13.3 一次函数与一次方程、一次不等式
◆知识概述
1、通过简单的实例发现并了解一次函数、一元一次方程与一元一次不等式之间的联系．
2、通过用函数观点处理方程（组）与不等式问题，体验用函数观点认识问题和处理问题的意义和方法，进一步体验数与形的相互联系的紧密性和相互转化的灵活性．
3、任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0 (a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y＝ax＋b确定它与x轴的交点的横坐标的值.
4、任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b>0或ax＋b<0 (a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.
5、一次函数y＝kx＋b与一元一次方程kx＋b＝0和一元一次不等式的关系：函数y＝kx＋b的图象在x轴上方点所对应的自变量x的值，即为不等式kx＋b>0的解集；在x轴上所对应的点的自变量的值即为方程kx＋b＝0的解；在x轴下方所对应的点的自变量的值即为不等式kx＋b<0的解集.
◆典型例题
例1、若正比例函数y＝（1－2m）x的图象经过点A（x，y）和点B（x，y），当x＜x时，y＞1211212
＞．m＜ 0C＜mO B．m＞．mD），则ym的取值范围是（ A．2答案：D．例2、一次函数y＝kx＋b的自变量x的取值范围是－3≤x≤6，相应函数值的取值范围是－5≤y≤－2，则这个函数的解读式为____________.
分析：
本题分两种情况讨论：①当k＞0时，y随x的增大而增大，则有：当x＝－3，y＝－5；当x
＝6中可得b ＋，把它们代入y＝－2y＝kx时，＝x－y∴∴函
数解读式为4．
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②当k<O时则随x的增大而减小，则有：当x＝－3时，y＝－2；当x＝6时，y＝－5，把它们代入y＝－xyb－中可得3.
∴∴函数解读式为＝kx＋＝－xy－3.
＝x－4∴函数解读式为y，或＝－x－3.
x－4或答案：yy＝说明：本题充分体现了分类讨论思想，方程思想在一次函数中的应用，切忌考虑问题不全面.
例3、某商店销售A、B两种品牌的彩色电视机，已知A、B两种彩电的进价每台分别为2000元、1600元，一月份A、B两种彩电的销售价每台为2700元、2100元，月利润为1.2万元（利润＝销售价－进价）.
为了增加利润，二月份营销人员提供了两套销售策略：
策略一：A种每台降价100元，B种每台降价80元，估计销售量分别增长30%、40%.
策略二：A种每台降价150元，B种每台降价80元，估计销售量都增长50%.
请你研究以下问题：
（1）若设一月份A、B两种彩电销售量分别为x台和y台，写出y与x的关系式，并求出A 种彩电销售的台数最多可能是多少？
（2）二月份这两种策略是否能增加利润？
（3）二月份该商店应该采用上述两种销售策略中的哪一种，方能使商店所获得的利润较多？请说明理由.
解：
（1）依题意，有（2700－2000）x＋（2100－1600）y＝12000，
即700x＋500y＝12000.
则
因为y为整数，所以x为5的倍数，
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故x的最大值为15，即A种彩电销售的台数最多可能为15台.
（2）策略一：
利润W＝(2700－100－2000)(1＋30%)x＋(2100－80－1600)(1＋40%)y 1＝780x＋588y；
策略二：
利润W＝（2700－150－2000）（1＋50%）x＋（2100－80－1600）（1＋50%）y 2＝825x＋630y.
因为700x＋500y＝12000，所以780x＋588y>12000，825x＋630y>12000.
故策略一、策略二均能增加利润.
故策略二使该商店获得的利润多，应采用策略二.
例4、下表所示为装运甲、乙、丙三种蔬菜的重量及利润。
某汽车运输公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售（每辆汽车按规定满载，并且每辆汽车只装一种蔬菜）
甲乙丙
1．每辆汽车能装的吨数 1 5 2
4
每吨蔬菜可获利润（百元） 5
7
（1）若用8辆汽车装运乙、丙两种蔬菜11吨到A地销售，问装运乙、丙两种蔬菜的汽车各多少辆?
（2）公司计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜36吨到B地销售（每种蔬菜不少于一车），如何安排装运，可使公司获得最大利润?最大利润是多少?
分析：
第（1）问比较简单，可以列一元一次方程求得其解；第（2）问中，由于现在有甲、乙、丙三
种蔬菜，而条件只有两个：20辆汽车和36t蔬菜，这样列式就比较麻烦，如果设用y辆汽车装
运甲种蔬菜，z辆汽车装运乙种蔬菜，则用[20－(y＋z)]辆汽车装运丙种蔬菜，由于蔬菜一共有36t，于是可找到y与z之间的关系，又由于每种蔬菜不少于一车，这样可以求出y的取值范围，
在此基础上，可以列出所获利润S与y的函数关系，通过讨论y的值的情况，求出所获最大利润
的情况．
解：（1）设用x辆汽车装运乙种蔬菜，则用(8－x)辆汽车装运丙种蔬菜．根据题意，得
x＋1.5(8－x)＝11．
∴x＝2，8－x＝6．即应安排2辆汽车装运乙种蔬菜，6辆汽车装运丙种蔬菜．
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（2）设安排y辆汽车装运甲种蔬菜，z辆汽车装运乙种蔬菜，则用[20－(y＋z)]辆汽车装运
丙种蔬菜．
根据题意，2y＋z＋1.5[20－(y＋z)]＝36，∴z＝y－12.
∵y≥1，z≥1， 20－(y＋z)＝32－2y≥1，∴13≤y≤15.5．
设获利润为S百元，则
S＝2y×5＋7z＋1.5[20－(y＋z)]×4
＝10y＋7(y－12)＋6(32－2y)
＝5y＋108．
当y＝15时，S＝183，此时z＝y－12＝4，20－(y＋z)＝2．最大∴安排15辆汽车装运甲种蔬菜，3辆汽车装运乙种蔬菜，2辆汽车装运丙种蔬菜，可获得最大利润1.83万元．
◆课堂练习
一、选择题
1、若函数y＝kx＋b(k，b为常数)的图象如图所示，那么当y＞0时，x的取值范围是（）
A．x＞1 B．x＞2 C．x＜1 D．x＜2
都在直线上，则y与yy)的大小关系是（） )2、点A(－5，y，B(－2，2121A．y≤yB．y＝y C．y<yD．y>y 2 2 1 2 11 2 13、结合正比例函数y＝4x的图象回答：当x>1时，y的取值范围是（）A．y<1 B．1≤y<4 C．y＝4 D．y>4
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4、图中l反映了某公司产品的销售收入与销售数量之间的关系，l反映了该公司产品的销售成
本与21销售量的关系，根据图象判断该公司盈利时销售量为（）
A．小于4件 B．大于4件 C．等于4件 D．大于或等于4件
5、写出一个当x＞0时，y随x的增大而增大的函数解读式可以是（）
＝y 3x D．＝－3x＋5 C．y＝－＝A．y3x＋5 B．y6、已知一次函数y＝kx＋b的图象如图
所示，当x<0时，y的取值范围是（）
A．y>0 B．y<0 C．－2<y<0 D．y＜－2
7、购某种三年期国债x元，到期后可得本息和y元，已知y＝kx，则这种国债的年利率为（）
． D－．k1 A．kB ． C8、点P（x，y），点P（x，y）是一次函数y ＝－4x ＋ 3 图象上的两个点，且 x＜x，则y122121121与y的大小关系是（） A．y＞yB．y＞y＞0 C．y＜yD．y＝y 21 2 221112
9、已知点（－4，y），（2，y）都在直线y＝x＋2上，则y、y大小关系是（）2211A．y >yB．y ＝y C．y<yD．不能比较21 21 1210、在函数y＝－2x＋3中，当自变量x满足（）时，图
象在第一象限．
．D＞．A．Bx0 C．
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二、解答题
11、已知直线y＝2x＋1.
（1）求已知直线与y轴的交点坐标；
（2）若直线y＝kx＋b与已知直线关于y轴对称，试求当x为何值时，y的值为非负数.
12、如图所示，平面直角坐标系中画出了函数y＝kx＋b的图象.
（1）根据图象，求k，b的值；
（2）在图中画出函数y＝－2x＋2的图象；
（3）求x的取值范围，使函数y＝kx＋b的函数值大于函数y＝－2x＋2的函数值.
13、某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5000册时投入的成本与印数间的相应数据如下：
印数x（册） 5000
8000
10000 15000 ……
……成本y（元） 41000
28500 53500
36000
（1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入y（元）是印数x（册）的一次函数，求这个一次函数的解读式（不要求写出的x取值范围）。
（2）如果出版社投入成本48000元，那么能印该读物多少册？
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14、我市某化工厂现有甲种原料290kg，乙种原料212kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共80件.生产一件A产品需要甲种原料5kg，乙种原料1.5kg，生产成本是120元；生产一件B产品，需要甲种原料2.5kg，乙种原料3.5kg，生产成本是200元.
（1）该化工厂现有的原料能否保证生产？若能的话，有几种生产方案，请你设计出来；
（2）设生产A、B两种产品的总成本为y元，其中一种的生产件数为x，试写出y与x之间的函数关系，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案总成本最低？最低生产总成本是多少？
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