按(1):每取一次就做了一次试验，构成一个基本事件，只观察颜色不分顺序，按组合计
算样本点总数：
C
a+b N
设 A：a+b 球中恰有 a 个白 b 个红，把 A 发生的过程分为串行的两步：在白球中取 a
个球，再在红球中取
b
个球按乘法原则所含样点是
C
a N1
⋅
C
b N
2
∴ P( A)
=
Ca N1
⋅
C
b N
这样就大大提高了甲胎蛋白法的准确率了。 在此例中，正确理解区分概率P（A|B1）与P（B1|A）是多么重要。概率思维是人们正确
观察事物必备的文化修养，这样说也许并不过份。
例 某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的 数据。元件制造厂次品率提供晶体管的份额
1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志（1）在仓库中随机地取一只 晶体管求它是次品的概率。（2）在仓库中随机地取一只晶体管，若已知取到的是次品，为分 析此次品出自何厂，需求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少，试求这些概率。 解: 设A表示“取到的是一只次品”，Bi(i=1,2,3)表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”， 易知，B1，B2，B3是样本空间S的一个划分，且有 P（B1）=0.15，P（B2）=0.80，P（B3）=0.05， P（A|B1）=0.02，P（A|B2）=0.01，P（A|B3）=0.03 （1）由全概率公式 P（A）=P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）+P（A|B3）P（B3）=0.0125 （2）由贝叶斯公式
他们的生日各不相同的概率为
P( A)
=
Cr 365
⋅ r!
or
Ar 365
(365) r
(365) r
所以，至少两个人生日相同的概率为: p=1-P(A),
计算如下：
可得下述结果:
n 20
23
p 0.411 0.507
30 0.706
40
50 64
100
0.891 0.970 0.997 0.9999997
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典型例题（第一章概率论的基本概念）
古典概型 条件概率
古典概型
(一)取球问题
袋中共有 N 个球，N1 白，N2 红，采用摸后“放回”“不放回”两种方式任取出 a+b 个
球，试求这 a+b 个球中恰含 a 个白 b 个红的概率。
解：
[不放回] 试验从 N 个球中取出 a+b 个球，有两种理解 （1）一次取出 a+b 个球； （2）一个一个取，不放回，取 a+b 次；
设 A 为事件“产品合格”，B 为事件“机器调整良好”，已知 P（A|B）=0.9，P(A|B)=0.3,P （B）=0.75，P (B) =0.25，所需求的概率为 P（B|A），由贝叶斯公式
典型例题 Page 5 of 5
这就是说，当生产出第一件产品是合格品时，此时机器调整良好的概率为 0.9，这里， 概率 0.75 是由以往的数据分析得到的，叫做先验概率，而在得到信息（即生产出的第一件 产品是合格品）之后再重新加以修正的概率（即 0.9）叫做后验概率，有了后验概率我们就 能对机器的有进一步的了解。
其中事件A表示“阳性”，现设某人已检出呈阳性，问他患肝癌的概率P（B1|A）是多少？
解：
由贝叶斯（Bayes）公式
这表明，在已检查出呈阳性的人中，真患肝癌的人不到 1%，这个结果可能会使人大吃
典型例题 Page 4 of 5
一惊，但仔细分析一下，就可以理解了。因为肝癌发病率很低，在 10000 人只有 4 人左右。 而约有 9996 年不患肝癌。如对 10000 人用甲胎蛋白法进行检验。按错检的概率可知 4 位患 肝癌的都呈阳性，而 9996 位不患肝癌人中约有 9996×0.05≈500 个。呈阳性，在总共 504 个 呈阳性者中，真患肝癌的 4 人占总阳性中不到 1%，其中大部分人（500 人）是属“属报”， 在实际中，医生常用另一些简单易行的辅助方法先进行初查，排除大量明显不是肝癌的人， 当医生怀疑某人有可能患肝癌时，才建设用甲胎蛋白法检验。这时在被怀疑的对象中，肝癌 的发病率已显著提高了，比如说 P（B1）=0.4，这时再用贝叶斯公式进行计算，可得
Aa+b N
+
b)!
=
C C a b N1 N2 C a+b N
[放回抽样] 一个一个取，故看为可重复的排列，样本空间的样本点数：Na+b
由乘法、加法原理，A
所含样本点数为:（分析同（2））
C
a a+b
⋅
N1a
⋅
N
b 2
所以，所求概率为：
P( A)
=
Ca a+b
⋅ N1a N a+b
⋅
N
b 2
典型例题 Page 2 of 5
(3) 同理
P(C)
=
C
m k
⋅(N N
− 1) k−m
k
(4) 在这 k 个数字中，最大数不大于 M 的取法有 Mk 种。而最大数不大于 M-1 的取法有(M-1)k
种。
∴ P(D) = M k − (M − 1)k 。 Nk
典型例题 Page 3 of 5
例 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天是等可能的，即都等于 1/365，那么随机选取 n （≤365）个人，求他们的生日各不相同的概率。 解：
(二) 放球问题
n 个球，随机的放入 N 个盒（n≤ N），每盒容量不限，观察放法：
(1)某指定的 n 个盒中各有一个球 A1,求 P(A1)；
(2)恰有 n 个盒中各有一球Ａ2,求 P(A2) ；
(3)某指定的盒子中恰有 k 个球 A3,求 P(A3).
解:
试验: 一个一个放 n 个球入 N 个盒,每种方法构成了一种可重复的排列，于是 (1) P(A1) = n!N n
2
C a+b N
按（2）：一个一个取，每次记录下颜色和球的编号，不放回，取 a+b 个球是有顺序的，
构成
a+b
个球的一个排列，样本点总数：
Aa+b N
A 的发生可分解为如下过程：
在这 a+b 个球的位置上，选 a 个位置放白球，剩下的放红球，样本点数：
Ca a+b
⋅
Aa N1
⋅
Ab N2
∴
P( A)
人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的” （称之为实际推断原理）．现在概率很小（只有千万分之三）的事件在一次试验中竟然发生 了．因此有理由怀疑假定的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者．即认为其接待 时间有规定的．
条件概率
例 据调查某地区居民的肝癌发病率为 0.0004，若记“该地区居民患肝癌”为事件B1并记
解：
试验为从 1，2，……，N 个数中有放回地依次取 k 个数字，每 k 个数字的一个排列构
成一个基本事件，因此基本事件总数为 Nk。
（1）因
k
个数字完全不同，实际为不可数的排列，基本事件个数为：
C
k n
⋅
k!
∴ P( A) = Cnk ⋅ k! Nk
(2) 同理 P(B) = (N − r)k Nk
(2)
P(A2)
=
C
n N
⋅ n!
Nn
or
ANn
(3) P(A3) =
C
k n
⋅ (n
− 1) n−k
Nn
（三）随机取数
1—N 个数字任取 k 个数字，一个一个的取，取后放回，求： （1）A：k 个数字完全不同； （2）B：不含 1，2，……，N 中指定的 r 个数字； （3）某指定的数字恰好出现 m（≤ k）次; （4）k 个数字中最大数恰好为 M。
P（B2|A）=0.64，P（B3|A）=0.12。 以上结果表明，这只次品来自第 2 家工厂的可能性最大。
例 对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为 90%，而当机器发 生某一故障时，其合格率为 30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为 75%，试 求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率是多少？ 解:
B2= B ， 则P（B1）=0.0004，P（B2）=0.9996。现用甲胎蛋白法检查肝癌，若呈阴性，表
明不患肝癌，若呈阳性，表明患肝癌，由于技术和操作不完善以及种种特殊原因，是肝癌者
还未必检出阳性，不是患者也有可能检出呈阳性，据多次实验统计这二者错误发生的概率为：
P（A|B1）=0.99
P（A|B2）=0.05
例 某接待站在某一周曾接待过 12 次来访，已知所有这 12 次接待都是在周二和周四进行 的．问是否可以推断接待时间是有规定的． 解:
假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周的任一天中中去接待站是等可能 的，那么，12 次接待来访者都在周二、周四的概率为 212/712=0.0000003，即千万分之三。
=
Ca a+b
⋅
Aa N1
Aa+b N
⋅
Ab N2
=Байду номын сангаас
(a + b)! ⋅ a!⋅b!
Aa N1
⋅
Ab N2
Aa+b N
=
Aa N1
⋅
AN 2
a! b!
Aa+b N
(a + b)!
=
Ca N1