解：以桶为参考系，建立图示o-xy坐标，设自由面中 心到桶底距离为h，在自由面上取质量为m的微团，受 力如图所示，其中F为合力
由于自由面为等压面，所以该处切线方向应与合力方 向垂直，设切线与x轴成α角，它等于合力与竖直方向
所成的角度, d dx y tgm m 2xg , d yg 2xdx
y
x
积分，dy g2xd, xy 2g 2 x2h
件不同，流迹也不同
⒉欧拉的速度场法
• 这种研究方法把注意力放在流体流动的空间，观察各 个流流速体矢微量元，经这过些空流间速各矢点量的构流成速流，速每场一，v 点 都v (对x ,应y,一z,个t)
• 流线、流管就是在这种方法中采用的概念
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⒊稳定流动与非稳定 流动，流线与流管
• 稳定流动: 空间各点流速不随时间而变, 即 v v (x,y,z) • 非稳定流动:空间各点流速随时间变化, 即 v v (x ,y,z,t)
沿与F相反方向建立坐标o-y，让体元m的形状是高为dy
的圆柱，则
p s (p d ) s p sd a 2 y g 2 ,d pa 2 g
例3：水桶中的水以角速度ω 绕铅直轴匀速转动，求水自由 表面的形状
y
mω2x
h 0 mg F x
.
7
y
㈢相对非惯性系静 止的流体内的压强
a
dy
ma
α
mg F
油罐车沿水平方向以加速度a行驶，以车为参考系，油 静止 .为求油中压强分布，在油中取一质量为m的体元， 它受重力mg和惯性力ma的作用
合力 Fm a2g2 , F与竖直方向成α角， arctgag
它相对车静止，必定还受一压力作用，方向与F方向相 反，因此，等压面与F方向垂直，与水平方向成α角
• 流线：在流速场中画一些曲线，使曲线上每点切线方向 与该点的流速方向相同，这些曲线就叫流线 , 流线不能 相交，在一般情况下，流线分布随时间而变化，只有在 稳定流动中，流线分布才不随时间而变化
• 流管：在流速场中, 一束流线组成的细管就叫流管, 管内 外流体不通过管壁，一般流管形状随时间而变，只有在 稳定流动中，流管形状才不随时间变化
⒋理想流体
• 理想流体就是不可压缩、无粘性的流体
• 在研究流体问题时，如果流体的可压缩性、粘性处于 极次要地位，就可把实际流体视为理想流体，从而使 问题变得简单
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3
§11.2 静止
Δz
y ΔF
y PlΔlΔz
ΔS PxΔyΔz α α
流体内的压强 Δy
x
z Δx
㈠流体内压强与空间点对应
w x
PyΔxΔz
第十一章 流体力学
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1
§11.1 理想流体
v
⒈流体的特性
• 液体和气体的共同特点：只有体积压缩弹性，没有拉 压弹性和剪切弹性，因而都具有流动性
• 不同点：液体具有一定体积，几乎不可压缩，粘性大； 气体没有一定体积，它总是充满整个容器，容易压缩， 粘性小
⒉粘性概念
• 当流体流动时，各流层之间存在着阻碍相对运动的内 摩擦力，这就是流体的粘性。
p 2
y 2
d p gd,p y 2 p 1 g (y 2 y 1 ) g,h p 1 p 2gh
p 1
y 1
如有自由表面，令p2=p0，p1=p，则 p = p0+ρgh
.
5
例1：求大气压随高度的变化规律。设g为恒量，
大气密度与压强成正比，即
0 p0
p
，0 , p0
为
海平面大气的密度和压强
p y p l 1 2 g y , y 0 ,p y p l x , y , z 0 ,p l p x p y
因此，静止流体内的压强是与空间点对应的，与无穷小面元 方向无关, 这就是点压强的概念 ；这一结论也适用于非惯性 系和流动的理想流体
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4
㈡相对惯性系静止的流体内的压强分布
⒈等高各点压强相等
流体内压强定义: pli m F / Sd/F dS
可证压强与无穷小面元方向无关, 取体元 m1 2xyz
据平衡条件: p x y z p l l z c o p l z s y , p x p l
p y x z p l l z s i 1 2 g n x y z p l z x 1 2 g x y z
• 例如，河流中心流层流动最快，越靠近河岸流动越慢， 岸边水几乎不流动，这种现象就是由于流层间存在内 摩擦力造成的
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⒊流体体元的特点
在流体力学中，常谈到流体体元、流体微团或流体质 点，这里说的体元、微团、质点，都具有宏观小、微 观大的特点，就是说它们相对整个流体极小，但相对 分子、原子来说却是很大
0 dF
H dh
dl
α
dF＿
α dF
h
解：如图所示，取长为L,宽为dl的狭长面元，该面元受
力dF=ρghLdl，方向垂直该面元
dF在水平方向的分力： d F ghL sid nlgLhdh
H
坝受水平推力 FgL hdh 1 2gL2H
0
1 21.01309.810 85281.3170N
• 注意：中学学过的浮力定律、帕斯卡原理，都可根据静 止液体压强公式推导出来
解: 以海平面为原点建立图示坐标o-y
d pg d p 0 0y p,gd p d p p 0 0 y g dy
p
y
dp 0g
p
p 0
d,yln p p 0 p 0 0 gy,
pp 0 e 0g/y p 0
p 0
0
设 0g/p0 ,则pp0ey
y p
o p0 0
.
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例2：已知坝长L=1088m，水 深H=5m，不计大气压，求水 对坝的水平推力
h
0
为抛物线，所以水的自由表面为过h点的抛物面
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9
§11.3流体运动学的基本概念
㈠研究流体运动学的两种方法及相关概念
⒈拉格朗日的追踪法
• 追件踪求每得个微流元体的微运元动的学运方动程，r 根据r (r 动0,v 力 0,学t)方和程运和动初轨始迹条。 • 流体微元的运动轨迹叫流迹，不同微元，由于初始条
在流体中取一柱状体元，在水平方向 应用平衡方程 p A S p B S ,p A p B 表明：流体内等高各点压强相等,
即等压面与竖直方向垂直
AB
PAΔS y
PBΔS
（p+dp）ΔS
⒉压强沿竖直方向的分布
w dy
取一高为dy的柱状体元，在竖直方向
pΔS
应用平衡条件：
z x
p S ( p d ) S P g S 0 d ,d y p g, 设d ρ,g与y y无关，