当前位置:文档之家› 潍坊市外国语数学 二次函数中考真题汇编[解析版]

潍坊市外国语数学 二次函数中考真题汇编[解析版]

潍坊市外国语数学 二次函数中考真题汇编[解析版]一、初三数学 二次函数易错题压轴题(难)1.在平面直角坐标系中,抛物线22(0)y ax bx a =++≠经过点(2,4)A --和点(2,0)C ,与y 轴交于点D ,与x 轴的另一交点为点B .(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,连接BD ,在抛物线上是否存在点P ,使得2PBC BDO ∠=∠?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)如图2,连接AC ,交y 轴于点E ,点M 是线段AD 上的动点(不与点A ,点D 重合),将CME △沿ME 所在直线翻折,得到FME ,当FME 与AME △重叠部分的面积是AMC 面积的14时,请直接写出线段AM 的长. 【答案】(1)22y x x =-++;(2)存在,(23,209)或(103,529-);(3)105或2 【解析】【分析】(1)根据点A 和点C 的坐标,利用待定系数法求解;(2)在x 轴正半轴上取点E ,使OB=OE ,过点E 作EF ⊥BD ,垂足为F ,构造出∠PBC=∠BDE ,分点P 在第三象限时,点P 在x 轴上方时,点P 在第四象限时,共三种情况分别求解;(3)设EF 与AD 交于点N ,分点F 在直线AC 上方和点F 在直线AC 下方时两种情况,利用题中所给面积关系和中线的性质可得MN=AN ,FN=NE ,从而证明四边形FMEA 为平行四边形,继而求解.【详解】解:(1)∵抛物线22(0)y ax bx a =++≠经过点A (-2,-4)和点C (2,0),则44220422a b a b -=-+⎧⎨=++⎩,解得:11a b =-⎧⎨=⎩, ∴抛物线的解析式为22y x x =-++;(2)存在,理由是:在x 轴正半轴上取点E ,使OB=OE ,过点E 作EF ⊥BD ,垂足为F ,在22y x x =-++中,令y=0,解得:x=2或-1,∴点B 坐标为(-1,0),∴点E 坐标为(1,0),可知:点B 和点E 关于y 轴对称,∴∠BDO=∠EDO ,即∠BDE=2∠BDO ,∵D (0,2),∴=,在△BDE 中,有12×BE ×OD=12×BD ×EF ,即2×EF ,解得:EF=5,∴5,∴tan ∠BDE=EF DF =43, 若∠PBC=2∠BDO ,则∠PBC=∠BDE ,∵BE=2,则BD 2+DE 2>BE 2,∴∠BDE 为锐角,当点P 在第三象限时,∠PBC 为钝角,不符合;当点P 在x 轴上方时,∵∠PBC=∠BDE ,设点P 坐标为(c ,22c c -++),过点P 作x 轴的垂线,垂足为G ,则BG=c+1,PG=22c c -++,∴tan ∠PBC=PG BG =221c c c -+++=43, 解得:c=23,∴22c c -++=209, ∴点P 的坐标为(23,209);当点P 在第四象限时,同理可得:PG=22c c --,BG=c+1,tan ∠PBC=PG BG =221c c c --+=43, 解得:c=103, ∴22c c -++=529-, ∴点P 的坐标为(103,529-), 综上:点P 的坐标为(23,209)或(103,529-);(3)设EF 与AD 交于点N ,∵A (-2,-4),D (0,2),设直线AD 表达式为y=mx+n ,则422m n n -=-+⎧⎨=⎩,解得:32m n =⎧⎨=⎩,∴直线AD 表达式为y=3x+2,设点M 的坐标为(s ,3s+2),∵A (-2,-4),C (2,0),设直线AC 表达式为y=m 1x+n 1,则11114202m n m n -=-+⎧⎨=+⎩,解得:1112m n =⎧⎨=-⎩, ∴直线AC 表达式为y=x-2,令x=0,则y=-2,∴点E 坐标为(0,-2),可得:点E 是线段AC 中点,∴△AME 和△CME 的面积相等,由于折叠,∴△CME ≌△FME ,即S △CME =S △FME ,由题意可得:当点F 在直线AC 上方时,∴S △MNE =14S △AMC =12S △AME =12S △FME , 即S △MNE = S △ANE = S △MNF ,∴MN=AN ,FN=NE ,∴四边形FMEA 为平行四边形, ∴CM=FM=AE=12AC=12∵M (s ,3s+2),=解得:s=45-或0(舍), ∴M (45-,25-),∴当点F在直线AC下方时,如图,同理可得:四边形AFEM为平行四边形,∴AM=EF,由于折叠可得:CE=EF,∴AM=EF=CE=22,综上:AM的长度为105或22【点睛】本题是二次函数综合题,涉及到待定系数法,二次函数的图像和性质,折叠问题,平行四边形的判定和性质,中线的性质,题目的综合性很强.难度很大,对学生的解题能力要求较高.2.如图,直线y=12x﹣2与x轴交于点B,与y轴交于点A,抛物线y=ax2﹣32x+c经过A,B两点,与x轴的另一交点为C.(1)求抛物线的解析式;(2)M为抛物线上一点,直线AM与x轴交于点N,当32MNAN时,求点M的坐标;(3)P为抛物线上的动点,连接AP,当∠PAB与△AOB的一个内角相等时,直接写出点P的坐标.【答案】(1)y=12x2﹣32x﹣2;(2)点M的坐标为:(5,3)或(﹣2,3)或(2,﹣3)或(1,﹣3);(3)点P的坐标为:(﹣1,0)或(32,﹣258)或(173,509)或(3,﹣2).【解析】【分析】(1)根据题意直线y=12x﹣2与x轴交于点B,与y轴交于点A,则点A、B的坐标分别为:(0,-2)、(4,0),即可求解;(2)由题意直线MA的表达式为:y=(12m﹣32)x﹣2,则点N(43m-,0),当MNAN=32时,则NHON=32,即4343mmm---=32,进行分析即可求解;(3)根据题意分∠PAB=∠AOB=90°、∠PAB=∠OAB、∠PAB=∠OBA三种情况,分别求解即可.【详解】解:(1)直线y=12x﹣2与x轴交于点B,与y轴交于点A,则点A、B的坐标分别为:(0,﹣2)、(4,0),则c=﹣2,将点B的坐标代入抛物线表达式并解得:a=12,故抛物线的表达式为:y=12x2﹣32x﹣2①;(2)设点M(m,12m2﹣32m﹣2)、点A(0,﹣2),将点M、A的坐标代入一次函数表达式:y=kx+b并解得:直线MA的表达式为:y=(12m﹣32)x﹣2,则点N(43m-,0),当MNAN=32时,则NHON=32,即:4343mmm---=32,解得:m=5或﹣2或2或1,故点M的坐标为:(5,3)或(﹣2,3)或(2,﹣3)或(1,﹣3);(3)①∠PAB=∠AOB=90°时,则直线AP的表达式为:y=﹣2x﹣2②,联立①②并解得:x=﹣1或0(舍去0),故点P(﹣1,0);②当∠PAB=∠OAB时,当点P在AB上方时,无解;当点P在AB下方时,将△OAB沿AB折叠得到△O′AB,直线OA交x轴于点H、交抛物线为点P,点P为所求,则BO=OB=4,OA=OA=2,设OH=x,则sin∠H=BO OAHB HA'=,即:2444x x=++,解得:x=83,则点H(﹣83,0),.则直线AH的表达式为:y=﹣34x﹣2③,联立①③并解得:x=32,故点P(32,﹣258);③当∠PAB=∠OBA时,当点P在AB上方时,则AH=BH,设OH=a,则AH=BH=4﹣a,AO=2,故(4﹣a)2=a2+4,解得:a=32,故点H(32,0),则直线AH的表达式为:y=43x﹣2④,联立①④并解得:x=0或173(舍去0),故点P(173,509);当点P在AB下方时,同理可得:点P(3,﹣2);综上,点P的坐标为:(﹣1,0)或(32,﹣258)或(173,509)或(3,﹣2).【点睛】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、解直角三角形、勾股定理的运用等,要注意分类讨论,解题全面.3.已知点P(2,﹣3)在抛物线L:y=ax2﹣2ax+a+k(a,k均为常数,且a≠0)上,L交y轴于点C,连接CP.(1)用a表示k,并求L的对称轴及L与y轴的交点坐标;(2)当L经过(3,3)时,求此时L的表达式及其顶点坐标;(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.如图,当a<0时,若L在点C,P之间的部分与线段CP所围成的区域内(不含边界)恰有4个整点,求a的取值范围;(4)点M(x1,y1),N(x2,y2)是L上的两点,若t≤x1≤t+1,当x2≥3时,均有y1≥y2,直接写出t的取值范围.【答案】(1)k=-3-a ;对称轴x =1;y 轴交点(0,-3);(2)2y=2x -4x-3,顶点坐标(1,-5);(3)-5≤a <-4;(4)-1≤t ≤2.【解析】【分析】(1)将点P(2,-3)代入抛物线上,求得k 用a 表示的关系式;抛物线L 的对称轴为直线2a x==12a--,并求得抛物线与y 轴交点; (2)将点(3,3)代入抛物线的解析式,且k=-3-a ,解得a=2,k=-5,即可求得抛物线解析式与顶点坐标;(3)抛物线L 顶点坐标(1,-a-3),点C ,P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内(不含边界)恰有4个整点,这四个整点都在x=1这条直线上,且y 的取值分别为-2、-1、0、1,可得1<-a-3≤2,即可求得a 的取值范围;(4)分类讨论取a >0与a <0的情况进行讨论,找出1x 的取值范围,即可求出t 的取值范围.【详解】解:(1)∵将点P(2,-3)代入抛物线L :2y=ax -2ax+a+k ,∴-3=4a 4a a+k=a+k -+∴k=-3-a ;抛物线L 的对称轴为直线-2a x=-=12a,即x =1; 将x=0代入抛物线可得:y=a+k=a+(-3-a)=-3,故与y 轴交点坐标为(0,-3); (2)∵L 经过点(3,3),将该点代入解析式中,∴9a-6a+a+k=3,且由(1)可得k=-3-a ,∴4a+k=3a-3=3,解得a=2,k=-5,∴L 的表达式为2y=2x -4x-3;将其表示为顶点式:2y=2(x-1)-5,∴顶点坐标为(1,-5);(3)解析式L 的顶点坐标(1,-a-3),∵在点C ,P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内(不含边界)恰有4个整点,这四个整点都在x=1这条直线上,且y 的取值分别为-2、-1、0、1,∴1<-a-3≤2,∴-5≤a <-4;(4)①当a <0时,∵2x 3≥,为保证12y y ≥,且抛物线L 的对称轴为x=1,∴就要保证1x 的取值范围要在[-1,3]上,即t ≥-1且t+1≤3,解得-1≤t ≤2;②当a >0时,抛物线开口向上,t ≥3或t+1≤-1,解得:t ≥3或t ≤-2,但会有不符合题意的点存在,故舍去,综上所述:-1≤t ≤2.【点睛】本题考查二次函数的图象及性质;熟练掌握二次函数的图象及性质,数形结合解题是关键.4.二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象交y 轴于点A ,顶点为P ,直线PA 与x 轴交于点B .(1)当m =1时,求顶点P 的坐标;(2)若点Q (a ,b )在二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象上,且0b m ->,试求a 的取值范围;(3)在第一象限内,以AB 为边作正方形ABCD .①求点D 的坐标(用含m 的代数式表示);②若该二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点,请直接写出符合条件的整数m 的值.【答案】(1)P (2,13);(2)a 的取值范围为:a <0或a >4;(3)①D (m ,m +3); ②2,3,4.【解析】【分析】(1)把m =1代入二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>解析式中,进而求顶点P 的坐标即可;(2)把点Q (a ,b )代入二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>解析式中,根据0b m ->得到关于a 的一元二次不等式即一元一次不等式组,解出a 的取值范围即可; (3)①过点D 作DE ⊥x 轴于点E ,过点A 作AF ⊥DE 于点F ,求出二次函数与y 轴的交点A 的坐标,得到OA 的长,再根据待定系数法求出直线AP 的解析式,进而求出与x 轴的交点B 的坐标,得到OB 的长;通过证明△ADF ≌△ABO ,得到AF=OA=m ,DF=OB=3,DE=DF+EF= DF+OA=m+3,求出点D 的坐标;②因为二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点,由①同理可得:C (m+3,3),分当x 等于点D 的横坐标时与当x 等于点C 的横坐标两种情况,进行讨论m 可能取的整数值即可.【详解】解:(1)当m =1时,二次函数为212163y x x =-+, ∴顶点P 的坐标为(2,13); (2)∵点Q (a ,b )在二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象上, ∴2263m m b a a m =-+, 即:2263m m b m a a -=- ∵0b m ->, ∴2263m m a a ->0, ∵m >0, ∴2263a a ->0, 解得:a <0或a >4,∴a 的取值范围为:a <0或a >4;(3)①如下图,过点D 作DE ⊥x 轴于点E ,过点A 作AF ⊥DE 于点F ,∵二次函数的解析式为2263m m y x x m =-+, ∴顶点P (2,3m ), 当x=0时,y=m ,∴点A (0,m ),∴OA=m ;设直线AP 的解析式为y=kx+b(k≠0),把点A (0,m ),点P (2,3m )代入,得: 23m b m k b =⎧⎪⎨=+⎪⎩, 解得:3m k b m⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴直线AP 的解析式为y=3m -x+m , 当y=0时,x=3,∴点B (3,0);∴OB=3;∵四边形ABCD 是正方形,∴AD=AB ,∠DAF+∠FAB=90°,且∠OAB+∠FAB =90°,∴∠DAF=∠OAB ,在△ADF 和△ABO 中, DAF OAB AFD AOB AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADF ≌△ABO (AAS ), ∴AF=OA=m ,DF=OB=3,DE=DF+EF= DF+OA=m+3,∴点D 的坐标为:(m ,m+3);②由①同理可得:C (m+3,3),∵二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点,∴当x =m 时,3y m ≤+,可得322363m m m m -+≤+,化简得:32418m m -≤. ∵0m >,∴2184m m m -≤,∴218(2)4m m--≤, 显然:m =1,2,3,4是上述不等式的解,当5m ≥时,2(2)45m --≥,18 3.6m ≤,此时,218(2)4m m-->, ∴符合条件的正整数m =1,2,3,4; 当x = m +3时,y ≥3,可得2(3)2(3)363m m m m m ++-+≥, ∵0m >,∴21823m m m ++≥,即218(1)2m m++≥, 显然:m =1不是上述不等式的解,当2m ≥时,2(1)211m ++≥,189m ≤,此时,218(1)2m m++>恒成立, ∴符合条件的正整数m =2,3,4;综上:符合条件的整数m 的值为2,3,4.【点睛】本题考查二次函数与几何问题的综合运用,熟练掌握二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、正方形的性质是解题的关键.5.如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为()3, 6C ,并与y 轴交于点()0, 3B ,点A 是对称轴与x 轴的交点.(1)求抛物线的解析式;(2)如图①所示, P 是抛物线上的一个动点,且位于第一象限,连结BP 、AP ,求ABP ∆的面积的最大值;(3)如图②所示,在对称轴AC 的右侧作30ACD ∠=交抛物线于点D ,求出D 点的坐标;并探究:在y 轴上是否存在点Q ,使60CQD ∠=?若存在,求点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)21233y x x =-++;(2)当92n =时,PBA S ∆最大值为818;(3)存在,Q 点坐标为((0,-或,理由见解析【解析】【分析】(1)利用待定系数法可求出二次函数的解析式;(2)求三角形面积的最值,先求出三角形面积的函数式.从图形上看S △PAB=S △BPO+S △APO-S △AOB,设P 21,233n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭求出关于n 的函数式,从而求S △PAB 的最大值.(3) 求点D 的坐标,设D 21,233t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,过D 做DG 垂直于AC 于G,构造直角三角形,利用勾股定理或三角函数值来求t 的值即得D 的坐标;探究在y 轴上是否存在点Q ,使60CQD ∠=?根据以上条件和结论可知∠CAD=120°,是∠CQD 的2倍,联想到同弧所对的圆周角和圆心角,所以以A 为圆心,AO 长为半径做圆交y 轴与点Q,若能求出这样的点,就存在Q 点.【详解】解:()1抛物线顶点为()3,6∴可设抛物线解析式为()236y a x =-+将()0,3B 代入()236y a x =-+得 396a =+13a ∴=- ∴抛物线()21363y x =--+,即21233y x x =-++ ()2连接,3, 3OP BO OA ==,PBA BPO PAO ABO S S S S ∆∆∆∆=+-设P 点坐标为21,233n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭1133222BPO x S BO P n n ∆=== 2211119323322322PAO y S OA P n n n n ∆⎛⎫==-++=-++ ⎪⎝⎭11933222ABO S OA BO ∆==⨯⨯= 22231991919813222222228PBA S n n n n n n ∆⎛⎫⎛⎫=+-++-=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴当92n =时,PBA S ∆最大值为818()3存在,设点D 的坐标为21,233t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭ 过D 作对称轴的垂线,垂足为G ,则213,6233DG t CG t t ⎛⎫=-=--++ ⎪⎝⎭30ACD ∠=2DG DC ∴=在Rt CGD ∆中有222243CG CD DG DG DG DG =+=-=)21336233t t t ⎛⎫-=--++ ⎪⎝⎭化简得(1133303t t ⎛⎫---= ⎪⎝⎭13t ∴=(舍去),2333t =+∴点D(333+3,33AG GD ∴==连接AD ,在Rt ADG ∆中229276AD AG GD =+=+=6,120AD AC CAD ∴==∠=Q ∴在以A 为圆心,AC 为半径的圆与y 轴的交点上此时1602CQD CAD ∠=∠= 设Q 点为(0,m), AQ 为A 的半径 则AQ ²=OQ ²+OA ², 6²=m ²+3²即2936m += ∴1233,33m m ==-综上所述,Q 点坐标为()()0,330,33-或故存在点Q ,且这样的点有两个点.【点睛】(1)本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式,根据已知条件选用顶点式较方便;(2)本题是三角形面积的最值问题,解决这个问题应该在分析图形的基础上,引出自变量,再根据图形的特征列出面积的计算公式,用含自变量的代数式表示面积的函数式,然后求出最值.(3)先求抛物线上点的坐标问题及符合条件的点是否存在.一般先假设这个点存在,再根据已知条件求出这个点.6.如图1,抛物线21:C y x b =+交y 轴于()0,1A .(1)直接写出抛物线1C 的解析式______________.(2)如图1,x 轴上两动点,M N 满足:m n X X n -==.若,B C (B 在C 左侧)为线段MN 上的两个动点,且满足:B 点和C 点关于直线:1l x =对称.过B 作BB x '⊥轴交1C 于B ',过C 作CC x '⊥轴交1C 于C ',连接B C ''.求B C ''的最大值(用含n 的代数式表示).(3)如图2,将抛物线1C 向下平移78个单位长度得到抛物线2C .2C 对称轴左侧的抛物线上有一点M ,其横坐标为m .以OM 为直径作K ,记⊙K 的最高点为Q .若Q 在直线2y x =-上,求m 的值.【答案】(1)21y x =+;(2)251|n -;(3)14m =-或12m =- 【解析】【分析】(1)将()0,1A 带入抛物线1C 解析式,求得b 的值,即可得到抛物线1C 的解析式; (2)设(),0B q ,则()2,0C q -,求()2B C ''并进行化简,由1n q -≤<且12,qn <-得21n q -<,则当()2max B C ''⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,取min 2q q n ==-,带入()2B C '',即可求得()max B C '';(3)依题意将抛物线1C 向下平移78个单位长度得到抛物线2C ,求得2C 解析式,根据解析式特点设21,8M m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,得到222218OM m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,由圆的特性易求得,⊙K 的最高点点Q 坐标为:2111,2228m OM m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设Q y k =,则2111228k OM m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,化简得到22211084k m k m ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭,由Q 点在2y x =-上,得2Q k x m =-=-,继而得到231048m m -+=,解得14m =-或12m =-. 【详解】解:(1)将()0,1A 带入抛物线21:C y x b =+,得b=1,则21:1C y x =+,(2)设(),0B q ,则()2,0C q -,∴()22222(2)(2)B C q q q q ''⎡⎤=--+--⎣⎦ 2204020q q =-+()2201q =-,∵1n q -≤<且12,q n <- 21n q -<∴,∴()2max B C ''⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,min 2q q n ==-, 即()22220(21)20(1)B C n n ''=--=-,∴()max 1|B C n ''=-,(3)根据题意,将抛物线1C 向下平移78个单位长度得到抛物线2C , ∴221:8C y x =+, ∴21,8M m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭, ∴222218OM m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭, ∴由圆的特性易求得,⊙K 的最高点点Q 坐标为:2111,2228m OM m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 设Q y k =,则2111228k OM m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,∴222111428OM k m ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 化简上式得:22211084k m k m ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭, ∵Q 点在2y x =-上,则2Q k x m =-=-,∴k m =-为上述方程的一个解, ∴分析可知1()04k m k m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭, 21148m m m -=+∴, ∴231048m m -+=, 解得:114m =-,212m =-(经检验114m =-,212m =-是方程231048m m -+=的解), 故14m =-或12m =-. 【点睛】本题主要考查二次函数的图像及性质、图像平移的性质、及二次函数与一元二次方程的综合应用、最值求法等知识.解题关键是熟练掌握二次函数的性质,充分利用数形结合的思想.7.已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠过点(0,2)A -.(1)若点(2,0)-也在该抛物线上,请用含a 的关系式表示b ;(2)若该抛物线上任意不同两点()11,M x y 、()22,N x y 都满足:当120x x <<时,()()12120x x y y --<;当120x x <<时,()()12120x x y y -->;若以原点O 为圆心,OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B 、C (点B 在点C 左侧),且ABC ∆有一个内角为60,求抛物线的解析式;(3)在(2)的条件下,若点P 与点O 关于点A 对称,且O 、M 、N 三点共线,求证:PA 平分MPN ∠.【答案】(1)21b a =-;(2)22y x =-;(3)见解析.【解析】【分析】(1)把点()0,2-、()2,0-代入抛物线解析式,然后整理函数式即可得到答案.(2)根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y 轴、开口向上,进而可得出0b =,由抛物线的对称性可得出ABC ∆为等腰三角形,结合其有一个60︒的内角可得出ABC ∆为等边三角形,设线段BC 与y 轴交于点D ,根据等边三角形的性质可得出点C 的坐标,再利用待定系数法可求出a 值,此题得解;(3)由(1)的结论可得出点M 的坐标为1(x ,212)x -+、点N 的坐标为2(x ,222)x -+,由O 、M 、N 三点共线可得出212x x =-,进而可得出点N 及点'N 的坐标,由点A 、M 的坐标利用待定系数法可求出直线AM 的解析式,利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点'N 在直线PM 上,进而即可证出PA 平分MPN ∠.【详解】解:(1)把点()0,2-、()2,0-分别代入,得2420c a b c =-⎧⎨-+=⎩. 所以21b a =-.(2),如图1,当120x x <<时,()()12120x x y y --<,120x x ∴-<,120y y ->,∴当0x <时,y 随x 的增大而减小;同理:当0x >时,y 随x 的增大而增大,∴抛物线的对称轴为y 轴,开口向上,0b ∴=.OA 为半径的圆与拋物线的另两个交点为B 、C ,ABC ∴∆为等腰三角形,又ABC ∆有一个内角为60︒,ABC ∴∆为等边三角形.设线段BC 与y 轴交于点D ,则BD CD =,且30OCD ∠=︒,又2OB OC OA ===,·303CD OC cos ∴=︒=,·301OD OC sin =︒=. 不妨设点C 在y 轴右侧,则点C 的坐标为(3,1).点C 在抛物线上,且2c =-,0b =,321a ∴-=,1a ∴=,∴抛物线的解析式为22y x =-.(3)证明:由(1)可知,点M 的坐标为1(x ,212)x -,点N 的坐标为2(x ,222)x -.如图2,直线OM 的解析式为()110y k x k =≠.O 、M 、N 三点共线,10x ∴≠,20x ≠,且22121222x x x x --=, 121222x x x x ∴-=-, ()1212122x x x x x x -∴-=-,122x x ∴=-,即212x x =-, ∴点N 的坐标为12(x -,2142)x -. 设点N 关于y 轴的对称点为点'N ,则点'N 的坐标为12(x ,2142)x -. 点P 是点O 关于点A 的对称点,24OP OA ∴==,∴点P 的坐标为()0,4-.设直线PM 的解析式为24y k x =-, 点M 的坐标为1(x ,212)x -,212124x k x ∴-=-,21212x k x +∴=, ∴直线PM 的解析式为21124x y x x +=-. ()222111221111224224·42x x x x x x x +-+-==-, ∴点'N 在直线PM 上, PA ∴平分MPN ∠.【点睛】本题考查了待定系数法求一次(二次)函数解析式、二次函数的性质、等边三角形的性质以及一次(二次)函数图象上点的坐标特征,解题的关键是:(1)利用二次函数图象上点的坐标特征求出a 、b 满足的关系式;(2)①利用等边三角形的性质找出点C 的坐标;②利用一次函数图象上点的坐标特征找出点'N 在直线PM 上.8.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y =﹣x 2+6x ﹣5的图象与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,其顶点为P ,连接PA 、AC 、CP ,过点C 作y 轴的垂线l .(1)P 的坐标 ,C 的坐标 ;(2)直线1上是否存在点Q ,使△PBQ 的面积等于△PAC 面积的2倍?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)(3,4),(0,﹣5);(2)存在,点Q 的坐标为:(92,﹣5)或(212,﹣5) 【解析】【分析】(1)利用配方法求出顶点坐标,令x=0,可得y=-5,推出C(0,-5);(2)直线PC的解析式为y=3x-5,设直线交x轴于D,则D(53,0),设直线PQ交x轴于E,当BE=2AD时,△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍,分两种情形分别求解即可解决问题.【详解】解:(1)∵y=﹣x2+6x﹣5=﹣(x﹣3)2+4,∴顶点P(3,4),令x=0得到y=﹣5,∴C(0,﹣5).故答案为:(3,4),(0,﹣5);(2)令y=0,x2﹣6x+5=0,解得:x=1或x=5,∴A(1,0),B(5,0),设直线PC的解析式为y=kx+b,则有534 bk b=-⎧⎨+=⎩,解得:35 kb=⎧⎨=-⎩,∴直线PC的解析式为:y=3x﹣5,设直线交x轴于D,则D(53,0),设直线PQ交x轴于E,当BE=2AD时,△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍,∵AD=23,∴BE=43,∴E(113,0)或E′(193,0),则直线PE的解析式为:y=﹣6x+22,∴Q(92,﹣5),直线PE′的解析式为y=﹣65x+385,∴Q′(212,﹣5),综上所述,满足条件的点Q的坐标为:(92,﹣5)或(212,﹣5);【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识,解题的关键是熟练掌握待定系数法,学会用转化的思想思考问题,属于中考常考题型.9.如图,在平面直角坐标系中,矩形AOBC的边AO在x轴的负半轴上,边OB在y轴的负半轴上.且AO=12,OB=9.抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A和点B.(1)求抛物线的表达式;(2)在第二象限的抛物线上找一点M,连接AM,BM,AB,当△ABM面积最大时,求点M的坐标;(3)点D是线段AO上的动点,点E是线段BO上的动点,点F是射线AC上的动点,连接EF,DF,DE,BD,且EF是线段BD的垂直平分线.当CF=1时.①直接写出点D的坐标;②若△DEF的面积为30,当抛物线y=﹣x2+bx+c经过平移同时过点D和点E时,请直接写出此时的抛物线的表达式.【答案】(1)y=﹣x2﹣514x﹣9;(2)M(﹣6,31.5);(3)①(﹣50)或(﹣3,0),②y=﹣x2﹣133x﹣4【解析】【分析】(1)利用待定系数法把问题转化为解方程组即可解决问题.(2)如图1中,设M(m,﹣m2﹣514m﹣9),根据S△ABM=S△ACM+S△MBC﹣S△ACB构建二次函数,利用二次函数的性质解决问题即可.(3)①分两种情形:如图2中,当点F在AC的延长线设时,连接DF,FB.设D(m,0).根据FD=FB,构建方程求解.当点F在线段AC上时,同法可得.②根据三角形的面积求出D,E的坐标,再利用待定系数法解决问题即可.【详解】解:(1)由题意A(﹣12,0),B(0,﹣9),把A,B的坐标代入y=﹣x2+bx+c,得到9 144120cb c=-⎧⎨--+=⎩,解得:5149bc⎧=-⎪⎨⎪=-⎩,∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣514x﹣9.(2)如图1中,设M(m,﹣m2﹣514m﹣9),S△ABM=S△ACM+S△MBC﹣S△ACB=12×9×(m+12)+12×12×(﹣m2﹣514m﹣9+9)﹣12×12×9=﹣6m2﹣72m=﹣6(m+6)2+216,∵﹣6<0,∴m=﹣6时,△ABM的面积最大,此时M(﹣6,31.5).(3)①如图2中,当点F在AC的延长线设时,连接DF,FB.设D(m,0).∵EF 垂直平分线段BD ,∴FD =FB ,∵F (﹣12,﹣10),B (0,﹣9),∴102+(m+12)2=122+12,∴m =﹣12﹣55∴D (﹣50).当点F 在线段AC 上时,同法可得D (﹣3,0),综上所述,满足条件的点D 的坐标为(﹣50)或(﹣3,0).故答案为(﹣50)或(﹣3,0).②由①可知∵△EF 的面积为30,∴D (﹣3,0),E (0,﹣4),把D ,E 代入y =﹣x 2+b′x+c′,可得'493''0c b c =-⎧⎨--+=⎩, 解得:13'3'4b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩,∴抛物线的解析式为y =﹣x 2﹣133x ﹣4. 故答案为:y =﹣x 2﹣133x ﹣4. 【点睛】本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质,待定系数法,线段的垂直平分线的性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.10.如图,经过原点的抛物线2y ax x b =-+与直线2y =交于A ,C 两点,其对称轴是直线2x =,抛物线与x 轴的另一个交点为D ,线段AC 与y 轴交于点B .(1)求抛物线的解析式,并写出点D 的坐标;(2)若点E 为线段BC 上一点,且2EC EA -=,点(0,)P t 为线段OB 上不与端点重合的动点,连接PE ,过点E 作直线PE 的垂线交x 轴于点F ,连接PF ,探究在P 点运动过程中,线段PE ,PF 有何数量关系?并证明所探究的结论;(3)设抛物线顶点为M ,求当t 为何值时,DMF ∆为等腰三角形?【答案】(1)214y x x =-;点D 的坐标为(4,0);(2)5PF PE =,理由见解析;(3)512t =或98t = 【解析】【分析】(1)先求出a 、b 的值,然后求出解析式,再求出点D 的坐标即可;(2)由题意,先求出点E 的坐标,然后证明Rt Rt PBE FHE ∆∆∽,得到2EF PE =,结合勾股定理,即可得到答案;(3)根据题意,可分为三种情况进行分析:FM FD =或DF DM =或FM MD =,分别求出三种情况的值即可.【详解】解:(1)∵抛物线2y ax x b =-+经过原点, ∴0b =.又抛物线的对称轴是直线2x =,∴122a --=,解得:14a =. ∴抛物线的解析式为:214y x x =-. 令2104y x x =-=, 解得:10x =,24x =.∴点D 的坐标为(4,0).(2)线段PE 、PF 的数量关系为:5PF PE =.证明:由抛物线的对称性得线段AC 的中点为(2,2)G ,如图①,AE EG GC +=,∴EG GC AE =-,∴EG EG EG GC AE EC EA +=+-=-,∵2EC EA -=,∴1EG =,∴(1,2)E ,过点E 作EH x ⊥轴于H ,则2EH OB ==.∵PE EF ⊥,∴90PEF ∠=︒,∵BE EH ⊥,∴90BEH ∠=︒.∴PEB HEF ∠=∠.在Rt PBE ∆与Rt FHE ∆中,∵PEB HEF ∠=∠,90EHF EBP ∠=∠=︒,∴Rt Rt PBE FHE ∆∆∽,∴12PE BE EF HE ==, ∴2EF PE =. 在Rt PEF ∆中,由勾股定理得:222222(2)5PF PE EF PE PE PE =+=+=,∴5PF PE =.(3)由2211(2)144y x x x =-=--, ∴顶点M 坐标为(2,1)-.若DMF ∆为等腰三角形,可能有三种情形:(I )若FM FD =.如图②所示:连接MG 交x 轴于点N ,则90MNF ∠=︒,∵(4,0)D ,∴2222125MD MN ND =+=+=. 设FM FD k ==,则2NF k =-.在Rt MNF ∆中,由勾股定理得:222NF MN MF +=,∴22(2)1k k -+=,解得:54k =, ∴54FM =,34NF =, ∴1MN =,即点M 的纵坐标为1-;令1y =-,则2114x x -=-, ∴2x =,即ON=2,∴OF=114, ∴11,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∵(1,2)E ,∴1,2BE BP t ==-,∴221(2)PE t =+-,∴251(2)PF t =•+-,在Rt △OPF 中,由勾股定理,得222OP OF PF +=,∴22211()55(2)4t t +=+-, ∴98t =. (II )若DF DM =.如图③所示:此时5FD DM ==∴45OF =,∴(45,0)F ,由(I )知,PE =,PF =在Rt △OPF 中,由勾股定理,得222OP OF PF +=,∴222(455(2)t t +-=+-∴12t =. (III )若FM MD =.由抛物线对称性可知,此时点F 与原点O 重合.∵PE EF ⊥,点P 在直线AC 上方,与点P 在线段OB 上运动相矛盾,故此种情形不存在.【点睛】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到相似三角形的判定和性质,一次函数的性质,等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,以及勾股定理等知识,其中(3),要注意分类求解,避免遗漏.。

相关主题