引入希尔伯特空间的线性算符： Fˆ
Fˆ Fˆ Fˆ
性质： 1 3
4 5
Iˆ
2 0ˆ 0
Aˆ Bˆ Aˆ Bˆ
Aˆ Bˆ Aˆ Bˆ
AˆBˆ Aˆ Bˆ
6
Aˆ Aˆ Aˆ
Aˆ * Aˆ (Aˆ Bˆ) Aˆ Bˆ
lm
表示算符 lˆ 2 , lˆz 的共同本征态。
上述是右矢的表述，相应的左矢表述与此类似。注意：
右矢和左矢为两种性质不同矢量表示，不能相加。它们
在同一表象中的相应分量互为共轭复数 。.
➢标积 对于两个态 和 ，定义 代
表一个复数，称为二者的标积或内积，
性质： 标积复共轭性
,
§2
▪ §3 量子力学公式的矩阵表述
§3
▪ §4 Dirac 符号
§4
▪ §5 占有数表象
§5
▪ §6 幺正变换矩阵
§6
解析几何
向量
(n 3)
线性代数
既有大小又有方向的量
坐
有次序的实数组成的数组
几何形象：可 随 意 平行移动的有向线段
标
代数形象：向 量 的 坐标表示式
系
aT a1 a2
an
态的归一性
1,
态的正交性
0.
设力学量完全集 Fˆ ，其本征值为Fi ，则其对应本征态为 Fi
Fi Fj ij Fi 分立谱
例如：
F F' ( ')
x
x
x x
p
p
p p
F 连续谱
lm lm ll mm
线性空间
定义1. 设V 是一个非空集合，R 为实数域．如 果对于任意两个元素α,β∈V，总有唯一的一个元 素γ∈V与之对应，称为α与β的和，记作： γ=α+β
个Hillbert空间，因为：
➢完备性 量子体系的任一态矢
ai Fi
i
a() F d
ai Fi a() F
➢封闭性 由态叠加原理，可知线性叠加的态
C1 1 C2 2 仍然属于该空间。 ➢内积
态矢满足希尔伯特空间的要求,而力学量完全集算 符的共同本征态所具有的正交归一完全性正好使 之构成该空间的基矢。
在几何或经典力学中，常用矢量形式讨论问题而不指 明坐标系。同样，量子力学中描写态和力学量，也可以不 用具体表象。这种描写的方式是狄喇克最先引用的，这样 的一套符号就称为狄拉克符号。
➢ 右矢（ket）与 左矢(bra) 微观体系的状态可以用一种矢量来表示，它的符号是
| ，称为刃矢（右矢），简称为刃，表示某一确定的刃 矢A，可以用符号 | A 。微观体系的状态也可以用另一种 矢量来表示，这种矢量符号是 | ，称为刁矢（左矢），
简称为刁。表示某一确定的刁矢B可以用符号 B | 。
上述表示只是一个抽象的描述,不涉及具体的表象。
例如： | 表示波函数 描述的状态；
上式是任意态的表述，对应本征态则常用本征 值或相应量子数来标记：
x 表示坐标算符的本征值为x的本征态；
p
表示动量算符的本征值为 p的本征态；
En or n 表示哈密顿算符的本征值为En的本征态；
第四章 态和力学量表象
本章要求
1 掌握表象的概念和量子态在不同表象下的表示。 2 掌握算符用矩阵表示的概念和量子力学公式的矩阵 表述。
3 掌握不同表象之间通过幺正变换联系起来的概念。 4 掌握狄喇克符号。 5 了解一维线性谐振子问题的代数解法。
教学内容
▪ §1 态的表象
§1
▪ §2 算符的矩阵表示
若对于任一数λ∈R 与任一元素α，总有唯一的 一个元素δ∈V与之对应，称为λ与α的积，记作 δ=λα
(设 , , V;, R) :
如果上述的两种运算封闭且满足以下八条运算规 律, 那么, 就称V为数域R上的线性空间(或向量空间):
设, , , OV, 1, l, k R, (1) 加法交换律: = ; (2) 加法结合律: = ; (3) 零元素: 存在OV, 对任一向量 , 有 + O = ; (4) 负元素: 对任一元素V, 存在 V, 有 =O, 记 = – ;
(5) 1 = ; (6) 数乘结合律: k(l ) = (l k) ; (7) 数乘对加法的分配律: k( + )= k +k ; (8) 数量加法对数乘的分配律: (k+l) = k +l .
说明: 1.凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为线性运 算． 2.向量空间中的向量不一定是有序数组． 3.判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和 数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条， 则此集合就不能构成线性空间.
(Aˆ Bˆ) Bˆ Aˆ Aˆ Aˆ
7 Aˆ Aˆ : Aˆ Aˆ Aˆ
Aˆ Aˆ Aˆ
§1 态的表象
到目前为止，体系的状态都用坐标(x,y,z)的 函数表示，也就是说描写状态的波函数是坐标的 函数。力学量则用作用于坐标函数的算符表示。 但是这种描述方式在量子力学中并不是唯一的， 这正如几何学中选用坐标系不是唯一的一样。坐 标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等，但 它们对空间的描写是完全等价的。
波函数也可以选用其它变量的函数，力学量则相 应的表示为作用于这种函数上的算符。
返回
表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式。 以前采用的是坐标表象，下面我们要介绍其他表象。
（一）动量表象 （二）力学量表象 （三）讨论
向量空间是集合与运算二者的结合，同一个集合，定 义不同的线性运算，构成不同的向量空间；若定义的 运算不是线性运算，就不能构成线性空间，所以定义 的线性重要，所以向量空间称为线性空间更准确。
希尔伯特空间
定义：希尔伯特空间是定义在复数域上的完备的线性内积 空间。力学量完全集的共同本征态矢构成的空间，即是一
解析几何
空间
(n 3)
线性代数
点空间：点的集合
几 何 形 象： 空间直线、曲线、 空间平面或曲面
坐
向量空间：向量的集合
标
代 数 形 象：
系
向量空间中的平面
( x, y,z) axbyczd r ( x, y,z)T axbyczd
P(x, y, z) 一 一 对 应
r x y zT
Dirac符号与希尔伯特空间