高三数学理科《三角函数与解三角形》专题训练1．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第几象限( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．若扇形圆心角的弧度数为2，且扇形弧所对的弦长也是2，则这个扇形的面积为( )A.1sin 21B.2sin 22C.1cos 21D.2cos 223．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.324．已知α是第一象限角，tan α＝34，则sin α等于( )A.45B.35 C ．－45 D ．－355．若点P (m ，n ) (n ≠0)为角600°终边上一点，则mn＝________.6.已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α (2)sin 2α＋sin αcos α＋2.7．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (2 009)＝3，则f (2 010)的值是( ) A ．－1 B ．－2 C ．－3 D ．18．已知sin(2π－α)＝45，α∈()3,22ππ，则sin α＋cos αsin α－cos α等于 ( )A.17 B ．－17C ．－7D ．7 9．已知cos(π－α)＝817，α∈()3,2ππ，则tan α＝________.10．已知sin(3π＋θ)＝13，求cos(π＋θ)cos θ[cos(π－θ)－1]＋()()()()cos 233sin cos sin 22θπππθθπθ----+的值．11．如果函数y ＝3cos (2x ＋φ)的图象关于点()4,03π中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π212．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是( )A ．6B ．7C ．8D ．913．已知在函数f (x )＝3sin πxR图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 14．已知f (x )＝sin ()3x πω+(ω>0)，()()63ffππ=，且f (x )在区间(),63ππ上有最小值，无最大值，则ω＝________. 15．关于函数f (x )＝4sin ()23x π+(x ∈R )，有下列命题：①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍; ②y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ()26x π-③y ＝f (x )的图象关于点(),06π-对称；④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．其中正确的命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上) 16．设函数f (x )＝cos ωx (3sin ωx ＋cos ωx )，其中0<ω<2.(1)若f (x )的周期为π，求当－π6≤x ≤π3时f (x )的值域；(2)若函数f (x )的图象的一条对称轴为x ＝π3，求ω的值．17．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是( ) A ．y ＝4sin ()46x π+B ．y ＝2sin ()23x π+＋2 C ．y ＝2sin()43x π+＋2D ．y ＝2sin()46x π+＋218．若将函数y ＝tan()4x πω+(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan()6x πω+的图象重合，则ω的最小值为( )A.16B.14C.13D.1219．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I =A sin(ωt +φ)(A >0，ω>0,0<φ<2π)的图象如右图所示，则当t =1001秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安20．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度21．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为________．22．已知sin(45°＋α)＝55，则sin 2α等于 ( )A ．－45B ．－35 C.35 D.4523．在△ABC 中，角C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( )A.14B.13C.12D.53 24．若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.25．化简(1)2sin()4x π-＋6cos()4x π-；(2)()()222cos 12tansin 44αππαα--+26．已知函数f (x )＝2sin 2()4x π+－3cos 2x . (1)求f (x )的周期和单调递增区间；(2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求实数m 的取值范围． 27．△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于( ) A ．3∶1 B.3∶1 C.2∶1 D ．2∶128．△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B 等于( )A.53 B.54 C.55 D.5629．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π330．在△ABC 中，若b cos C c cos B ＝1＋cos 2C1＋cos 2B，试判断△ABC 的形状．31．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为( ) A.4003 m B.4003 3 m C.2003 3 m D.2003 m 32．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( ) A ．5海里 B ．53海里 C ．10海里 D ．103海里 33．线段AB 外有一点C ，∠ABC ＝60°，AB ＝200 km ，汽车以80 km/h 的速度由A 向B 行驶，同时摩托车以50 km/h 的速度由B 向C 行驶，则运动开始( ) h 后，两车的距离最小． A.6943 B ．1 C.7043D ．2 34．如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ，设∠AOP =θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．答案1、B 2、A 3、B 4、B 5、336、解 由已知得tan α＝12. (1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝12－312＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos α＋2(cos 2α＋sin 2α)＝3sin 2α＋sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3tan 2α＋tan α＋2tan 2α＋1＝3×(12)2＋12＋2(12)2＋1＝135.7、C 8、A 9、158 10、解 ∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13，∴原式＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝18.11、A 12、C 13、D 14、31415、②③16、解 f (x )＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝sin ()26x πω+＋12. (1)因为T ＝π，所以ω＝1.∴f (x )＝sin()26x π+＋12， 当－π6≤x ≤π3时，2x ＋π6∈5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以f (x )的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)因为f (x )的图象的一条对称轴为x ＝π3，所以23πω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，ω＝32k ＋12 (k ∈Z )，又0<ω<2，所以－13<k <1，又k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝12.17、D 18、D 19、A 20、A 21、2 22、B 23、B 24、4325、解 (1)原式＝22cos ()12x π- (2)原式＝cos 2αcos 2α1＋sin 2α(1＋sin 2α)＝1.26、解 (1)f (x )＝2sin 2()4x π+－3cos 2x ＝1－cos ()22x π+－3cos 2x＝1＋sin 2x －3cos 2x ＝2sin()23x π-＋1，周期T ＝π；令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，解得单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )．(2)x ∈,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以2x －π3∈2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，sin ()23x π-∈1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以f (x )的值域为[2,3]． 而f (x )＝m ＋2，所以m ＋2∈[2,3]，即m ∈[0,1]．27、D 28、B 29、D28、30、解 由已知1＋cos 2C 1＋cos 2B ＝2cos 2C 2cos 2B ＝cos 2C cos 2B ＝b cos C c cos B，所以cos C cos B ＝bc .方法一 利用正弦定理边化角．由正弦定理，得b c ＝sin B sin C ，所以cos C cos B ＝sin Bsin C，即sin C cos C ＝sin B cos B ，即sin 2C ＝sin 2B .因为B 、C 均为△ABC 的内角，所以2C ＝2B 或2C ＋2B ＝180°， 所以B ＝C 或B ＋C ＝90°，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．方法二 由余弦定理，得a 2＋b 2－c 22ab a 2＋c 2－b 22ac＝bc ，即(a 2＋b 2－c 2)c 2＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，所以a 2c 2－c 4＝a 2b 2－b 4，即a 2b 2－a 2c 2＋c 4－b 4＝0，所以a 2(b 2－c 2)＋(c 2－b 2)(c 2＋b 2)＝0，即(b 2－c 2)(a 2－b 2－c 2)＝0， 所以b 2＝c 2或a 2－b 2－c 2＝0，即b ＝c 或a 2＝b 2＋c 2. 所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．31、A 32、C 33、C 34、解 ∵CP ∥OB ，∴∠CPO =∠POB =60θ-， 在△POC 中，由正弦定理得θsin sin CP PCO OP =∠，即2sin120sin CPθ=∴OC θ=又)60sin(34,120sin 2)60sin(θθ-︒=∴︒=-︒OC OC ． 因此△POC 的面积为S (θ)=21CP · OC · sin 120°=21·34sin θ·34sin(60θ-)×23=34sin θsin(60°-θ)=34sin θ)sin 21cos 23(θθ-=2sin θ·cos θ-32sin 2θ =sin 2θ+33cos 2θ-33=332sin 33)6π2(-+θ ∴θ=6π时，S (θ)取得最大值为33.。