1 / 4 1.4.1 曲边梯形面积与定积分 【学习要求】 1．了解定积分的概念，会用定义求定积分. 2.理解定积分的几何意义. 3.掌握定积分的基本性质． 【学法指导】 通过求曲边梯形的面积、变力做功这两个背景和实际意义截然不同的问题，进一步体会定积分的作用及意义. 1．定积分：设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上，用分点a＝x0其长度依次为Δxi＝xi＋1－xi，i＝0,1,2，…，n－1.记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小

区间长度都趋近于0，在每个区间内任取一点ξi，作和式In＝i＝0n－1f(ξi)Δxi.当λ→0时，如果和式的极限存在，我们

把和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作 ʃbaf(x)dx ，即

ʃb

af(x)dx

＝_____limλ→0i＝0n－1f(ξi)Δxi___.

2．在定积分ʃbaf(x)dx中，f(x) 叫做被积函数，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限， f(x)dx 叫做被积式． 3．如果函数f(x)在[a，b]的图象是 一条连续的曲线 ，则f(x)在[a，b]一定是可积的． 4．定积分的性质

(1)ʃbakf(x)dx＝ kʃbaf(x)dx (k为常数)；

(2)ʃba[f1(x)±f2(x)]dx＝ ʃbaf1(x)dx ± ʃbaf2(x)dx ； (3)ʃbaf(x)dx＝ ʃcaf(x)dx ＋ ʃbcf(x)dx (其中a探究点一 定积分的概念 问题1 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点． 答 两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限． 问题2 怎样正确认识定积分ʃbaf(x)dx? 答 (1)定积分ʃbaf(x)dx是一个数值(极限值)．它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，另外ʃbaf(x)dx与积分区间[a，b]息息相关，不同的积分区间，所得值也不同．

(2)定积分就是和的极限limn→＋∞i＝1nf(ξi)·Δx，而ʃbaf(x)dx只是这种极限的一种记号，读作“函数f(x)从a到b的定积分”． (3)函数f(x)在区间[a，b]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)． 例1 利用定积分的定义，计算ʃ10x3dx的值． 解 令f(x)＝x3.

(1)分割：在区间[0,1]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[0,1]等分成n个小区间[i－1n，in](i＝1,2，…，n)，每

个小区间的长度为Δx＝in－i－1n＝1n. (2)近似代替、作和：取ξi＝in(i＝1,2，…，n)，则 ʃ10x3dx≈Sn＝∑ni＝1f(in)·Δx 2 / 4

＝∑ni＝1 (in)3·1n＝1n4∑ni＝1i3 ＝1n4·14n2(n＋1)2 ＝14(1＋1n)2. (3)取极限 ʃ10x3dx＝limn→＋∞Sn＝limn→＋∞ 14(1＋1n)2＝14. 小结 利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤． 跟踪训练1 用定义计算ʃ21(1＋x)dx.

解 (1)分割：将区间[1,2]等分成n个小区间1＋i－1n，1＋in(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度Δx＝1n.

(2)近似代替、求和：在1＋i－1n，1＋in上取点ξi＝1＋i－1n(i＝1,2，…，n)，于是f(ξi)＝1＋1＋i－1n＝2＋i－1n， 从而得i＝1nf(ξi)Δx＝i＝1n (2＋i－1n)·1n＝i＝1n 2n＋i－1n2 ＝2n·n＋1n2[0＋1＋2＋…＋(n－1)] ＝2＋1n2·nn－12＝2＋n－12n. (3)取极限：S＝limn→＋∞ 2＋n－12n＝2＋12＝52. 因此ʃ21(1＋x)dx＝52. 探究点二 定积分的几何意义 问题1 从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么ʃbaf(x)dx表示什么？ 答 当函数f(x)≥0时，定积分ʃbaf(x)dx在几何上表示由直线x＝a，x＝b(a梯形的面积． 问题2 当f(x)在区间[a，b]上连续且恒有f(x)≤0时，ʃbaf(x)dx表示的含义是什么？若f(x)有正有负呢？ 答 如果在区间[a，b]上，函数f(x)≤0时，那么曲边梯形位于x轴的下方(如图①)．

由于b－an>0，f(ξi)≤0，故

f(ξi)b－an≤0.从而定积分ʃbaf(x)dx≤0， 这时它等于如图所示曲边梯形面积的相反值， 即ʃbaf(x)dx＝－S. 当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，定积分ʃbaf(x)dx表示介于x轴、函数f(x)的图象及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分面积的代数和(在x轴上方的取正，在x轴下方的取负)．(如图②)，即ʃbaf(x)dx＝－S1＋S2－S3. 例2 利用几何意义计算下列定积分：

(1)ʃ3－39－x2dx；(2)ʃ3－1(3x＋1)dx.

解 (1)在平面上y＝9－x2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆， 其面积为S＝12·π·32.

由定积分的几何意义知ʃ3－39－x2dx＝92π. (2)由直线x＝－1，x＝3，y＝0，以及y＝ 3x＋1所围成的图形，如图所示： ʃ3－1(3x＋1)dx表示由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积， ∴ʃ3－1(3x＋1)dx 3 / 4

＝12×(3＋13)×(3×3＋1)－12(－13＋1)×2 ＝503－23＝16. 小结 利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定． 跟踪训练2 根据定积分的几何意义求下列定积分的值： (1)ʃ1－1xdx；(2)ʃ2π0cos xdx；(3)ʃ1－1|x|dx. 解 (1)如图(1)，ʃ1－1xdx＝－A1＋A1＝0. (2)如图(2)，ʃ2π0cos xdx＝A1－A2＋A3＝0.

(3)如图(3)，∵A1＝A2，∴ʃ1－1|x|dx＝2A1＝2×12＝1. (A1，A2，A3分别表示图中相应各处面积)

探究点三 定积分的性质 问题1 定积分的性质可作哪些推广？ 答 定积分的性质的推广 ①ʃba[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx＝ʃbaf1(x)dx±ʃbaf2(x)dx±…±ʃbafn(x)dx；

②ʃbaf(x)dx＝ f(x)dx＋ f(x)dx＋…＋ f(x)dx(其中n∈N*)． 问题2 如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？ 答 奇、偶函数在区间[－a，a]上的定积分 ①若奇函数y＝f(x)的图象在[－a，a]上连续不断，则 ʃa－af(x)dx＝0.

②若偶函数y＝g(x)的图象在[－a，a]上连续不断，则 ʃa－ag(x)dx＝2ʃa0g(x)dx.

例3 计算ʃ3－3(9－x2－x3)dx的值． 解 如图，

由定积分的几何意义得ʃ3－39－x2dx＝π×322＝9π2， ʃ3－3x3dx＝0，由定积分性质得

ʃ3－3(9－x2－x3)dx＝ʃ3－39－x2dx－ʃ3－3x3dx＝9π2. 小结 根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算．

1ca

2

1

c

c

nb

c 4 / 4

跟踪训练3 已知ʃ10x3dx＝14，ʃ21x3dx＝154，ʃ21x2dx＝73，ʃ42x2dx＝563，求： (1)ʃ203x3dx；(2)ʃ416x2dx；(3)ʃ21(3x2－2x3)dx.

解 (1)ʃ203x3dx＝3ʃ20x3dx＝3(ʃ10x3dx＋ʃ21x3dx) ＝3×(14＋154)＝12； (2)ʃ416x2dx＝6ʃ41x2dx＝6(ʃ21x2dx＋ʃ42x2dx) ＝6×(73＋563)＝126； (3)ʃ21(3x2－2x3)dx＝ʃ213x2dx－ʃ212x3dx

＝3ʃ21x2dx－2ʃ21x3dx＝3×73－2×154＝7－152＝－12.

4．已知2π0sin xdx＝2πsin xdx＝1，2π0x2dx＝π324，求下列定积分： (1)ʃπ0sin xdx；(2) 2π0(sin x＋3x2)dx. 解 (1)ʃπ0sin xdx

＝2π0sin xdx＋2πsin xdx

＝2；

(2) 2π0 (sin x＋3x2)dx ＝2π0sin xdx＋32π0x2dx ＝1＋π38.

1．定积分ʃbaf(x)dx是一个和式i＝1n b－anf(ξi)的极限，是一个常数． 2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分． 3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．