（1）求椭圆 C 的方程
（2）设椭圆 C 与 x 轴负半轴交点为 A ，过点 M 4,0 作斜率为 k k 0 的直线 l ，交椭
圆 C 于 B, D 两点（ B 在 M , D 之间）， N 为 BD 中点，并设直线 ON 的斜率为 k1 ① 证明： k k1 为定值 ② 是否存在实数 k ，使得 F1N AD ？如果存在，求直线 l 的方程；如果不存在，请说明
例
1：已知椭圆 C
:
x2 a2

y2 b2
1a b 0 的离心率为
3 ，过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交 3
于 A, B 两点，当 l 的斜率为1时，坐标原点 O 到 l 的距离为 2 。 2
（1）求 a,b 的值
（2）C 上是否存在点 P ，使得当 l 绕 F 旋转到某一位置时，有 OP OA OB 成立？若存 在，求出所有的 P 的坐标和 l 的方程，若不存在，说明理由 解：（1） e c 3 a : b : c 3 : 2 :1
0 r 1
若直线 PQ 斜率存在，设 PQ : y kx m ， P x1, y1 ,Q x2, y2
PQ 与圆相切
dOl
m r m2 r2 k2 1 k2 1
OP OQ OP OQ 0 即 x1x2 y1y2 0
y kx m
OP OQ ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由
解：（1）由 AF1B 的周长可得： 4a 8 a 2
e c 3 c 3 b2 a2 c2 1 a2
椭圆 : x2 y2 1 4
（2）假设满足条件的圆为 x2 y2 r2 ，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内

3 2
消去
y
可得：
4k 2 3
x2
8k 2 12k
x 4k 2 12k 3 0
3x2 4 y2 12
2

8k 2 12k
2
4
4k 2 12k 3
4k 2 3

144

1 4

k

k
2

PQ 1 k 2
OP OQ 0 PQ : x 2 5 符合题意 5
若 PQ : x 2 5 ，同理可得也符合条件 5
综上所述，圆的方程为： x2 y2 4 5
例
3：已知椭圆
x2 a2
y2
b2
1a b 0 经过点
0,
3
，离心率为 1 ，左，右焦点分别为 2
F1 c,0 和 F2 c,0
（1）求椭圆 C1 的离心率 e 的取值范围
（2）设双曲线 C2 以椭圆 C1 的焦点为顶点，顶点为焦点， B 是双曲线 C2 在第一象限上任意
一点，当 e 取得最小值时，试问是否存在常数 0 ，使得 BAF1 BF1A 恒成立？
若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由
存在直线 l : 3x 4y 3 0 时，四边形 PABQ 的对角线互相平分
例
5：椭圆 C :
x2 a2

y2 b2
1a
b
0 的左右焦点分别为 F1, F2 ，右顶点为 A ，P
为椭圆 C1
上任意一点，且 PF1 PF2 的最大值的取值范围是 c2,3c2 ，其中 c a2 b2
x

1
，
P


3 2
,
2
2

例
2：过椭圆 :
x2 a2

y2 b2
1a
b
0 的右焦点 F2 的直线交椭圆于
A, B 两点， F1 为其左
焦点，已知
AF1B 的周长为 8，椭圆的离心率为
3 2
（1）求椭圆 的方程
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 恒有两个交点 P,Q ，且
kF1N

y0 x0 1

3 4k 2

16k 2 3 4k 2
1


4k 1 4k 2
k AD

y2 x2
2

k x2 4
x2 2
kF1N
kAD

4k 1 4k 2

k x2 4
x2 2

1
即 4k 2x2 16k 2 4k 2 1 x2 8k 2 2 x2 2 8k 2 2
当 l 斜率存在时，设 l : y k x 1
OP OA OB


x0 y0

x1 y1

x2 y2
联立直线与椭圆方程：
y
2
x
2
kx
3y2
1
6
消去 y 可得： 2x2 3k 2 x 12 6 ，整理可得：
3k 2 2 x2 6k 2x 3k 2 6 0
因为 D 在椭圆上，所以 x2 2, 2 ，矛盾
所以不存在符合条件的直线 l
例
4：设 F
为椭圆
E
:
x2 a2

y2 b2

1a

b

0
的右焦点，点
P
1,
3 2

在椭圆
E
上，直线
l0 : 3x 4 y 10 0 与以原点为圆心，以椭圆 E 的长半轴长为半径的圆相切
（1）求椭圆 E 的方程 （2）过点 F 的直线 l 与椭圆相交于 A, B 两点，过点 P 且平行于 AB 的直线与椭圆交于另一
a3
则 a 3c,b 2c ，依题意可得： F c,0 ，当 l 的斜率为1时
l: y xcx yc0
dOl
c
2
2 2
解得： c 1
a 3,b 2 椭圆方程为： x2 y2 1 32
（2）设 P x0, y0 ， A x1, y1 , B x2, y2
2 时， l : y
2

x

1
，
P


3 2
,
2
2

当斜率不存在时，可知 l : x 1
，
A1,

2
3 3


,
B
1,

2
3 3


，则
P
2,
0
不在椭圆上
综上所述： l : y
2

x

1
，
P


3 2
,

2 2


或
l
:
y


2

2


6
72k4 48k2 6 3k2 2 2 24k2 3k2 2 6 3k2 2 2
24k 2 6 3k 2 2 k 2
当k
2 时， l : y
2

x

1
，
P


3 2
,

2
2

当k
x1

x2

6k 2 3k 2
2
y1

y2

k
x1

x2


2k

6k 3 3k 2
2

2k


4k 3k 2
2
6k 2
4k
P
3k 2

2
,
3k 2

2

因为 P 在椭圆上
2

6k 2 3k 2
2
2


3
4k 3k 2
2
解：（1）设 P x, y, F1 c,0, F2 c,0
PF1 c x,y, PF2 c x,y
PF1 PF2 x2 y2 c2
由
x2 a2

y2 b2
1可得：
y2
b2
第 76 炼 圆锥曲线中的存在性问题
一、基础知识 1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数） 存在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成 立；否则即判定不存在 2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替
（1）点：坐标 x0, y0
（2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量） （3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧： （1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必 要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。 （2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素 作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。 （3）核心变量的求法： ①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变 量的方程（组），运用方程思想求解。 二、典型例题：
4m2 4


4k 2 1
k2 1

km



8km 4k 2
1


m2
5m2 4k 2 4