课时达标检测（四十九） 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题[一般难度题——全员必做]1．(2018·郑州质检)已知动圆M 恒过点(0,1)，且与直线y ＝－1相切． (1)求圆心M 的轨迹方程；(2)动直线l 过点P (0，－2)，且与点M 的轨迹交于A ，B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点．解：(1)由题意得，点M 与点(0,1)的距离始终等于点M 到直线y ＝－1的距离，由抛物线的定义知圆心M 的轨迹是以点(0,1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，则p2＝1，p ＝2.∴圆心M 的轨迹方程为x 2＝4y .(2)设直线l ：y ＝kx －2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C (－x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx －2，消去y 整理得x 2－4kx ＋8＝0，∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8.k AC ＝y 1－y 2x 1＋x 2＝x 214－x 224x 1＋x 2＝x 1－x 24，直线AC 的方程为y －y 1＝x 1－x 24(x －x 1)．即y ＝y 1＋x 1－x 24(x －x 1)＝x 1－x 24x －x 1(x 1－x 2)4＋x 214＝x 1－x 24x ＋x 1x 24，∵x 1x 2＝8，∴y ＝x 1－x 24x ＋x 1x 24＝x 1－x 24x ＋2，即直线AC 恒过定点(0,2)．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆E ：x 24＋y 2＝1上的非坐标轴上的点，且4k OA ·k OB ＋1＝0(k OA ，k OB 分别为直线OA ，OB 的斜率)．(1)证明：x 21＋x 22，y 21＋y 22均为定值；(2)判断△OAB 的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 解：(1)证明：依题意，x 1，x 2，y 1，y 2均不为0， 则由4k OA ·k OB ＋1＝0，得4y 1y 2x 1x 2＋1＝0，化简得y 2＝－x 1x 24y 1，因为点A ，B 在椭圆上，所以x 21＋4y 21＝4，① x 22＋4y 22＝4，②把y 2＝－x 1x 24y 1代入②， 整理得(x 21＋4y 21)x 22＝16y 21.结合①得x 22＝4y 21，同理可得x 21＝4y 22， 从而x 21＋x 22＝4y 22＋x 22＝4，为定值， y 21＋y 22＝y 21＋x 214＝1，为定值．(2)S △OAB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB＝12x 21＋y 21·x 22＋y 22·1－cos 2∠AOB＝12x 21＋y 21·x 22＋y 22·1－(x 1x 2＋y 1y 2)2(x 21＋y 21)(x 22＋y 22) ＝12(x 21＋y 21)(x 22＋y 22)－(x 1x 2＋y 1y 2)2＝12|x 1y 2－x 2y 1|. 由(1)知x 22＝4y 21，x 21＝4y 22，易知y 2＝－x 12，y 1＝x 22或y 2＝x 12，y 1＝－x 22， S △OAB ＝12|x 1y 2－x 2y 1|＝12⎪⎪⎪⎪12x 21＋2y 21＝x 21＋4y 214＝1，因此△OAB 的面积为定值1.3．(2018·广州惠州调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，点A ⎝⎛⎭⎫1，22在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM ―→＝NQ ―→？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．解：(1)设椭圆C 的焦距为2c ，则c ＝1， 因为A ⎝⎛⎭⎫1，22在椭圆C 上，所以2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝22， 因此a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1， 故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)不存在满足条件的直线，证明如下：设直线的方程为y ＝2x ＋t ， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P ⎝⎛⎭⎫x 3，53，Q (x 4，y 4)，MN 的中点为D (x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋t ，x 22＋y 2＝1，消去x ，得9y 2－2ty ＋t 2－8＝0，所以y 1＋y 2＝2t9，且Δ＝4t 2－36(t 2－8)>0，故y 0＝y 1＋y 22＝t9，且－3<t <3. 由PM ―→＝NQ ―→得⎝⎛⎭⎫x 1－x 3，y 1－53＝(x 4－x 2，y 4－y 2)， 所以有y 1－53＝y 4－y 2，y 4＝y 1＋y 2－53＝29t －53.又－3<t <3，所以－73<y 4<－1，与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[－1,1]矛盾． 因此不存在满足条件的直线．[中档难度题——学优生做]1.如图已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，右顶点为A ，且|AF |＝1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个交点P ，且与直线x ＝4交于点Q ，问，是否存在一个定点M (t,0)，使得MP ―→·MQ ―→＝0.若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由c ＝1，a －c ＝1，得a ＝2，∴b ＝3，故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，∴Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝0，即m 2＝3＋4k 2. 设P (x P ，y P )，则x P ＝－4km 3＋4k 2＝－4k m ， y P ＝kx P ＋m ＝－4k 2m ＋m ＝3m ，即P ⎝⎛⎭⎫－4k m ，3m . ∵M (t,0)，Q (4,4k ＋m )，∴MP ―→＝⎝⎛⎭⎫－4k m －t ，3m ，MQ ―→＝(4－t,4k ＋m )， ∴MP ―→·MQ ―→＝⎝⎛⎭⎫－4k m －t ·(4－t )＋3m ·(4k ＋m )＝t 2－4t ＋3＋4k m (t －1)＝0恒成立，故⎩⎪⎨⎪⎧t －1＝0，t 2－4t ＋3＝0，解得t ＝1. ∴存在点M (1,0)符合题意．2．(2018·河北质检)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点为F (c,0)，且a ＞b ＞c ＞0，设短轴的一个端点为D ，原点O 到直线DF 的距离为32，过原点和x 轴不重合的直线与椭圆E 相交于C ，G 两点，且|GF ―→|＋|CF ―→|＝4.(1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点A ，B 且使得OP ―→2＝4PA ―→·PB ―→成立？若存在，试求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)由椭圆的对称性知|GF ―→|＋|CF ―→|＝2a ＝4， ∴a ＝2.又原点O 到直线DF 的距离为32， ∴bc a ＝32，∴bc ＝3，又a 2＝b 2＋c 2＝4，a ＞b ＞c ＞0，∴b ＝3，c ＝1.故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 与x 轴垂直时不满足条件． 故可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1，代入椭圆方程得 (3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0， ∴Δ＝32(6k ＋3)＞0，∴k ＞－12.x 1＋x 2＝8k (2k －1)3＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－16k －83＋4k 2， ∵OP ―→2＝4PA ―→·PB ―→，即4[(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)]＝5， ∴4(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝5， 即4[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝5，∴4⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 2－16k －83＋4k 2－2×8k (2k －1)3＋4k 2＋4(1＋k 2) ＝4×4＋4k 23＋4k 2＝5，解得k ＝±12，k ＝－12不符合题意，舍去．∴存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝12x .[较高难度题——学霸做]1．如图，已知椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于D ，E 两点．(1)若点G 的横坐标为－14，求直线AB 的斜率；(2)记△GFD 的面积为S 1，△OED (O 为原点)的面积为S 2.试问：是否存在直线AB ，使得S 1＝S 2？说明理由． 解：(1)由条件可得c 2＝a 2－b 2＝1，故F 点坐标为(－1,0)．依题意可知，直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝k (x ＋1)，将其代入x 24＋y 23＝1，整理得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3.故点G 的横坐标为x 1＋x 22＝－4k 24k 2＋3＝－14，解得k ＝±12，故直线AB 的斜率为12或－12.(2)假设存在直线AB ，使得S 1＝S 2，显然直线AB 不能与x ，y 轴垂直，即直线AB 斜率存在且不为零．由(1)可得G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 24k 2＋3，3k 4k 2＋3.设D 点坐标为(x D,0)．因为DG ⊥AB ，所以3k4k 2＋3－4k24k 2＋3－x D×k ＝－1，解得x D ＝－k 24k 2＋3，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 24k 2＋3，0.因为△GFD ∽△OED ，所以S 1＝S 2⇔|GD |＝|OD |.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 24k 2＋3－－4k 24k 2＋32＋⎝⎛⎭⎪⎫－3k 4k 2＋32＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－k 24k 2＋3，整理得8k 2＋9＝0.因为此方程无解，所以不存在直线AB ，使得S 1＝S 2.2．(2018·广西陆川县模拟)已知椭圆D ：x 2＋y 2b2＝1的左焦点为F ，其左，右顶点为A ，C ，椭圆与y 轴正半轴的交点为B ，△FBC 的外接圆的圆心P (m ，n )在直线x ＋y ＝0上．(1)求椭圆D 的方程；(2)已知直线l ：x ＝－2，N 是椭圆D 上的动点，MN ⊥l ，垂足为M ，问：是否存在点N ，使得△FMN 为等腰三角形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知，圆心P 既在边FC 的垂直平分线上，也在边BC 的垂直平分线上，F (－c,0)，则边FC 的垂直平分线方程为x ＝1－c2，①因为边BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，b 2，直线BC 的斜率为－b ， 所以边BC 的垂直平分线的方程为y －b 2＝1b ⎝⎛⎭⎫x －12，② 联立①②，解得m ＝1－c 2，n ＝b 2－c2b，因为P (m ，n )在直线x ＋y ＝0上，所以1－c 2＋b 2－c2b ＝0，即(1＋b )(b －c )＝0， 因为1＋b >0，所以b ＝c .由b 2＝1－c 2，得b 2＝c 2＝12，所以椭圆D 的方程为x 2＋2y 2＝1.(2)由(1)，知F ⎝⎛⎭⎫－22，0，椭圆上的点的横坐标满足－1≤x ≤1， 设N (x ，y )，由题意得M (－2，y )， 则|MN |＝|x ＋2|，|FN |＝⎝⎛⎭⎫x ＋222＋y 2，|MF |＝12＋y 2. ①若|MN |＝|FN |，即|x ＋2|＝ ⎝⎛⎭⎫x ＋222＋y 2，与x 2＋2y 2＝1联立，解得x ＝－2<－1，显然不符合条件；②若|MN |＝|MF |，即|x ＋2|＝ 12＋y 2， 与x 2＋2y 2＝1联立，解得x ＝－23或x ＝－2<－1(显然不符合条件，舍去)， 所以满足条件的点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫－23，±146； ③若|FN |＝|MF |，即⎝⎛⎭⎫x ＋222＋y 2＝12＋y 2，与x 2＋2y 2＝1联立，解得x ＝0或x ＝－2<－1(显然不符合条件，舍去)， 所以满足条件的点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，±22. 综上，存在点N ⎝⎛⎭⎫－23，±146或⎝⎛⎭⎫0，±22，使得△FMN 为等腰三角形．。