┃知识归纳┃1．一元二次方程的概念只含有个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程．[注意] 一元二次方程判定的条件是：(1)必须是整式方程；(2)二次项系数不为零；(3)未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数．2．一元二次方程的解法一元二次方程有四种解法：法、法、法和法．[注意] 公式法其实质是配方法，只不过省去了配方的过程，但用公式时应注意：(1)将一元二次方程化为一般形式，即先确定a、b、c的值；(2)牢记使用公式的前提是b2－4ac≥0.3．一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac(1)Δ>0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有的实数根；(2)Δ＝0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有的实数根；(3)Δ<0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 实数根．4．一元二次方程根与系数的关系一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1＋x2＝，x1·x2＝.[注意] 它成立的条件：①二次项系数不能为0；②方程根的判别式大于或等于0.四大解法一、开平方法方程的左边是完全平方式,右边是非负数;即形如x2=a(a≥0)二、配方法“配方法”的基本步骤：一化、二移、三配、四化、五解1.化1:把二次项系数化为1;2.移项:把常数项移到方程的右边;3.配方:方程两边同加一次项系数一半的平方;4.变形:化成5.开平方，求解三、公式法1.必需是一般形式的一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0).2.b2-4ac≥0.四、因式分解法1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零;2.理论依据是:如果两个因式的积等于零，至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤:一移-----方程的右边=0;二分-----方程的左边因式分解;三化-----方程化为两个一元一次方程;四解-----写出方程两个解;解题技巧：先考虑开平方法,再用因式分解法;最后才用公式法和配方法;一元二次方程及解法经典习题及解析一、填空题：1．下列方程中是一元二次方程的序号是．42=x ①522=+y x ②③01332=-+x x 052=x ④5232=+x x ⑤412=+x x ⑥x x x x x x 2)5(0143223-=+=+-。

⑧⑦2．已知，关于2的方程12)5(2=-+ax x a 是一元二次方程，则a3．当=k 时，方程05)3()4(22=+-+-x k x k 不是关于X 的一元二次方程．4．解一元二次方程的一般方法有，，，·5．一元二次方程)0(02=/=++a c bx ax 的求根公式为：．6．(2004·沈阳市)方程0322=--x x 的根是．7．不解方程，判断一元二次方程022632=+--x x x 的根的情况是．8．(2004·锦州市)若关于X 的方程052=++k x x 有实数根，则k 的取值范围是．9．已知：当m 时，方程0)2()12(22=-+++m x m x 有实数根．10．关于x 的方程0)4(2)1(222=++-+k kx x k 的根的情况是 ．二、选择题：11．(2004·北京市海淀区)若a 的值使得1)2(422-+=++x a x x 成立，则a 的值为() A ．5 8．4 C ．3 D ．212．把方程x x 332-=-化为02=++c bx ax 后，a 、b 、c 的值分别为( )3.3.0.--A 3.3.1.--B 3.3.1.-C 3.3.1.--D13．方程02=+x x 的解是( )x A .=土1 0.=x B 1,0.21-==x x C 1.=x D14．(2006·广安市)关于X 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )1.->k A 1.>k B 0.=/k C 1.->k D 且0=/k15．(2006·广州市)一元二次方程0322=--x x 的两个根分别为( ) 3,1.21==x x A 3,1.21-==x x B 3,1.21=-=x x C 3,1.21-=-=x x D16．解方程.251212;0)23(3)32(;0179;072222x x x x x x x =+=-+-=--=-④③②① 较简便的方法是( )A ．依次为：开平方法、配方法、公式法、因式分解法B ．依次为：因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法①.C 用直接开平方法，②④用公式法，③用因式分解法①.D 用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法17．(2004·云南省)用配方法解一元二次方程.0782=++x x 则方程可变形为( )9)4.(2=-x A 9)4.(2=+x B 16)8.(2=-x C 57)8.(2=+x D18．一元二次方程012)1(2=---x x k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( ) 2.>k A 2.<k B 且1=/k 2.<k C 2.>k D 且1=/k19．下列方程中有两个相等的实数根的方程是( )09124.2=++x x A 032.2=-+x x B02.2=++x x C 072.2=-+x x D20．(2004·大连市)一元二次方程0422=++x x 的根的情况是( )A ．有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根21．下列命题正确的是( )x x A =22.。

只有一个实根 111.2=+-x x B 有两个不等的实根 C ．方程032=-x 有两个相等的实根 D ．方程04322=+-x x 无实根三、解答题：22．(2006·浙江省)解方程.222=+x x23．用因式分解法解方程：.15)12(8)3(;05112)2(;015123)1(22=+=+-=-+x x x x x x 24．解关于2的方程：);0(0)()()1(=/=-+-m x c c x mx).0(0)()2(2=/=---m n x n m mx25．不解方程，判别下列方程根的情况．5)3(2)1(=+x x ;0352)2(2=--x x;04129)3(2=++x x .0)2()12)(4(2=++-y y y26．已知关于z 的方程,03)12(22=-+++k x k x 当k 为何值时， (1)方程有两个不相等的实数根?(2)方程有两个相等的实数根?(3)方程无实根?27．已知：023242=+--a ax x 无实根，且a 是实数，化简.3612912422+-++-a a a a28．k 取何值时，方程0)4()1(2=++++k x k x 有两个相等的实数根?并求出这时方程的根．29．求证：关于2的方程013)32(2=-+++m x m x 有两个不相等的实数根． 30．求证：无论k 为何值，方程03)1(4)12(22=+-+--k k x k x 都没有实数根． 31．当c b a 是实数时，求证：方程0)()(22=-++-c ab x b a x 必有两个实数根，并求两根相等的条件．32．如果关于z 的一元二次方程06)4(22=+--x mx x 没有实数根，求m 的最小整数值． 33．方程01)1()3(24=-+-+-x m x m n 是关于x 的一元二次方程，则m ,n34．关于z 的方程;1)32()2(2++=+-x x x m mx(1)当m 时，这个方程是一元二次方程；(2)当m 时，这个方程是一元一次方程．35．已知方程1)12(2-=--k x k x 的根是,2=x 则=k二、选择题：36．(2004·郴州市)方程0562=-+x x 的左边配成完全平方后所得方程为( )14)3.(2=+x A 14)3.(2=-x B21)6.(2=+x C D ．以上答案都不对 37．已知：关于2的方程019)13(22=-+--m x m mx 有两个实数根，则m 的范围为( )51.≤m A 51.≤m B 且51.0≥=/m C m 51.<m D 38．已知a 、b 、c 是ABC ∆的三条边，且方程0)(2)(2=-+-+-b a x a b x b c 有两个相等实数根，那么，这个三角形是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形39．(2004·海南省)已知关于2的方程0)12(22=+--m x m x 有两个不相等的实数根，那么m 的最大整数值是( )2.-A 1.-B 0.C 1.D40．用因式分解法解下列方程：0)3()3(4)1(2=---x x x 93)3(7)2(-=-x x x;25)1(16)3(2=+x .)32()23(25)4(22-=-x x41．解方程.04||52=+-x x 42．(1)已知方程,091022=+-y xy x 求证：y x 9=或;y x = (2)已知方程,065422=-+z xz x 求证：z x 2-=或.43z x = 43．m 为何值时，方程0)12(4)1(22=-+++m mx x m 有两个不相等的实数根?44．已知方程022)1(2=-++-m mx x m 有实根，求m 的取值范围． 45．若关于2的方程041)1(22=+--a x a x 有两个不相等的实数根，试化简代数式 .441912422a a a a +--+-46、当m 是什么整数时，0442=+-x mx 与0544422=--+-m m mx x 的根都是整数?47．求方程014934881141422=++-+-y x y xy x 的实数解． 48．设a 、6、c 为三角形的三条边长．求证：方程0)(222222=+-++c x a c b x b 无实根． 49．若方程0)(2)(2222222=-+-++b c x c b x C a 有两个相等的实数根，且a 、b 、c 是ABC ∆的三条边，求证：ABC ∆是等腰三角形．50．设m 、k 为有理数，当k 为何值时，关于z 的方程04234422=+-++-k m m x mx x的根为有理数?51、已知关于x 的一元二次方程.012=-+kx x (1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设方程的两根分别为z ，，X 。

，且满足,2121x x x x ⋅=+求k 的值。