第04讲函数的概念一、考情分析1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用；3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.二、知识梳理1.函数的概念设A，B是两个非空数集，如果按照确定的法则f，对A中的任意数x，都有唯一确定的数y与它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2.函数的定义域、值域(1)函数y＝f(x)自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数.(2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. [微点提醒]1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点.2.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论.三、经典例题考点一求函数的定义域【例1-2】函数y＝1－x2＋log2(tan x－1)的定义域为________；【解析】 (1)要使函数y ＝1－x 2＋log 2(tan x －1)有意义，则1－x 2≥0，tan x －1>0，且x ≠k π＋π2(k ∈Z ).∴－1≤x ≤1且π4＋k π<x <k π＋π2，k ∈Z ， 可得π4<x ≤1.则函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，1.【例1-2】若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域为________. 【解析】因为y ＝f (x )的定义域为[0，2]，所以要使g (x )有意义应满足⎩⎨⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1.所以g (x )的定义域是[0，1). 考点二 求函数的解析式【例2-1】已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________；【解析】 (1)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1).【例2-2】已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________； 【解析】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝2ax ＋a ＋b ＝x －1， 所以⎩⎨⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.【例2-3】已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，则f (x )＝________.【解析】在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1中，将x 换成1x ，则1x 换成x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x －1，解得f (x )＝23x ＋13.规律方法 求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.(2)换元法：已知复合函数f [g (x )]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x ). 考点三 分段函数【例3－1】（2020·全国高三月考（理））设221log (1),1()21,1x x x f x x +⎧->=⎨-≤⎩，则((1))f f 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】因为221log (1),1()21,1x x x f x x +⎧->=⎨-≤⎩ 所以()21213f =-=所以()2((1))3log 83f f f === 故选：B【例3－2】（2020·天津南开中学高三月考）函数()f x 满足(4)()()f x f x x R +=∈，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1,20,2xx f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩则((15))f f 的值为____．【解析】由(4)()f x f x +=得函数()f x 的周期为4，所以11(15)(161)(1)1,22f f f =-=-=-+=因此1π((15))()cos 242f f f ===【例3－3】（2020·天津四中高三二模）已知()3,0,0x x x f x x π⎧≥=⎨<⎩，若对任意[]1,1x a a ∈---，不等式)()2fa f x -≥⎡⎤⎣⎦恒成立，则非零实数a 的取值范围是_____.【答案】⎛ ⎝⎦.【解析】3,0(),0x x x f x x π⎧=⎨<⎩，2[()](2)f x f x ∴=，对任意[1x a ∈--，1]a -，不等式2)[()]f a f x -恒成立， 即对任意[1x a ∈--，1]a -，不等式)(2)f a f x -恒成立，()f x 在R 上是增函数，∴2a x -，即(22)a x --，又[1x a ∈--，1]a -，∴当1x a =-时，(2x --取最小值(21)a ---，(22)(1)a a ∴---，解得427a-， 又11a a ->--，即0a >， 故420a-<， 故答案为：(0，47-． 【例3－4】（2020·全国高三月考（文））已知ln 2,0()12,02x x x f x x ->⎧⎪=⎨-≤⎪⎩，则满足()12(())12f m f f m ++=的实数m 的取值范围是（ ）.A ．(,1]-∞-B ．(2(,1]0,e ⎤-∞-⋃⎦C ．(,1]-∞D ．(,1](0,1]-∞-⋃【答案】B【解析】令()t f m =，则()1212t f t ++=，()122tf t ∴=-，()0f m t ∴=≤，当0m >时，ln 20m -≤，解得：20m e <≤；当0m ≤时，1202m-≤，解得：1m ≤-； 综上所述：m 的取值范围为(](2,10,e ⎤-∞-⎦.故选：B .规律方法 1.根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. [方法技巧]1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同.2.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础.因此，我们一定要树立函数定义域优先意识.3.函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、构造解方程组法. [易错防范]1.复合函数f [g (x )]的定义域也是解析式中x 的范围，不要和f (x )的定义域相混.2.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.四、 课时作业1．若函数()y f x =的定义域为M ＝{x|－2≤x≤2}，值域为N ＝{y|0≤y≤2},则函数()y f x =的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，记图中正方形介于两平行线x y a +=与1x y a +=+之间的部分的面积为()S S a =，则()S a 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．函数()21162y x lg x =--的定义域为( )A ．（2，3）B ．（3，4]C ．（2，4]D ．（2，3）∪（3，4]4．函数()()2lg 311f x x x=++-的定义域是（ ） A ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭5．已知函数f （x ）2233x x log x x ⎧=⎨≥⎩，＜，，则f [f （2）]＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．设1,0(){2,0xx x f x x ≥=<，则((2))f f -=（ ）A ．1-B ．14C ．12D ．327．已知函数221,0()log ,0x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(4][2,)-∞-+∞B ．[1,2]-C ．[4,0)(0,2]-D ．[4,2]-8．函数21(0)()(1)(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若方程()f x x a =+有且只有两个不等的实根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,1)-∞B ．[0,1)C ．(,0)-∞D ．[0,)+∞9．设函数246,0()6,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()(1)f x >f 的解集是（ ）A ．(3,1)(3,)-⋃+∞B ．(3,1)(2,)-+∞ C ．(1,1)(3,)-+∞ D ．(,3)(1,3)-∞-10．函数()f x =_______. 11．函数ln(1)y x =++的定义域为________． 12．已知函数ln ,1()3,1xx x f x x >⎧=⎨⎩，若()1f a ，则a 的取值范围是__ 13．设函数2lg ,0()1,04xx x f x x >⎧⎪=⎨⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎩，则((10))f f -=________.14．已知{},,max ,,a b a a b b b a ≤⎧=⎨>⎩，()21max ln ,2f x x tx x tx e ⎧⎫=----⎨⎬⎩⎭（e 为自然对数的底数），若()2f x ≥-在[]1,x e ∈上恒成立，则实数t 的取值范围为______.15．求下列函数()f x 的解析式.（1）已知()2121f x x x -=-+，求()f x ；（2）已知一次函数()f x 满足()()41f f x x =-，求()f x .16．某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．在购进机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用200元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次50元．在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用500元，无需支付小费．现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，得下面统计表：记x 表示1台机器在三年使用期内的维修次数，y 表示1台机器在维修上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的维修服务次数．（1）若10n =，求y 与x 的函数解析式；（2）若要求“维修次数不大于n ”的频率不小于0.8，求n 的最小值．。