解：
将 三点代入得
解得
；
如图 ．
关于 对称的抛物线为
当 过点 时有
解得:
当 过点 时有
解得:
；
四边形 可以为正方形
由题意设 ，
是抛物线 第一象限上的点
解得: (舍去)即
如图作 ， 于 ，
于
四边形 为正方形
易证
为
将 代入 得
解得: (舍去)
当 时四边形 为正方形.
【点睛】
本题考查二次函数综合题、中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，难度大.
4．如图1，抛物线 交 轴于 ．
【详解】
解：（1）当a＝2，b＝﹣2时，
函数y＝2x2﹣x﹣4，
令x＝2x2﹣x﹣4，
化简，得x2﹣x﹣2＝0
解得，x1＝2，x2＝﹣1，
即y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）的不动点是﹣1或2；
（2）令x＝ax2+（b+1）x+b﹣2，
整理，得
ax2+bx+b﹣2＝0，
∵对于任何实数b，函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）恒有两相异的不动点，
【答案】（1）不动点是﹣1或2；（2）a的取值范围是0＜a＜2；（3）b的取值范围是﹣ ≤b＜0．
【解析】
【分析】
（1）将a＝2，b＝﹣2代入函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），得y＝2x2﹣x﹣4，然后令x＝2x2﹣x﹣4，求出x的值，即y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）的不动点；
【点睛】
本题是一道二次函数综合题、主要考查新定义、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
2．在平面直角坐标系中，将函数 为常数)的图象记为 ．
（1）当 时，设图象 上一点 ，求 的值；
（2）设图象 的最低点为 ，求 的最大值；
（3）当图象 与 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为 则 的取值范围是；
∴x1，x2是方程ax2+bx+b﹣2＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣ ，
∵线段AB中点坐标为（ ， ），
∴该中点的坐标为（ ， ），
∵直线y＝﹣x+ 是线段AB的垂直平分线，
∴点（ ， ）在直线y＝﹣x+ 上，
∴ ＝
∴﹣b＝ ＝ ，（当a＝ 时取等号）
∴0＜﹣b≤ ，
∴﹣ ≤b＜0，
即b的取值范围是﹣ ≤b＜0．
（2）若对于任何实数b，函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）恒有两相异的不动点，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）的图象上A，B两点的横坐标是函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）的不动点，且直线y＝﹣x+ 是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围．
（4）设 ，当图象 与线段 没有公共点时，直接写出 的取值范围．
【答案】（1） 或 ；（2） ；（3） ；（4） 或
【解析】
【分析】
（1）将m=-1代ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ解析式，然后将点P坐标代入解析式，从而求得a的值；
（2）分m＞0和m≤0两种情况，结合二次函数性质求最值；
（3）结合二次函数与x轴交点及对称轴的性质确定取值范围；
求抛物线 的函数表达式:
若抛物线 与抛物线 在 轴的右侧有两个不同的公共点，求 的取值范围．
如图2， 是第一象限内抛物线 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点 在抛物线 上的对应点 ，设 是 上的动点， 是 上的动点，试探究四边形 能否成为正方形？若能，求出 的值；若不能，请说明理由．
【答案】 ； ； 四边形 可以为正方形，
数学九年级上册 二次函数中考真题汇编[解析版]
一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）
1．对于函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），若存在实数x0，使得a +（b+1）x0+b﹣2＝x0成立，则称x0为函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）的不动点．
（1）当a＝2，b＝﹣2时，求y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）的不动点；
∴△＝b2﹣4a（b﹣2）＞0，
设t＝b2﹣4a（b﹣2）＝b2﹣4ab+8a，对于任何实数b，t＞0，
故（﹣4a）2﹣4×1×8a＜0，
解得，0＜a＜2，
即a的取值范围是0＜a＜2；
（3）由题意可得，
点A和点B在直线y＝x上，
设点A（x1，x1），点B（x2，x2），
∵A，B两点的横坐标是函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）的不动点，
【解析】
【分析】
（1）由题意得出A,B坐标，并代入 坐标利用待定系数法求出抛物线 的函数表达式；
（2）根据题意分别求出当 过点 时m的值以及当 过点 时m的值，并以此进行分析求得；
（3）由题意设 ，代入解出n，并作 ， 于 ，利用正方形性质以及全等三角形性质得出M为 ，将 代入 即可求得答案.
【详解】
∴当图象G与x轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为x2，则x2的取值范围是
（4） 或
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
3．如图1．在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴相交于 两点，顶点为 ，设点 是 轴的正半轴上一点，将抛物线 绕点 旋转 ，得到新的抛物线 ．
（4）结合一元二次方程根与系数的关系确定取值范围．
【详解】
解：（1）当 时，
把 代入，得
解得 或
（2）当 时，
此时，
当 时，
∴
此时，
∴ 的最大值
综上所述， 的最大值为
（3）由题意可知：当图象G与x轴有两个交点时，m＞0
当抛物线顶点在x轴上时，
解得：m=0（舍去）或
由题意可知抛物线的对称轴为直线x= 且x≥3m
（2）对于任何实数b，函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）恒有两相异的不动点，可以得到x＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）时，对于任何实数b都有△＞0，然后再设t＝△，即可求得a的取值范围；
（3）根据y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）的图象上A，B两点的横坐标是函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）的不动点，可知点A和点B均在直线y＝x上，然后设出点A和点B的坐标，从而可以得到线段AB的中点坐标，再根据直线y＝﹣x+ 是线段AB的垂直平分线，从而可以求得b的取值范围．