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7.4 线性系统中的平稳过程
本节论述实平稳过程输入到线性系统得到 的输出仍为平稳过程，从而利用输入的自 相关函数、自谱密度去确定输出的自相关 函数和自谱密度，并确定输入和输出的互 相关函数和互谱密度．
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设系统的输入随机过程 X（ t），相应的输出 为随机过程Y（t），系统记为L（.），则有
输出Y（t），称为系统L对输入X（t）的响 应
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定义： 设 Y1 (t ) L[ X1 (t )], Y2 (t ) L[ X 2 (t )] ， c1 和 c2 为常数，若有
L c1 X1 (t ) c2 X 2 (t ) c1Y1 (t ) c2Y2 (t )
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设系统为稳定的、物理上可实现的线性时不变系统。 { X (t ), t 是平稳过程系统的输出是随机 } 输入 过程
Y ( ) H (i ) X ( )
Y (t ) X (t )* h(t ) h(t )* X (t )
频率响应函数
其中
[am (i )m am1 (i)m1 a1 (i)1 a0 ] H (i ) [bn (i )n bn1 (i)n1 b1 (i)1 b0 ]

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定理：设平稳过程 X (t )t R 的普密度函数满足
S X () 0 并且在 | | c 时，S X ( ) 当 | | 时，
c
满足Dirichlet条件，即在 | | 内只有有限个
c
第一类间断点或极值点。则 T c
时，便有
sin[c (t nT )] X (t ) X (nT ) c (t nT )

即若令
ˆ (t ) X (nT ) sin[c (t nT )] X c (t nT )

则
2 ˆ E | X (t ) X (t ) | 0
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则有 Y ( ) H (i ) X ( )
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频率响应 函数
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Y () H (i) X ()
当输入是脉冲 X (t ) (t ) ，记脉冲响应为h(t)
由于 F [ (t )] (t )eit dt 1
所以 H (i) F[h(t )]
采样定理
定理：设 F () 是x(t)的傅立叶变换，如果满足
x
当 | | 时，F () 0, 并且在| | c 时， Fx ()
c
x
满足Dirichlet条件，即在 | | 内只有有限个
c
第一类间断点或极值点。则 T c
时，便有
sin[c (t nT )] x(t ) x(nT ) c (t nT )
则称L为线性系统。 定义： 如果对任意T有 L[ X (t T )] Y (t T ) 则称系统L为时不变系统。
，
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工程中很多时不变线性系统，输入X （ t） 和输出 Y （ t ）的关系可常用常系数线性均 方微分方程来描述：
d nY (t ) d n1Y (t ) dY (t ) bn bn 1 b1 b0Y (t ) n n 1 dt dt dt d m X (t ) d m1 X (t ) dX (t ) am am1 a1 a0 X (t ) m m 1 dt dt dt
为脉冲响应的傅立叶变换
线性系统的频率响应函数 H (i ) 和脉冲响应函 数h（t）是一对傅氏变换：
H (i ) F[h(t )]
h(t ) F
1


h(t )e


it
dt
it
1 [ H (i )] 2
H () H (i) X ()
由卷积定理得
Y (t ) X (t )* h(t ) h(t )* X (t )

Y (t )
X (t )h( )d X ( )h(t )d
0 0

由此可知，线性时不变系统的输出Y（t） 是输入X（t）和系统脉冲响应函数h（t）的 卷积。
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物理上可实现的系统的一个限制是输入出 现以前不能有输出，这就意味着脉冲响应 函数应符合条件 h(t ) 0, t 0
系统是稳定的


h(t ) dt


Y (t )
X (t )h( )d X ( )h(t )d
0 0
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两边取傅氏变换
F[ x '(t )] iFx ()
[bn (i )n bn1 (i ) n1
b1 (i )1 b0 ]Y ( ) a1 (i )1 a0 ] X ( )
[am (i )m am1 (i ) m1
[am (i )m am1 (i)m1 a1 (i)1 a0 ] 令 H (i) [bn (i )n bn1 (i)n1 b1 (i)1 b0 ]
h(t)为脉冲X (t ) (t ) 响应
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证略
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证明：
d nY (t ) d n1Y (t ) bn bn 1 n n 1 dt dt
dY (t ) b1 b0Y (t ) dt dX (t ) a1 a0 X (t ) dt
d m X (t ) d m1 X (t ) am am1 m m 1 dt dt
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线性系统输出的均值、自相关函数和自谱密度
设系统为稳定的、物理上可实现的线性时不变系统。 { X (t ), t 是平稳过程系统的输出是随机 } 输入 过程
Y (t ) X (t )h( )d , t .