圆锥曲线中的存在性问题、基础知识 1在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。
再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素， 则假设成立；否则即判定不存在 2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1 ）点：坐标 x 0,y 0（2 ）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量）（3 ）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必 要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。
（2 ）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素 作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。
（3）核心变量的求法：①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法：若无法直接求出要素， 则可将核心变量参与到条件中， 列出关于该变量与辅助变 量的方程（组），运用方程思想求解。
、典型例题:于A,B 两点，当I 的斜率为1时，坐标原点 0到I 的距离为在，求出所有的 P 的坐标和I 的方程，若不存在，说明理由解：（1） e C 2 3 a : b : c '3^2 :1a 32 2例1 :已知椭圆C :笃每 1 aa b0的离心率为过右焦点F 的直线I 与C 相交（1 ）求a,b 的值（2） C 上是否存在点P ，使得当I 绕F 旋转到某一位置时，有 0P成立？若存则a , 3c, b ,2c，依题意可得：F c,0，当I的斜率为1时d o 解得:、、3,b 椭圆方程为:X2 2 y2(2)设P x o,y o ,X i,y i ,B X2,y2 当l斜率存在时，设X o X1 X2 联立直线与椭圆方程:3k2 2 x2 6k2xX 16k2X23k2 26k23k2 2'6k23k2 24 272 k 48ky o y1y2 22x 3y3k2y1 Y2 ky2消去6X-| x2y 可得：2x2 3k22k6k33k22k21 6，整理可得:4k3k2 24k3k2 2因为P在椭圆上26 3k 2 2 224 k 3k 3k224k2 6 3k2.2.2 时，I 3 V2 2，2当斜率不存在时，可知4,B3 2,0不在椭圆上1,3，P 3,—或 l: y /2 x 1，P 3,三2 2 2 22 2例2：过椭圆：笃占 1 aa 2 b2(1)求椭圆 的方程(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆OP OQ ?若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由c 2 1椭圆4m 2 4 4k 2 1焦点，已知 [ARB 的周长为8, 椭圆的离心率为-2解：(1 )由 jARB 的周长可得:4a 8(2) 假设满足条件的圆为 ，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内若直线PQ 斜率存在，设 PQ: kxI PQ 与圆相切 d o 2k 2联立方程:OP OQ 即x 1x 2yy 0y kx m x 24y 241 4k2 x 2 8kmx4m 2y"k 2x 1x 2 km 为 x 2 k 2 1 为x 2km x 1 X 2m 2综上所述：l : y 2 x 1b 0的右焦点F 2的直线交椭圆于 代B 两点，F i 为其左恒有两个交点P,Q ，且b 2X 1 X 28km5m24k2将m25r22 25m 4k 44k2 1 4 0对任意的1代入可得:4 k2 1 0存在符合条件的圆，其方程为: 当PQ斜率不存在时，可知切线若PQ:xO P O Q若PQ:x m,k均成立5r2 k2PQ为M5，则P¥8km4k214 k252花52.5J5 PQ：x 5'5符合题意5砧，同理可得也符合条件综上所述，圆的方程为:m22 2 例3:已知椭圆二 -^2a2b20经过点0八3，离心率为1，左，右焦点分别为2F1c,0和F2c,0(1)求椭圆C的方程(2)设椭圆C与x轴负半轴交点为A，过点M 4,0作斜率为k k 0的直线I，交椭圆C于B,D两点（B在M , D之间），N为BD中点，并设直线ON的斜率为k1①证明：k k1为定值②是否存在实数k，使得F1N AD ?如果存在，求直线I的方程；如果不存在，请说明理由解：（1）依题意可知：e2可得：a:b:c 2: 3:1l o ：3x 4y 100与以原点为圆心，以椭圆 E 的长半轴长为半径的圆相切椭圆方程为：2x4c 22y 3c 21,代入0,可得：c 122椭圆方程为：x y_ 14 3(2［①证明: 设B X 1，% ,D X 2』2 ，线段BD 的中点N X 0，y °设直线I 的方程为：y k x 4，联立方程:②假设存在实数k ，使得F 1Nk % 12k 3 4k 2 kF 1NX 。
116k 2 d•y 22 13 4k 2k x 2 4x 2 2 x 22y 0 k X 04 12k4k 2 333k — 4k 4AD ，则 k F 1N k AD 14k 3 4所以不存在符合条件的直线I2 2x y 例4 :设F 为椭圆E : —2 21 a b 0的右焦点，点a b1 4k2 4 8k 2 2 x 22 8k 2 2y k x 4 3x 2 4y 212化为:3 4k 2 x 2 32k 2x 64k 2 12 0X 1 X 216k 2x22 4k 3y3k 1k |kX 0 4k由 0解得：k 2丄4且 x ( x 2k F 1N kAD4k k x 2 4 22 1 4kX 2 即 4k 2x 2 16k 2 4k 2 1 X 232 k 2 4k 23 ,%X 2 64k 2 124k 2 33P 1, 在椭圆E 上，直线2因为D 在椭圆上，所以x 2 2,2，矛盾(1)求椭圆E的方程(2)过点F的直线I与椭圆相交于代B两点，过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另点Q ,问是否存在直线I，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出I的方程; 若不存在，说明理由解：(1)I I o与圆相切d o I3将P 1, 代入椭圆方程2 x2 2y_b21可得：b .32x椭圆方程为：-4(2)由椭圆方程可得: 1,0 设直线I :y k x 1 ，则PQ: y 联立直线I与椭圆方程:y 3x22消去y可得：4k2 34y 12x2 8k2x 4k212 028k2 4 4k23 4k212 144k2144AB -1 k2x1x212 k2 14k2 3同理:联立直线PQ与椭圆方程:3x24y232消去y可得:124k2 3 x28k2 12k x 4k2 12k 3 08k212k $ 4 4k2 212k 3 4k 3 144 - k k24PQ4k「3 1 k2144 1 k k2 4k2 3因为四边形PABQ 的对角线互相平分 3解得：k -4的最大值的取值范围是C 2,3C 2 ，其中c . a 2 b 2(1)求椭圆C 1的离心率e 的取值范围(2)设双曲线C 2以椭圆C i 的焦点为顶点，顶点为焦点,若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 解：（1 ）设 P x, y , F | C ,0 , F 2 C ,0PF^ C x, y ,P F 2C x, yI IPF - P F 2 x 2 y 2 C 22 2 . 2由王 2 a y b 2 1可得:2:yb 2b 2 ax 2代入可得： 1■PF 12 2x y : 2 C1 2 a22 2 2C 2 2x b C^x b Ca严a, aL T PF 1L TPF 2maxb 2C2b 23C 2C2a 2C 2 22 22C a2 3C 2224C a存在直线l : 3x 4y0时, 四边形PABQ 的对角线互相平分2x例5：椭圆C ：飞 a2y_ b 20的左右焦点分别为 F I ,F 2 ,右顶点为A , P 为椭圆C i一点，当e 取得最小值时，试问是否存在常数0，使得 BAF 1BF 1A 恒成立?四边形 PABQ 为平行四边形AB PQ12 k 24k^ 1k 2144 : k k 24k 2上任意一点，且PR ! PF 2B 是双曲线C 2在第一象限上任意、21(2)当 e 一时，可得：a 2c,b ,3c 2 2x y双曲线方程为 二 2 1， A 2c,0 ,F jc,0 ，设 B X o , y o , x ° 0, y ° 0c 3c当 AB x 轴时，x 02c, y 0 3cBAF 12 BF 1A52由双曲线方程与差 c 3c所以2，下面证明2对任意B 点均使得 BAF 1BF 1A 成立 考虑 tan BAF 1 k ABy 。
X。
2c ,tan BRAk BF 1y °x ctan 2 BF | A 2ta n BF 1A 1 ta n 2BF 1Ay °x ° c2y ° X 0 c2 y ° x °c22x ° c y °1，可得:2 c2 c 2y 0 3x 0 3c2 2 x 0 c y °x c $ 3x 0 3c 2 2x 0 2cx 0 4c 2 2 x 0 c 2c x 0tan2 BF 1A 2y 0 x c Y 0 tan BAF 1 BAF 1 2 BF 1A 结论得证2时, BAF 1 BF 1A 恒成立 例6：如图， 2 椭圆E : % a 2每1 a bb 50的离心率是巨，过点P0,1的动直线I 与椭22 x 0 c 2c x 0 2c x 圆相交于 代B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线I 被椭圆E 截得的线段长为 ^2(1)求椭圆E 的方程tan BF 1A3c 3cBRA -因为BAF 1 -(2)在平面直角坐标系 xOy 中，是否存在与点 P 不同的定点Q ，使得对于任意直线I ，恒成立？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由a :b :c ,2:1:12 2椭圆方程为命1 由直线I 被椭圆E 截得的线段长为2 一边及椭圆的对称性可得: 点2,1在椭圆上2 2x y椭圆方程为—4 2Q 在AB 的中垂线上，即Q 位于y 轴上，设Q 0,y 。
当I 与x 轴垂直时，则A 0//2 , B 0,. 2 A X 1,% ,B X 2,y 2|QA| | PAQB |PB |右右12a 24(2 )当 l 与x 轴平行时, 由对称性可得:|PA |PBQA QB1 即 I QA QBPA .2 1, PB QAy o2, QBy ° - 2QA | PA |QB |PB)P,Q 不重合Q 0,2F 面判断Q 0,2 -2迄1可解得 y °2 2 1y o y 0 2能否对任意直线均成立若直线I 的斜率存在，设I : y kxy 。