数列
、数列的定义： 按定顺序排列成的列数叫做数列. 记为：{a n }.即{a n }: a i , a 2,…* a
1、本质：数列是定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数.
2、通项公式：a n =f(n)是a n 关于n 的函数关系. 三、前n 项之和：S n = a i +a 2+…+a
例1、已知数列{100-3n},
(1)求a 2、a 3 ； (2)此数列从第几项起开始为负项.
例2已知数列a?的前n 项和，求数列的通项公式: (1) S n = n 2+2 n ； (2) S n =n 2-2 n-1.
解：(1)①当n 莹时，a n
= S n -S nA =(n 2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1；
② 当n=1 时，a i =S i =12 +2X 1=；3
注求数列通项公式的一个重要方法:
Si (n=1)
a n — *
[Sn — Sn 4 ( n 王 2)
二、通项公式：用项数n 来表示该数列相应项的公式 ，叫做数列的通项公式。

③经检验，当n=1时，2n+1=2 x 1+1=3 /. a n=2n+1为所求.
(2)① 当n》时，a n二S n-S n」=(n2-2n-1)-[(»1)2+2(n_1)_1]=2n-3；
②当n=1 时，a i=S i=l2-2 x 1-1=-2
f- 2(n = 1)
③经检验，当n=1 时，2n-3=2 x 1-3=2,「• ％ = ；n_3(n>2)为所求. 注：数列前n项的和S n和通项a n是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式a n二S n-S n」时，一定要注意条件门一2，求通项时一定要验证內是否适合
例3当数列｛100-2n｝前n项之和最大时，求n的值.
「a n 王0
分析：前n项之和最大转化为a彳岂0.
等差数列
1•如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，
那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.即：a ni-a n=d(常数)(n N*)
2•通
a n = a1 (n -1)d，推广：a n 二a m (n - m)d .
项：
3•求
S n - ( 12n)"务•葺卫d .(关于n的没有常数项的二次函数).
和：
4冲
项：若a、b、c等差数列，贝卩b为a与c的等差中项:2b=a+c
5•等差数列的判定方法
(1)定义法：a n 1 " a n = d(常数)(n N(2)中项法：2a n 1 = a n a n 吃
_ 2
(3)通项法:a i (n T)d ⑷前n项和法:S^ An Bn 练习：已知数列｛ a n｝满足：a i=2,a n = a n岀+3求通项a n.
例1在等差数列On冲，已知a4 =9,a9八6,& =63,求n-
解:设首项为a
i ，公差为d ,
例2 (1)设｛a n ｝是递增等差数列，它的前3项之和为12，前3项之积为48, 求这个数列的首项.
分析2：三个数成等差数列可设这三个数为：a-d , a , a+d 拓展：（1）若 n+m=2p ,则 a n +a m =2a p .
推广：从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。

如:
a i
,a 4,a 7,a
i0,…（下标成等差数列）
（2） 等和性：a m ■ a n =a
p ■ a q （m, n, p,q N *,m n = p q ）
（3） S n ,S 2n -S n ’S sn -S 2n ,…组成公差为门勺的等差数列. （4） a n =a m + （ n-m ） d 例 1 （ 1）已知 a 3+a ii =20,求a 7 .
（2）已知 a 3 + a 4+a 5+a 6+a 7 = 450,求 a 2 + a 8及前 9项和 S 9.
则」 +3d 得「 —6 = * 8d
a 1
=18
d = -3 3 、
.63=&=18n n(n-1)得：n = 6或n =7
2
解由等差中项公式：a3+a7 = 2a5 , a4 + a6 = 2a5
由条件a3 + a4 + a5 + a6 + a7 = 450,得：5a5 = 450, —a2 + a8 = 2 a5 = 180.
9
S
9 =_ (a1 a9)810
2
等比数列
1.定义与定义式：从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数
列称作等比数列. q（q为不等于零的常数）
a
n
2.通项公式：n _1 n _m
，推厂形式：a n =a m q .
a
n =a i q
na i (q =1)
3.前n项和：n
S n —q )=ai-a n q(q“且qf
1 - q 1 - q
注:应用前n项和公式时，一定要区分q"与q"的两种不同情况，必要的时候要分类讨论.
4. 等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，
那么G叫做a与b的等比中项.即G—ab （,；ac ）.
5. 等比数列的判定方法：
①定义法：对于数列匕］若亍呵防0），贝擞列3」是等比数列•
n
②等比中项：对于数列 a :若a n a n.2二a；i，则数列卸是等比数列.
例1等比数列中a i=2, a3 =8，求通项公式；
解：a3 二a i q = q2= 4= q - 二2 - a n = ( -2)2心=2n或a n = ( -2)( -2)n，= (-2)n 例2 在等比数列｛a n｝中，S= 1, S8= 3,则a i7 + a〔8+ a〔9 + a20.
解 解方程组可得：q 4=2, 耳八1
,
1
- q
解法2由S
n , S
2n — S
n , S
3n — S
2n ,…成等比数列计算.
在等比数列阮中有如下性质： (1) 若n+m=2p,则a n a m =(a p )2。

推广：从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。

如:
a i ,a 4,a 7,a
i0^'
(下标成等差数列)
(2) 等积性:a m a n =a
p a ( m n p q, m,n, p,q N ). (3) a n =a m q njm
例 1 在等比数列｛a n ｝中，a i +a 6 =33 , a 3 a^32 , a n 卅 va n , (1) 求 a n ； (2) 若 T n =lga i Iga 2 HI Iga n ，求T n .
1 2 11 Xl
(2)人=(-2 n
—n
)lg 2
解：设｛a n ｝的公比为q ,由题意知
a 1 a 1q a 1q 2 =7, a 1 a 1q a 1q 2
8,
例 2 a 1a 2
a 3 =7
81 82 日 3 = 8
求a
n .
解(1) a n =26
nJ3
a . =2
n
」或a n
数列综合运用
，求公比q. 例1公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列
解：设等差数列的通项a n = a]+(n-1)d (d旳).
根据题意得a32 = aa 即(a 什2d)2 =
(a i+d)(a i+5d),
解得
1 一a3
a
i「1d・所以
1
d
2
d
_ 2
-1
——d d
2
例2有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第 一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个书的和是12，求这四个数.
a = 4 a = 9
解得：d =8或d -6，所以所求的四个数为：一4,4,12,36
；或15,9,3,1 . 解：设这四个数为: (a +d)
2
a -d,a,a d,- a 2 ，则 a
l2a+d =12。