解三 角 形 ◆知识点梳理（一）正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===（其中R 表示三角形的外接圆半径） 适用情况：（1）已知两角和一边，求其他边或其他角；（2）已知两边和对角，求其他边或其他角。

变形：① 2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R= ③ sin sin sin a b c A B C++++=2R ④::sin :sin :sin a b c A B C = （二）余弦定理：2b =B ac c a cos 222-+（求边），cosB=ac b c a 2222-+（求角） 适用情况：（1）已知三边，求角；（2）已知两边和一角，求其他边或其他角。

（三）三角形的面积：① =⋅=a h a S 21；② ==A bc S sin 21； ③C B A R S sin sin sin 22=； ④Rabc S 4=； ⑤))()((c p b p a p p S ---=；⑥pr S =（其中2a b c p ++=，r 为内切圆半径） （四）三角形内切圆的半径：2S r a b c ∆=++，特别地，2a b c r +-=斜直（五）△ABC 射影定理：A c C a b cos cos ⋅+⋅=，…（六）三角边角关系：（1）在ABC ∆中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C - cos 2A B +=sin 2C ； 2cos 2sin C B A =+ （2）边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b < c ，b －c < a ，c －a > b ；（3）大边对大角：B A b a >⇔>◆考点剖析（一）考查正弦定理与余弦定理的混合使用例1、在△ABC 中，已知Ａ＞Ｂ＞Ｃ,且Ａ=2Ｃ, 8,4=+=c a b ,求c a 、的长.例1、解：由正弦定理，得C c A a sin sin = ∵Ａ＝２Ｃ ∴Cc C a sin 2sin = ∴C c a cos 2= 又8=+c a ∴ c c cocC 28-= ①由余弦定理，得 C C c Cab b a c 222222cos 1616cos 4cos 2-+=-+= ②入②，得 )(44524516舍或⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==a c a c ∴516524==c a ， 例2、如图所示，在等边三角形中，,AB a =O 为三角形的中心，过O 的直线交AB 于M ，交AC 于N ，求2211OM ON +的最大值和最小值． 例2、【解】由于O 为正三角形ABC 的中心，∴3AO =， 6MAO NAO π∠=∠=，设MOA α∠=，则233ππα≤≤， 在AOM ∆中，由正弦定理得：sin sin[()]6OM OA MAO ππα=∠-+， ∴36sin()6OM πα=+，在AON ∆中，由正弦定理得：36sin()6ON πα=-， ∴2211OM ON +22212[sin ()sin ()]66a ππαα=++-22121(sin )2a α=+， ∵233ππα≤≤，∴3sin 14α≤≤，故当2πα=时2211OM ON +取得最大值218a ， 所以，当α=2,33or ππ时23sin 4α=，此时2211OM ON+取得最小值215a ． 变式1、在△ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为c b a ,,，已知bc ac c a ac b -=-=222,且，（１）求∠Ａ的大小； （２）求cB b sin 的值 变式1、解（１）∵bc ac c a ac b -=-=222,∴bc a c b =-+222 在△ABC 中，由余弦定理得2122cos 222==-+=bc bc bc a c b A ∴∠Ａ＝060 （２）在△ABC 中，由正弦定理得ab B 060sin sin = ∵0260,=∠=A ac b ∴2360sin 60sin sin 002===ca b c B b变式2、在ABC ∆中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且510sin ,sin 510A B == （I ）求A B +的值； （II ）若21a b -=-，求a b c 、、的值。

变式2、解（I ）∵A B 、为锐角，510sin ,sin 510A B == ∴ 2225310cos 1sin ,cos 1sin A A B B =-==-= 253105102cos()cos cos sin sin .A B A B A B +=-=⨯-⨯= ∵ 0A B π<+< ∴ 4A B π+=（II ）由（I ）知34C π=，∴ 2sin 2C = 由sin sin sin a b c A B C==得5102a b c ==，即2,5a b c b == 又∵ 21a b -=- ∴ 221b b -=- ∴ 1b = ∴ 2,5a c ==（二）考查正弦定理与余弦定理在向量与面积上的运用例3、如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA=2，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC 。

问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？例3、解：设AOB α∠=，在△AOB 中，由余弦定理得：2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-⨯⨯∠2212212cos 54cos αα=+-⨯⨯⨯=-于是，四边形OACB 的面积为S=S △AOB + S △ABC 213sin 24OA OB AB α=⋅+ 1321sin 4cos )2αα=⨯⨯⨯+- 5353sin 32sin()434πααα=-+=-+ 因为0απ<<，所以当32ππα-=，56πα=，即56AOB π∠=时， 四边形OACB 面积最大．例4、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，7,5,272cos 2sin 42==+=-+c b a C B A ． （1）求角C 的大小； （2）求△ABC 的面积．例4、解：（1）由272cos 2cos 4,272cos 2sin 422C C C B A -=-+得 ∴ 4cos 2C －4cosC ＋１＝０解得 21cos =C ∵0°＜C ＜180°,∴C=60° ∴ C ＝60° （2）由余弦定理得C 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 即 7＝a 2＋b 2－ab ①又a ＋b ＝5 ∴a 2＋b 2＋2ab ＝25 ②由①②得ab ＝6 ∴ S △ABC ＝233sin 21=C ab 变式3、已知向量(,)m a c b =+，(,)n a c b a =--，且0m n ⋅=，其中,,A B C 是△ABC 的内角，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边.(1) 求角C 的大小；（2）求sin sin A B +的取值范围.变式3、解：（1）由0m n ⋅=得()()()0a c a c b b a +-+-=222a b c ab ⇒+-= 由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +-=== ∵0C π<< ∴3C π= (2)∵3C π= ∴23A B π+= ∴sin sin A B +=2sin sin()3A A π+-22sin sin cos cos sin 33A A A ππ=+- 33sin 22A A =+313(cos )22A A =+ 3)6A π=+ ∵203A π<<∴5666A πππ<+< ∴1sin()126A π<+≤ ∴33)326A π<+≤即3sin sin 32AB <+≤（三）考查三角形形状的判断例5、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c, b=acosC,且△ABC 的最大边长为12，最小角的正弦值为31。

（1） 判断△ABC 的形状；（2） 求△ABC 的面积。

例5、解：（1） b=acosC ，∴由正弦定理，得sinB=sinAcosC, （#） B=)(C A +-π, ∴ sinB=sin(A+C),从而（#）式变为sin(A+C)= sinAcosC ，∴cosAsinC=0,又A ，C ),0(π∈∴cosA=0，A=2π，∴△ABC 是直角三角形。

（2） △ABC 的最大边长为12，由（1）知斜边a =12，又 △ABC 最小角的正弦值为31，∴Rt △ABC 的最短直角边为1231⨯=4，另一条直角边为28 ∴S △ABC =28421⨯⨯=162变式4、在△ABC 中，若()B A C B A cos cos sin sin sin +=+.(1)判断△ABC 的形状；(2)在上述△ABC 中，若角C 的对边1=c ，求该三角形内切圆半径的取值范围。

变式4、解：（1）由()B A C B A cos cos sin sin sin +=+可得12sin 22=C 0cos =∴C 即C ＝90° ∴△ABC 是以C 为直角顶点得直角三角形（2）内切圆半径 ()c b a r -+=21 ()1sin sin 21-+=B A 212214sin 22-≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πA ∴内切圆半径的取值范围是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212,0 例7、在△ABC 中，已知2a b c =+，2sin sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。

所以a b c ==，△ABC 为等边三角形。

变式8、在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c，(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为 A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形 ∴a 2＋c 2－b 22ac ＝a c，∴a 2＋c 2－b 2＝2a 2，即a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC为直角三角形．答案：B变式9、△ABC中，若sinA=2sinBcosC，sin2A=sin2B+sin2C，试判断△ABC的形状。

变式9、解:等腰直角三角形;（四）考查应用：求角度、求距离、求高度例6、在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处（）海里的B处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A处2海里的C处的缉私船奉命以海里/每小时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/每小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向能最快追上走私船？。