t
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
(0 t
l )


(0


l )(U0

u)
U0 0

00uu0lu u
u
l

l
u
ρ0 常 数
l
t
0 u u l
l u
理想流体中三个基本方程
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
依据质量守恒，建立 l ~关u系。
质量守恒定律，在连续介质中，如果流进 与流出某一空间体积的流体质量不等，则 必将引起该体积中介质密度的变化。
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
z
C
G
M点的密度为： D x, y, z,t
设某一瞬时t，介质质点流过
M点的速度向量
A
o
假设声波作用的热力学过程是等熵绝热过程， 意味着声波能量在质团形变过程中没有损失。
2、状态方程
理想流体中三个基本方程
据热力学定律，质量一定的理想流体中，独立的热
力学参数只有三个。
例如，取热力学参数：压强 、P 密度 及熵值 ，s则
有关系：
P P(, s) f (, s)
如果，在声波作用下，P经“等熵过程”，从
（1）在dt时间段，介质质点X方向流速引起的在dxdydz 框中介质质量的变化：
dt时间段从ABCD面流入dxdydz框中的质量：

U
x

U x
x




dx 2
dydz

dt
dt时间段从EFGH面流入dxdydz框中的质量：

U
x

U
x
x



波动方程的推导
声波的波动方程：描述声场空间、时间变化 规律和相互联系的方程。
基本思路
三个基本物理定律 三个基本方程
质量守恒定律 热力学关系（能量守恒定律）
牛顿第二定律（动量守恒定律)
连续性方程 状态方程 运动方程
波动方程
假设条件
理想流体介质
（1）理想，介质中机械运动无机械能损耗; （2）流体，介质中任一面元受力方向总是
P0 (0, s0 ) P(, s0 )
则在 (0, 点s0 )作
P幂(级, s数0 )展开，有：
2、状态方程
理想流体中三个基本方程
P(, s)

P0 (0 , s0 )
f

|0 ,s0
(

0
)

......
1 n!
(n) f
(n)
|0 ,s0
(
0)n
声音的产生
声波（sound wave ）是一种机械波； 产生声波的两个必要条件：
声源（ sound source）－机械振动的物体 介质（medium ）－机械振动赖以传播的介
质
声音的产生
声音的产生
声波传播时，介质质点只在平衡位置附近 振动，并没有随声波传播。
声音的产生
声音可以在一切弹性介质中传播。 纵波：声波的传播方向与质点振动方向一致。 横波：声波的传播方向与质点振动方向垂直。
.......
如果是小振幅波，则声学量和声学量的各阶时间或空
间导数为一阶小量。 略去高阶小量，有：
p

(
f

)0s0
l
2、状态方程
理想流体中三个基本方程
定义, c0 ( p为) 介0 ,s质0 的等熵波速。
它是介质的固有性质。 （后续课可知它与介质中波传播的速度有关）
f
( ( )0,s0 0)
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
所以：
(x, y, z,t dt) (x, y, z,t) ((Ux ) (U y ) (Uz ))
dt
x
y
z
得：
(x, y, z,t) ((U x ) (U y ) (U z ))
t
x
P x
x
dydz
2

Pxdydz

x
x, y,z
2
dydz
沿 ox方向的合力为
Fx


P
x

x 2

Px x 2
dydz

P x
dxdydz
x,y,z
3、运动方程
理想流体中三个基本方程
同理得 oy,方oz向的合力为
Fy

P y
dxdydz
x,y,z
Fz
......

P(, s) P0 (0 , s0 )
f

|0 ,s0
l
...... 1 (n) f
n! (n)
|0 ,s0
l n
.......

p(, s)
f

|0 ,s0
l
1 (n) f
...... n! (n)
|0 ,s0
l n
中的dx净dy余dz量分别为
方oy向,o流z 量在


y
U
y


dx
dydz

dt


z
U
z

dx
dydz

dt
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
所以，在dt时间段，介质质点流速U (x, y, z,引t) 起 的在dxdydz框中介质质量的增加为：
是速度量纲; M.K.S制中,单位: m/s (米/秒)
！！得到的均匀、静止理想流体中小振幅波的状态方程为：
p c02l
状态方程 记住！
3、运动方程
依据牛顿第二定律, 建立
理想流体中三个基本方程
p ~关u系 。
（1）运动方程推导
z
介质中取质量微团
ABCDEFGH 六 面 体 , 边
D
长分别为：dx，dy，dz
垂直于面元； （3）连续性，介质中质团连续分布无间隙； （4）介质质团同时具有质量和弹性性质。
正是因为介质质团同时具有弹性和质量， 才能形成波---振动的传播。
声波为小振幅声波－线性波动方程
3.2.1 理想流体中三个基本方程
主要内容
❖ 1、连续性方程 ❖ 2、状态方程 ❖ 3、运动方程
1、连续性方程
2、质点振速的基本概念
在声波的作用下，介质质点围绕其平衡位置作往复 运动，其瞬时位置及振动位移和瞬时速度随时间变 化，可用质点位移或速度描述声场。
设没有声波扰动时，介质的静态流速为
U0
x,
y,
z,
t

在声波的作用下流速变为 Ux, y, z,t
流速的改变量
ux, y, z,
t


Ux,
A
Ax

Ay

Az
x y z
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
连续性方程表示为
U
t
称U为流通密度:单位时间内流过与速度方
向垂直的单位面积的质量。
连续性方程：表示流通密度在某一点散度的 负值等于该点介质密度的时间变化率。
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
水中质点位移比空气中质点位移更小
3、密度逾量
设没有扰动时，介质的静态密度为 0 x, y, z
在声波的作用下变为 x, y, z,t
定义： l x, y, z,t x, y, z,t 0x, y, z
为介质中声场的密度逾量。 MKS制中，基本单位：kg/m
略去二阶小量：
l
t
0 u
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
！得到的均匀、静止理想流体中小振幅波的连续性
方程为：
l
t

0 u
0
连续性方程
记住！
2、状态方程
理想流体中三个基本方程
依据热力学定律，建立 p ~ 关l 系。
声波作用下介质产生压缩伸张变化，介质的密 度和压强都发生变化。
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
依据质量守恒定律： 流体的流动使得元体积内的质量增加
等于
密度变化使得元体积内质量的增加
[(x, y, z,(t dt)) (x, y, z,t)]dxdydz
((Ux ) (U y ) (Uz ))dxdydzdt
x
y
z
m


x
U
x


y
U
y


z
U
z
dx
dydz

dt
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
（3）推导连续性方程 因为，dxdydz框没有变，所以质量的变化改变 了dxdydz框内介质的密度：
m [(x, y, z,(t dt)) (x, y, z,t)]dxdydz

P z
dxdydz
x,y,z
利用哈密顿算子，

(i


j
表示k 质 )量
微团受到的合力：

x y z
振动与声基础
第三章 理想流体介质中小振幅波的基本规律
3.1 基本声学量和理想流体中的基本方程
主要内容
3.1.1 基本声学量 3.1.2 理想流体中三个基本方程
声音的产生
声音的产生
声音的产生
什么是声音？
苏东坡在赤壁赋中说: “耳得之而为声”