4.4.1 4.4.2 4.4.3
自旋1/2 磁场中的电子 角动量的叠加
4.4 自旋
4.4.1 自旋1/2
σx≡0 11 0， σy≡0 -ii 0， σz≡1 00 -1.(4.148) 这就是著名的泡利自旋矩阵。
4.4.2 磁场中的电子
图4.10 场中的进动
图4.11 施特恩-格拉赫实验装置示意图
氢原子基态为 ψ100(r,θ,ϕ)=1πa3e-r/a.(4.80)
归一化氢原子波函数是 ψnlm=2na3(n-l-1)!2n［(n+l)!］3e-r/na2rnal［L2l+1n-l-1(2r/na)］ Yml(θ,ϕ).(4.89)
图4.4
(r)的图像
表4.5
(x)
表4.6
(x)
表4.7
Δ2=1r2∂∂rr2∂∂r+1r21sinθ∂∂θsinθ∂∂θ+1r21sin2θ∂2∂ϕ2.(4.13) 在球坐标系下。定态薛定谔方程可写为：
ћ22m1r2∂∂rr2∂ψ∂r+1r21sinθ∂∂θsinθ∂ψ∂θ+1r21sin2θ∂2ψ∂ϕ2+Vψ=Eψ.(4.14) ψ(r,θ,ϕ)=R(r)Y(θ,ϕ).(4.15) 把上式代入式4.14，我们得到： -ћ22mYr2ddrr2dRdr+Rr2sinθ∂∂θsinθ∂Y∂θ+Rr2sinθ2∂2Y∂ϕ2+VRY=ERY. 两边同时除以RY并乘以-2mr2/ћ2： 1Rddrr2dRdr-2mr2ћ2Vr-E+1Y1sinθ∂∂θsin θ∂Y∂θ+1sin2θ∂2Y∂ϕ2=0. 上式第一个花括号里的项仅与r有关，而其他的仅与θ和ϕ有关；所以，每项必 须为一个常数。以后我们将讨论到，3我将把这个分离常数写做l(l+1)： 1Rddrr2dRdr-2mr2ћ2Vr-E=l(l+1);(4.16) 1Y1sinθ∂∂θsinθ∂Y∂θ+1sin2θ∂2Y∂ϕ2=-l(l+1).(4.17)
第4章 三维空间中的量子力学
4.1 球坐标系中的薛定谔方程 4.2 氢原子 4.3 角动量 4.4 自旋
4.1 球坐标系中的薛定谔方程
4. 径向方程
4.1.1 分离变量法
图4.1 球坐标：半径r，极角θ，方位角ϕ。
在球坐标系下拉普拉斯算符的形式为：
(r)
4.2.2 氢原子光谱
图4.7 氢原子的能级和跃迁光谱
4.3.1 本征值 4.3.2 本征函数
4.3 角动量
4.3.1 本征值
图4.8 角动量的梯形态
图4.9 角动量态(l=2)
4.3.2 本征函数
Lz=ћi∂∂ϕ.(4.129) L2=-ћ21sin θ∂∂θsin θ∂∂θ+1sin2θ∂2∂ϕ2.(4.132)
4.2.1 径向波函数 4.2.2 氢原子光谱
4.2 氢原子
图4.3 氢原子
4.2.1 径向波函数
E=-m2ћ2e24πε021n2=E1n2, n=1,2,3,…(4.70) 这就是著名的玻尔公式。
a=4πε0ћ2me2=0.529×10-10m(4.72) 是所谓的玻尔半径。
态(即能量最低的态)是n=1的态；把物理常数代入，我们有： E1=-m2ћ2e24πε02=-13.6eV.(4.77) 显然氢原子的结合能(也就是电离基态电子所需要的能量)为13.6 eV。
4.1.2 角动量方程
B4-1.TIF
Yml(θ,ϕ)=ε(2l-1)(l-m)！4π(l+m)！eimϕPml(cos θ)， (4.32)
表4.3 前几个球谐函数, (cos θ)
表4.4 前几个球贝塞尔和球诺依曼函数, (x) (x)；x很小时的渐进形式。
图4.2 前4个球贝塞尔函数图
4.4.3 角动量的叠加
4-12.TIF
s=1的三个态为(用sm〉表示)：
11〉=↑↑ =↓↓
10〉=12(↑↓+↓↑)1-1〉 s=1(三重态).(4.177)
这称为三重态。
00〉=12(↑↓-↓↑) s=0(单态).(4.178)