第一章概率论的基本概念
一、重点、难点概要复述
随机事件的定义及事件间的关系；概率的定义及性质；常见的三大概率模型：古典概型，几何概型，贝努利概型；条件概率与三大公式：乘法公式，全概公式，贝叶斯公式；事件的独立性。

1.设事件表示“甲产品畅销，乙产品滞销”，则表示_________________.
2.设为事件，则都发生可表示为___________________；发生但与不发生可表示为_______________；中不多于一个发生可表示为
________________.
3．设为随机事件，则。

A．B．
C．D．
4. 设为随机事件，则。

A． B． C． D．
5.设事件满足，则 _______.
6.将20本书随机放入书架，则指定的某3本书挨在一起的概率是
____________.
7.向半径为的圆内随机抛一质点，则质点落入圆内接正方形区域的概率为__________.
8.将一枚骰子连续抛掷100次，则事件“出现1点或6点”至少发生2次的概率为_______.
9. 一批灯泡共100只，其中10只为次品。

做不放回抽取，每次取1只，则第3 次才取到正品的概率为___________.
10. 三个箱子，第一个箱子有4个黑球、1个白球，第二个箱子有3个黑球、3个白球，第三个箱子有3个黑球、5个白球。

现随机地取一个箱子，再从这个箱子中任取一个球，则这个球为白球的概率为
___________。

若已知取得的球为白球，则此球属于第二个箱子的概率
为__________.
二、常见问题及解法
(一) 随机事件的表示：
1．随机事件的表示：设为随机事件，则
i）同时发生可表示为；
ii）至少有一个发生可表示为；
iii）发生但不发生可表示为
（二）随机事件概率的求法
1．利用加法公式：
2. 应用乘法公式：，其中.
，其中。

注：若，则由乘法公式可得
从而，也即与可以相互转换。

又因
；
故，可相互转换。

3. 在古典概型中求事件的概率：
4. 在几何概型中求事件概率：
5. 在贝努利概型中求事件的概率：在重貝努利试验中，事件每次发生的
概率为，则事件 恰发生次的概率为：，。

6. 利用全概公式与逆概公式求概率：设是完备事件组，，是任一个事
件，则
（i）全概公式:
（ii）逆概公式：，其中。

（三）事件独立性的判断
1. 根据实际问题直观判断
2. 根据定义来判断或证明：事件相互独立当且仅当。

三、拓展练习
1.设事件满足求
2.设事件满足，已知，求。

3．设事件满足，，，
求至少有一个发生的概率为。

4. 设事件满足 则有
（A） （B）
（C） （D）
5. 设事件满足则
（A） （B）
（C） （D）不相互独立
6. 袋中装有5只白球、6只黑球。

从中任取2球。

求
（1）取出的2球恰有1白1黑的概率；
（2）取出的2球至少有1黑球的概率。

7. 某人向目标连续射击6次，每次击中目标的概率为。

求
（1）第1次、第2次、第5次击中目标的概率；
（2）恰有3次击中目标的概率；
（3）至少有1次击中目标的概率。

8.向区间[0,1]内连续两次抛掷同一颗钢珠，求两次落地点之间的距离的概率。

9.已知袋中装有同型号小球8个，其中4个黑球、4个白球。

现每次从袋中任取1球，观其颜色后放回，并再放入2个同型号、同颜色的小球。

则三次都取到黑球的概率是多少？
10.甲乙两套系统共同工作，系统甲和系统乙有效的概率均为0.9，已知甲失灵的条件下，乙失灵的概率为0.2.求
（1）乙失灵的条件下，甲有效的概率；
（2）两个系统至少有一个有效的概率。

11.甲袋中有5只红球、4只白球；已袋中有4只红球、5只白球。

先从甲袋中任取2球放入已袋中，然后再从乙袋中任取1球。

（1）求从乙袋中取出的是白球的概率；
（2）若已知从乙袋中取出的是白球，则从甲袋中取出的是1只白球、1只红球的概率。

12.据以往资料，某厂生产的仪器每台可直接出厂的概率为0.7，需进一步调试的概率为0.3，经调试后产品，出厂的概率为0.8.现该厂共生产了台（）仪器（假定各台生产过程相互独立），求
（1）每台机器可出厂的概率；
（2）恰有两件不能出厂的概率；
（3）至少有两件不能出厂的概率。

13. 设为事件，。

若，则为相互独立。