数k ，使得F 1N ⊥ AD ？如果存在，求直线l 的方程；如果不存在，请说明 理由解：(1)依题意可知：e = c =1 可得：a :b :c =2: 3:1 a 24m 2 - 4 4k 2+1 ( k 2+ 1) + km8km 4k 2+1将m 2 =r 2(k 2 +1)代入可得：5r 2(k 2 +1)-4(k 2 +1)=0 4 54 其方程为： x 2+y 2=45 可知切线PQ 为x =2 5 2 5 2 5 (5r 2-4)(k 2+1) = 0 r 2 存在符合条件的圆，当 PQ 斜率不存在时， 2 若PQ :x = 2 5，则P2 5 2 5 5 , 5 ,Q 5 522椭圆方程为： +=1，代入(0, 3) 可得： c =122 椭圆方程为： x +y =1 432)① 证明：设B (x 1, y 1),D (x 2,y 2)，线段BD 的中点 N (x 0, y 0)设直线l 的方程为：y =k (x +4)，联立方程：3x 2+4y 2=12 化为：(3+4k )x +32k x +64k -12=02 1 -32 k 264 k 2-12由0解得：k 214 且x 1+x 2 = 4-k 322+k 3,x 1x 2 = 644k k 2 +- 132 x 0 = x 1 +2x 2 = -41k 62k +3 y 0=k (x 0+4)= 4k 122k+3 ② 假设存在实数k ，使得F 1N ⊥ AD ，则k FN k AD =-1 12k k = y 0 = 3+ 4k 2 = 4k k F 1N = x +1= 16k 2 =1-4k 2 0-+1 3+ 4k 2 即4k 2x +16k 2 =(4k 2 -1)x +8k 2 -2x =-2-8k 2-2 因为D 在椭圆上，所以x 2-2,2， 矛盾 所以不存在符合条件的直线l 例 4：设F 为椭圆E : x + y =1(ab 0)的右焦点，点P 1,3在椭圆E 上，直线 l 0 : 3x - 4y -10 = 0与以原点为圆心，以椭圆E 的长半轴长为半径的圆相切k = y 0 =- 3 1 x 4 k kk =- 3k =-3 1 4k 4y 0 k AD y 2 k (x 2 +4)x +2x +24kk (x 2 + 4) 2 = - 1k F 1N kAD =1-4k 2 x +21）求椭圆E的方程2）过点F的直线l与椭圆相交于A, B两点，过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q，问是否存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由22椭圆方程为：x+y=1432）由椭圆方程可得：F（1,0）3设直线l:y=k(x-1)，则PQ:y-3=k(x-1)联立直线l与椭圆方程：y=k(x-1)消去y可得：(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=03x2+4y2=12=(8k2)2-4(4k2+3)(4k2-12)=144k2+144 AB = 1+k x1-x2= 1+k4k2+3=4k2+3同理：联立直线PQ与椭圆方程：3y =k(x-1)+2消去y可得：(4k 2+3)x2-(8k2-12k )x+4k2-12k-3=0 3x2+ 4y2=12d O -l=10=2=r a=25=1 可得：b = 3解：（1）Q l0与圆相切将P1, 3代入椭圆方程x+b2PQ = 1+k 222 = 1+k214414 + k + k 24k 2+3 =(8k 2 -12k )2 -4(4k 2 -12k -3)(4k 2 +3)=1441+k +k 2 因为四边形PABQ 的对角线互相平分四边形PABQ 为平行四边形AB =PQ3 解得：k =3 4存在直线l :3x -4y -3= 0时，四边形PABQ 的对角线互相平分例5：椭圆C : x + y =1(ab 0)的左右焦点分别为F 1,F 2，右顶点为A ，P 为椭圆C 1 上任意一点，且PF 1PF 2的最大值的取值范围是c 2,3c 2，其中c =a 2-b 2 (1)求椭圆C 1的离心率e 的取值范围(2)设双曲线C 2以椭圆C 1的焦点为顶点，顶点为焦点，B 是双曲线C 2在第一象限上任意 一点，当e 取得最小值时，试问是否存在常数(0)，使得BAF 1=BF 1A 恒成立？ 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 解：(1)设P (x ,y ),F 1(-c ,0),F 2(c ,0)uuur uuurPF 1=(-c -x ,-y ),PF 2=(c - x ,-y )uuur uuur1441 +k +k 24k 2+3 PF PF = x 2 + y 2 -cb 2 y 2 =b 2 -b x 2代入可得： 4k 2+3aQ x-a,a(PF PF)= b212maxc2b23c2c2a2-c23c24c2a双曲线方程为 -=1， A (2c ,0),F 1(-c ,0)，设B (x 0, y 0)， x 00,y 00 c 23c 2 1 00 00 当 AB ⊥ x 轴时， x =2c , y =3c3ctan BFA = 3c = 1 BFA = 因为BAF =1 3c 1 4 12 BAF = 2BFA 所以= 2，下面证明= 2对任意B 点均使得BAF = BF A 成立 考虑tanBAF =-k =- y 0, tan BF A = k = y 0 1AB x -2c 1BF 1 x +c 2 y 0 tan2BFA = 2tan BF 1A = x 0+c = 2y 0(x0+c ) tan2BF 1A =1-tan 2BF 1A =y 02= (x 0 + c )2 - y 0 2 x 0 +c 22 由双曲线方程 -=1 ，可得： y 0=3x 0-3cc 23c 2 00( x + c ) - y = ( x + c ) - 3x + 3c = -2x + 2cx + 4c = 2( x + c )( 2c - x ) tan 2BF A = 2y 0(x 0+c ) = y 0 = tan BAF 12(x +c )(2c -x ) 2c - x 1 BAF = 2BFA 结论得证=2时，BAF =BF A 恒成立 22 例6：如图，椭圆E : x + y = 1(ab 0)的离心率是 2 ，过点P (0,1)的动直线l 与椭 圆相交于 A , B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为2 2(1)求椭圆E 的方程 1e 11 e22 2）当e = 12时，可得： a =2c ,b =3c2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得对于任意直线l，Q Q B A = P P B A恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由椭圆方程为2x b2+b y2=1由直线l被椭圆E截得的线段长为2 2及椭圆的对称性可得：点( 2,1) 在椭圆上2+ 1=1b2=2 a2=42b2b222椭圆方程为x+y=1422)当l与x轴平行时，由对称性可得：PA = PBQ在AB的中垂线上，即Q位于y轴上，设Q(0, y0)当l与x轴垂直时，则A(0, 2),B(0,- 2)PA = 2-1, PB = 2+1 QA = y0- 2 ,QB = y0+ 2Q P,Q不重合y0=2Q(0,2)下面判断Q(0,2)能否对任意直线均成立若直线l的斜率存在，设l:y=kx+1，A(x1, y1),B(x2,y2)解：(1) e ==a2a:b:c=2:1:1QA=PAQB=PB=1即QA = QBQA PA y0 - 2=QB=PB y0+ 22- 12+ 1可解得y0=1或y0=2联立方程可得：x +2y =4(1+2k 2)x 2+4kx -2=0 y =kx +1由 QA = PA 可想到角平分线公式，即只需证明QP 平分BQA只需证明k QA =-k QB k QA + k QB =0A (x 1, y 1),B (x 2, y 2)4kx 1+x 2 =- ,x 1x 2 =- 1 2 1 +2k 21 2 1+2k24k2k - +k + k = 1 +2k1+2k= 0kQA+ kQB== 0-1+ 2k 2k QA + k QB = 0 成立 QP 平分BQA由角平分线公式可得： QA = PA例 7：椭圆C : x + y = 1（a b0）的上顶点为A ， P4, b是C 上的一点，直径的圆经过椭圆C 的右焦点F （1）求椭圆C 的方程（2）动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，问：在x 轴上是否存在两个定点，它们到直 线l 的距离之积等于 1？若存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由y1x -2,k QBx1y 2- 2k + ky 1-2y 2-2x 2(y 1-2)+x 1(y 2 -2) x 2y 1 + x 1y 2 -2(x 1+x 2)+2 x1 x 2x 1x2x 1x2因为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在直线y =kx +1上，1=kx +11代入①可得：y 2 = kx 2+1x (kx +1)+x (kx +1)-2(x +x ) 2kxx -(x + x )k QA + kQBx 1x2x 1x2联立方程可得：x 2+2y 2=4y =kx +1 (1+2k 2)x 2+4kx -2=0以 AP 为解：由椭圆可知： A (0,b ),F (c ,0)Q AP 为直径的圆经过 F FA ⊥FPuuur uuur uuur uuur 4 bFA FP =0 Q FA =(-c ,b ),FP =4-c ,b-c4-c +b2=0c 2 - 4c +b=033 3 3由P4,b在椭圆上，代入椭圆方程可得：116+ 1b=1a 2 =2 a 29b 29k +m k +mk 2+ km (+)+ m 2因为直线l 与椭圆相切，联立方程：y =kx +m(2k + 1) x + 4kmx + 2m - 2 = 0 x 2+2y 2=22k +1 x+4kmx +2m -2=0由直线l 与椭圆相切可知= (4km )2 -4(2k 2+1)(2m 2-2)=0化简可得： m 2 = 2k 2 + 1 ，代入①可得：k1 2+km (1+2)+2k +1=1k 2+km (+)+2k 2 +1=k 2 +1b 2b 2 b 2c 2- 4c + b= 033b =c =1 b 2 +c 2 =a 2 =2x 2椭圆方程为x 2 +y 2 =1 2)假设存在x 轴上两定点M 1(1,0),M 2(2,0)，(12)设直线l :y =kx +m M 1-lk1+mk2+mk 2+1,d MM 2-lk 2+1 所以依题意：M 1-lM 2-lk 2(+1)+km (+)=0，依题意可得：无论k ,m 为何值，等式均成立所以存在两定点：M 1 (-1,0),M 2 (1,0)例8：已知椭圆C 1:x 2+4y 2=1的左右焦点分别为F 1,F 2，点P 是C 1上任意一点，O 是坐 标原点，Ouur uuur uuurQ = PF 1 + PF 2 ，设点Q 的轨迹为C 2(1)求点Q 的轨迹C 2的方程uuur uuuur uuuur uuur(2)若点T 满足：OT =MN +2OM +ON ，其中M ,N 是C 上的点，且直线OM ,ON 的 斜率之积等于- 1 ，是否存在两定点，使得TA + TB 为定值？若存在，求出定点A , B 的坐 标；若不存在，请说明理由1)设点Q 的坐标为( x , y ) ，点P 的坐标为( x 0, y 0 )，则x 02 + 4 y 02 = 1 由椭圆方程可得：F 1- 3,0,F 22- 3-x 0,-y 0,PF 2 = 3-x 0,-y 0x2+y 2=14(2)设点T (x , y )，M (x 1, y 1),N (x 2,y 2)uuur uuuur uuuur uuur Q OT = MN + 2OM + ON(x ,y )=(x 1-x 2,y 1- y 2)+2(x 1,y 1)+(x 2,y 2)x =2x +x y =2y 2+y 1设直线OM ,ON 的斜率分别为k OM ,k ON ，由已知可得：k OMk ON = y 2y1=-1OM ON OM ONx 2x 14x 1x 2 +4y 1y 2 =012 = -1+=0121 =-1 2 = 123,0uuur uuur uuur uuur Q OQ =PF +PF 且 PF = Q (-2x 0,-2y 0) x =-2xy =-2y 0xy 0x 2代入到x 02+4y 02=1可得： y002考虑x2+4y2=(2x2+x1) +4(2y2+ y1) =(x12+4y12)+4(x22+ 4 y22) + 4x1x2+16 y1y2 Q M,N是C2上的点x 1 +4y1 = 4x22+4y22=4x2+4y2= 4+44= 20即T的轨迹方程为2x0+ y5=1，由定义可知，T到椭圆2x0+ y5=1焦点的距离和为定值A, B为椭圆的焦点A(-15,0),B( 15,0)所以存在定点A,B22例9：椭圆E: x+ y = 1(a b0)的焦点到直线x - 3 y = 0的距离为10，离心率为252 5，抛物线G:y2= 2px( p0)的焦点与椭圆E的焦点重合，斜率为k的直线l过G的焦点与E交于A, B，与G交于C,D(1)求椭圆E及抛物线G的方程1(2)是否存在常数，使得1+ 为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说 2 AB+CD明理由解：(1)设E,G的公共焦点为F(c,0)d= c = 10c=2d F-l=10=5c=2e= = a= 5 b2= a2- c2=1a5E:x5+ y2=1y 2 =8x2)设直线l : y = k (x - 2)， A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),D (x 4,y 4) 与椭圆联立方程：y = k ( x - 2)(5k 2 +1)x 2 -20k 2x +20k 2 -5=0x 2+5y 2=55k +1 x -20k x +20k -5=020k 220k 2- 5x 1 + x 2 = , x 1 x 2 = 1 2 1+5k 21 2AB = 1+ k 2 ( x + x ) - 4x x = ( )若 A 1B + C D 为常数，则20+ 5=4=-1655例10：如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C : x + y = 1（ab0）的离心率为 6 ，直线l 与x 轴交于点E ，与椭圆C 交于A , B 两点，当直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的 （2）是否存在点E ，使得E 1A 2 + E 1B 2为定值？若存在， 请求出点E 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理 解：（1）依题意可得：e = c =6a :b :ca 3当l 与x 轴垂直且E 为右焦点时， AB 为通径AB = 2b 2 = 2 6a = 6,b = 2a 31 +5k 21+5k 2直线与抛物线联立方程：y 2 = 8xk 2x 2 -(4k 2 +8)x + 4k 2 = 04k 2 + 8x + x =k 2Q CD 是焦点弦CD = x + x + 4 = (+1k 21+1+ 5k 2 +k 2AB CD 2 5(k 2 +1) 8(k 2 +1)8 5(k 2 +1)4+20k 2 + 5k 2 4+(20+5)k 28 5 (k 2 +1)右焦点时，弦AB 的长为236 1）求椭圆C 的方程22x 2+ y 2=1 62(2)思路：本题若直接用用字母表示A ,E ,B 坐标并表示 EA , EB ，则所求式子较为复杂， 不易于计算定值与E 的坐标。