13.1 不等关系（一）不等关系与不等式1. 用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式。
2. 数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大。
3. 对于任意两个实数a 和b ，在三种关系中有且只有一种关系成立。
4. 这组关系告诉我们比较两个实数的大小，可以通过判断它们的差的符号来确定。
5. 若a 、b ∈R ＋，则这组关系告诉我们比较两个正实数的大小，可以通过判断它们的商与“1”的大小关系来确定。
（二）不等式的性质不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础，证明这些性质必须是严格的，不能盲目地乱用。
保证每一步推理都有理论根据，否则可能导致推理错误。
1. 等式两边同乘以同一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数a （或代数式），结果有三种：（1）当a ＞0时，得同向不等式。
（2）当a ＝0时，得等式。
（3）当a ＜0时，得异向不等式。
a b,a b,ab =><2. 不等式性质，有同向不等式相加，得同向不等式，并无相减。
若或.这个结论常用，不妨记为：“大数减小数大于小数减大数。
”3. 不等式性质，有均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除。
若，这个结论也常用。
不妨记为：“大正数除以小正数大于小正数除以大正数。
”4. 不等式性质有.不能忽略a 、b 均为正数这个条件，即由是不一定成立的。
5. 由成立。
但不一定成立。
反过来也不一定成立。
事实上。
（三）均值不等式1. 对于任意实数a ，b 都有，当且仅当a ＝ b 时等号成立。
2. 对于任意正实数a ，b，当且仅当a ＝ b 时等号成立。
3. 对于任意正实数a, b 都有，当且仅当a ＝ b 时等号成立。
4.的几何解释：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 上任意一点，DE是过C 点垂直于AB 的弦。
若AC ＝a, BC ＝b 则AB ＝a ＋b ，⊙O 的半径，Rt △ACD∽Rt △BCD ，,。
a b,c d a cb d >>⇒->-c bd a ->-a a b 0,c d 0d >>>>⇒>b c d c b a >或n n a b 0a b (n N,n 1)>>⇒>∈>n n a b a b (n N,n 1)>⇒>∈>11a b 0a b >>⇒<11a b a b >⇒<11a b a b <⇒>11a b ab 0a b >>⇔<且22a b 2ab +≥a b2+2a b ab 2+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭a b2+a br 2+=2CD AC CB ab =⋅=CD =考虑到CD ≤r ，当且仅当C 点与O 点重合时，CD ＝r ＝，即。
5. 设x ，y 是正实数（1）若x ＋y ＝ s （和s 为定值），则当x ＝ y 时，积xy 有最大值为； （2）若xy ＝ p （积p 为定值），则当x ＝ y 时，和x ＋ y 有最小值为；6. 利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足：（1）x ，y必须是正数；（2）求积的最大值时，和必须为定值；求和的最小值时，积必须为定值； （3）重要不等式中的等号必须成立，且等号成立的条件是x ＝ y 。
即：①利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等三个条件，并且和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值。
②两次使用重要不等式求最值时，必须使两次等号成立的条件同时成立，否则不可。
3. 使用重要不等式求最值时，若等号不成立，应改用单调性法，如，可令：t ＝，此时在上是增函数；故1. 已知，试比较的大小【解析】解析：⇒a b 2+AB2a b 2+=2a b 2+⎛⎫ ⎪⎝⎭y =1y t t =+[)2，+∞min t x 0y 即时，===a b R ，∈a b a b ab 4433++与()()a b a b ab 4433+-+∵∴当时，故当a ≠b 时，故点评：比较法是证明不等式中最基本最重要的方法，其步骤为：作差（或n 次方作差）——变形——确定符号——得出结论。
其中，作差是依据，变形是手段，确定差的符号是目的，至于证题的思路体现了数学中的转化思想。
这里，关键的步骤是对差式的变形，常用的变形方法有：配方法、因式分解法及通分等，从而将差变形为常数，或变形为常数与几个平方和的形式，或变形为几个因式积的形式。
总之，变形到能确定出差的符号即可。
对于不等式两边都是正数的情形，尤其是指数型的问题，也常常用作商法比较，步骤为：作商——变形——与1比较——得出结论。
2. 已知，试将下列各数按从大到小的顺序排列。
【解析】解析：∵=-+-=--=-++=-++-++=-++=-+++a a b b b a a b a b a b a ab b a b a b b a b a ab b a b a ab b a b a b a b 333322222222222222222341222212()()()()()()()[()]()()()()()[()]，或()()a b a b b -≥++≥22202340，a b =1202222()[()]a b a b a b -+++=a b a b ab 4433+=+1202222()[()]a b a b a b -+++>a b a b ab 4433+>+-<<120a A a B a C a D a =+=-=+=-11111122，，，-<<-<<120120a a ，∴B D a a -=---()1112=----=---()()[()]11111254122a a a a a a∵∴由二次函数性质得∴∵综上可得 点评：在已知多个条件判断实数大小时要注意各个条件相互结合起来，一步一步探求问题的结论，如本题可根据a 的范围，取特殊值时，这时，猜想C ＞A ＞B ＞D ，然后用比较法证明猜想的正确性，这种从特殊到一般的推理形式是很重要的。
3. 对于实数a 、b 、c ，有下列命题 ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若。
-<<->12010a a ，-<--<-11254142()a ∴，∴B D B D ->>0A B a a a -=+--=>()()1120222A B >C A a a -=+-+1112()=-+++a a a a ()211=-+++a a a [()]123412-<<->1200a a ，∴∴，∴，∴10123402+>++>->>a a C A C A ()C A B D >>>1a 4=-171544A ,B ,C ,D 161635====a b >ac bc <ac bc 22>a b >a b <<0a ab b 22>>c a b >>>0a c a bc b ->-a b a b a b >>><，，则，1100其中真命题的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【解析】解析：①c 的正、负或是否为零未知，因而判断ac 与bc 大小缺乏依据，故该命题是假命题。
②由，是真命题。
③，∴。
故该命题为真命题。
④ ∵两边同乘以，得。
又。
故该命题为真命题。
⑤由已知条件知：∵又。
故该命题为真命题。
综上可知，命题②、③、④、⑤都是真命题。
故选C 。
点评：通过本题的练习，可以使我们熟悉不等式的基本性质，更好地掌握各性质的条件和结论。
在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同乘（除）以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定。
另外，若要判断命题是真命题，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若判断命题是假命题只需举一反例。
4. 证明下列不等式①已知求证：。
ac bc c c a b 22200>>>知≠，又，∴a b a a ab a b b ab b<<<⎫⎬⎭⇒><<⎫⎬⎭⇒>00022，a ab b 22>>a b a b c a c b >>⇒-<-⇒-<-0c a c a c a c b >-><-<-，∴，∴001()()c a c b --11c a c b ->->a b a c a bc b >>->-0，∴a b a b >⇒->0111100a b a b b a ab >⇒->⇒->a b b a ab ->-<<000，∴，∴a b a b >><，∴，00a b c >><00，，c a c b >②若，求证：。
【解析】解析：①∵，两边同乘以正数， 得。
②∵∴∴ 故。
点评：对于不等式的性质，关键是要正确理解和运用，要弄清每一性质的条件和结论，性质 4 及推论均有较强的条件，在运用时要特别注意。
5. 已知，求证：。
【解析】解析：∵∴ ∴ 又，∴∴ 又∴∴bc ad bd -≥>00，a b b c dd +≤+a b >>01ab 110a bc c a c b <<>，又，∴bc ad bd ≥>，0c d ab ≥cd a b +≥+11c d d a b b +≥+-<<<-<<-3121a b c ，-<-<1602()a b c -<<<31a b -<-<-<<1331b a ，-<-<44a b a b <a b -<0-<-<<-<4004a b b a ，∴-<<-<<21142c c ，∴0162<-<()b a c -<-<1602()a b c点评：应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣基本不等式成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则。
6. 已知，探求不等式的证明方法。
【解析】解析：证法一 ∵，对任意成立。
∴令也成立。