2u 0
y 02
?
?
1
St
0
t 0
1
u0
0
x 0
0
0
y 0
假设：1. 设在我们所研究的问题中，
Eu
?
p y
0 0
1 Re
2
x 0
0 2
1
2 0
y 02
当地导数与局部导数相当（或更小）；
2. 压力梯度力作为被动力，与方程中的
惯性力或粘性力中的大者相当；
u 0 x0
0
u 0 y 0
Eu
p0 x0
1 2u0 Re x02
2u 0 y 0 2
St
0
t 0
u0
0
x0
0
0
y 0
Eu
p0 y 0
1 2 0
Re x02
2 0
y 0 2
2. 量阶的概念及一般运算法则
指某个物理量在整个区域内相对于标准小参数而言的平均水平。
取 为估阶的标准。
**U 2 uU ud y
0
uU ud y
0
U
2
0
d
y
0
1
u U
d
y
0
u 2
d
y
* , 1 u d y
0 U
动量通量损失：U 2 * u2 d y
0
理想流体通过流管ⅠⅡ动量通量为— U 2 *
粘性流体通过流管ⅠⅡ 动量通量为—
u 2
3. 在边界层内惯性力与粘性力同阶。
1
1
u 0
x
0
0
y 0
＝0
1
St
1
u 0 t 0
1
u0
1
u
0
0
x 0
1
u 0
y 0
Eu
1
p0 x 0
1 Re
1 2
2u 0
y 02
1
St
0
t 0
1
u0
0
0
x 0
1
0
y 0
Eu
p 0 y 0
1 Re
2 0
y 02
横向动量方程 中各项比流向 动量方程各项
x
～
1
O 1
O 1
y
～
1
O
O
1
二阶偏导数运算的数量级估计为：
2 x2
x
x
～
1
O 1
O11＝ O 1
2 y 2
y
y
～
1
O
O
1
＝
O
1
2
2 y x
y
x
～
O
1
O11＝
O
1
u ～ 1， u ～ 1 ， 2u ～ 1 ， u ～ 1， 2u ～ 1
y y2 2 x
u ＝0
x y
u t
u
u x
u y
1
p x
2u x 2
2u y 2
t
u
x
y
1
p y
2
x 2
2
y 2
t Tt 0
x Lx0 y Ly0 u Vu0
St
L VT
，Eu
P
V
2
V 0 p V 2 p0
Re
VL
u
0
x0
0
y 0
＝0
St
u 0 t 0
u0
L
x 0～L ， x x 0～1， 故 x 的 数 量 级 为 1， 记 为 O1；
L
y 0 ～ ， y y 0 ～ ， 故 y 的 数 量 级 记 为 O ；
L
物理量相乘、相除时物理量的量阶估计为：
O m O n O mn
O O
m n
ห้องสมุดไป่ตู้
O
mn
O 0 O1
偏导数的数量级估计为：
0
w
w
U x
y
u t
u
u x
u y
U t
U
U x
2u y 2
p 0 y 0
0
U t
U
U x
1
p
x
x2
y
u x
～1
y
d
y
y
u
d
y～
0 y
0 x
～ ， 2 ～ ， ～ 1， 2 ～ 1
x
x2
y
y2
3. 普朗特边界层方程
1
1
u 0 x 0
0
y 0
＝0
?
?
1
1
?
1
1 2
St
u 0 t 0
1
u0
u
0
0
x 0
u 0 y 0
Eu
p0 x 0
1 Re
2u 0 x 0 2
d
y
0
（4）能量损失厚度 ***
***
u
1
u
2
d
y
0 U U
***U 3 u U 2 u2 d y
0
u U 2 u2 d y
0
U
3
0
d
y
0
1
u U
d
y
0
u 3
d
y
* , 1 u d y
0 U
动能通量损失：U 3 * u3 d y
普朗特边界层方程
一、边界层的概念
1. 边界层 2. 势流区 3. 边界层厚度
（1）名义厚度
x y u 99% U
（2）位移厚度 *
,
,
*U U d y u d y
0
0
* , 1 u d y 0 U
（3）动量损失厚度
**
**
,
u
1
u
d
y
0 U U
,
0
理想流体通过流管ⅠⅡ动能通量为 — U 3 *
粘性流体通过流管ⅠⅡ 动能通量为
—
u 3
d
y
0
4. 边界层的特点 （1）边界层厚度较物体的特征长度为小量；
～ t txU
～
x
x
U
x
～
L
L
U
xL ～ 1
L
U L Re
（2）边界层内粘性力和惯性力为同阶。
二、平板二维普朗特边界层方程
1. 无量纲控制方程
小一阶
1
1
u x
0 0
0
y 0
0
1
St
1
u
0
1
u0
t 0
1
u
0
0
x 0
1
u 0
y 0
1
Eu p 0 x 0
1 Re
1 2
2u 0
y 02
Eu
p 0 y 0
0
u
x u t
＝0
y
u u
x
u y
1
p x
2u y 2
u ux, y,0
p
t0 t0 t 0
pxx,,yy,,00，uu