牛顿(英，1642-1727年)
•

第一篇微积分文献: 《流数简论》(1666)（fluxion)
“我把时间看作是连续流动或增长, 其他量则随时间而连续增长, 我从时间的流动性出发, 把所有其他增长速度称为流数。”

首末比方法: 求函数自变量与因变量变化之比的极限
令o=0
y xn

(x o) - x 1 n(n - 1) n-2 (x o)n - x n nxn-1 x o 2
莱布尼茨(德，1646-1716)
莱布尼茨和图解
（德国，1996）
微积分优先权之争
• 德丢勒(瑞士，1664-1753)1699年“牛顿是微 积分的第一发明人” • 1713年英国皇家学会裁定“确认牛顿为第一 发明人” • 英国与欧洲大陆数学家分道扬镳 • 莱布尼茨：“综观有史以来的全部数学，牛 顿做了一多半的工作”。 • 科学史上最不幸的一章
2 2
n , x 0
S lim S n lim
x 0
1 1 1 (1 )(2 ) x 0 6 n n
1 3

o
1
x
引例2.弹簧在拉伸过程中,力与伸长量成正比, 即力 F(x)=kx (k是常数,x是伸长量).求弹簧从 平衡位置拉长b所做的功. 解： W=Fx F(x)=kx b
牛顿(英，1642-1727年)
牛顿的万有引力 （摩纳哥，1987）
牛顿(英，1642-1727年)
行星的椭圆运动 （英国，1987）
牛顿(英，1642-1727年)
苹果和《自然哲学的数学原理》 （英国，1987）
牛顿(英，1642-1727年)
剑桥大学三一学院牛顿的苹果树
微积分的创立

1 1 2 i 1 i n 1 n 0, n , n , n ,..., n , n ,..., n , n .
y
i i 1 1 n n n
o
1
x
1 i 1 x 矩形的高： 底： n n 2
1 nx n -1
符号: x, y, , , ,... x y z
牛顿(英，1642-1727年)
1687年力学名著《自然哲学的数学 原理》出版。

运用微积分工具，严格证明了包括 开普勒行星运动三大定律、万有引力 定律在内的一系列结果，将其应用于 流体运动、声、光、潮汐、彗星及至 宇宙体系，充分显示了这一新数学工 具的威力。
孕育

ydx dz z
b a
1 2 yl y 2
ydx z(b) - z(a)
莱布尼茨(德，1646-1716)
第一篇发表的微分学论文: 《一种求极大与极小值和求切线的新 方法》(1684)

d (uv)
n
C
i 0
n
i n
d i u d n -i v
“凡熟悉微分学的人都能像本文这样魔术般做到的事情，却曾使 其他渊博的学者百思不解。”
当n , 得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功为
kb 2 W lim Wi n 2 i 0
n 1
引例1.求曲线y=x2与直线x=1,y=0所围成的区 域的面积. n 1
S lim
n

i 0
f ( xi ) x
引例2.弹簧在拉伸过程中,力与伸长量成正比, 即力 F(x)=kx (k是常数,x是伸长量).求弹簧从 平衡位置拉长b所做的功. n 1
W lim
n
f ( x )x
i 0 i
一、曲边梯形的面积
曲边梯形是指在直角坐标系中，由闭区间[a , b] 上的连续 函数 y f ( x) ( f ( x) 0) ， x 轴以及直线 x a ， x b 围成的平面 图形，如图 4-1，下面的任务是要计算这个曲边梯形的面积.
牛顿(英，1642-1727年)

对世界来说将是多么巨大的损失。” 1661年进入剑桥大学三一学院
笛卡儿《几何学》(1637) 沃利斯《无穷算术》(1656)


1669-1701年任卢卡斯教授
1699年伦敦造币局局长 1703年皇家学会会长

1705年封爵
1665年夏至1667年春: 牛顿科学生涯的黄金岁月 第一个创造性成果：二项定 理(1665)及无穷级数(1666)
曲边梯形面积与定积分
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微积分的创立
• 孕育
切线问题
极值问题 长度、面积、体积、重心
(16-17世纪)
孕育
1638年《关于力学和位置运动的两种新科学的对话 与数学证明》
• 伽利略(意, 15641642)的切线构造
运动合速度方向的直线
孕育
1609、1619年行星运动三大定律

牛顿：我不知道世人怎么看，但在我自己看来，我只不过是一个
在海滨玩耍的小孩，不时地为比别人找到一块更光滑、更美丽的
卵石和贝壳而感到高兴，而在我面前的真理的海洋，却完全是个 谜。

爱因斯坦：“理解力的产品要比喧嚷纷扰的世代经久，它能经历
好多个世纪而继续发出光和热。”
牛顿(英，1642-1727年)
牛顿 （越南，1985）

牛顿(英，1642-1727年)
《原理》由导论和三篇组成
• 导论：定义、基本定理和定律，及相关的说明 （绝对时空概念、运动合成法则、运动三定律、 力的合成与分解法则、伽利略相对性原理） • 第一篇：解决引力问题 • 第二篇：讨论物体在介质中的运动 • 第三篇：论宇宙体系
牛顿(英，1642-1727年)
增量方法
矩形长条分割曲边形并求和
孕育
• 巴罗(英, 1630-1677) 的特征三角形与曲线 切线(1664，1669)
Δy/Δx对于决定切线的重要性
孕育
• 沃利斯(英, 1616-1703) 的分数幂积分(1656)
无穷小分析的算术化
x
0
a
p/q
q dx a (pq)/q pq
1661年进入莱比锡大学 法学博士、外交官


1672-1676年留居巴黎
数学家 科学家

哲学家
• 莱布尼茨(德，1646-1716年)
孕育
• 帕斯卡(法, 1623-1662) 的特征三角形
《关于四分之一圆的正弦》中 “突然看到了一束光明”
ys rx
yds ndx
自变量的增量Δx与函数的增量 Δy为直角边组 n 1 1 0 矩形的面积： , , ,..., . n n n n n n n
2 2
y
1
o
1
x
矩形的面积和： 2
2
1 1 1 2 1 n 1 1 Sn 0 ... n n n n n n n 1 3 [02 12 22 ... ( n 1) 2 ] n 1 n(n 1)(2n 1) 1 1 1 1 3 (1 )(2 ) 6 6 n n y n
则从0到b所做的功W近似等于:
ib b Wi kxi x k n n i 0 i 0 i 0
n 1 n 1 n 1
kb 2 2 [0 1 2 ... ( n 1)] n kb 2 n(n 1) kb 2 1 2 (1 ) n 2 2 n
a n
面积比等于抛物线的幂指数比
孕育
• 笛卡儿(法，15961650)的囿法及切线 构造(1637)
光的折射
牛顿是以笛卡儿圆法为起跑点而踏上 研究微积分的道路
孕育
费尔马(法, 1601-1665) 的极大极小方法(1629)和 曲边梯形面积(1636)

f(a e) - f(a) 0 e e
法
16-17 世纪出生的数学家 沃利斯(1616-1703)
英 德 开普勒(1571-1630) 程大位(中, 1533-1606) 斯蒂文(荷, 1548-1620) 纳皮尔(苏格兰, 1550-1617) 巴罗(1630-1677) 胡克(1635-1703) 牛顿(1642-1727) 莱布尼茨(1646-1716) 惠更斯(荷, 1629-1695) 关孝和(日, 1642-1708)
微积分的创立
世界进入一个崭新阶段
韦斯特福尔(美, 1924-1996)《近代科学的建构》
从17世纪起科学就开始将原来以基督教为中心的文化变革成为现在 这样以科学为中心的文化。
引例1.求曲线y=x2与直线x=1,y=0所围成的区 域的面积.
解:将区间［0,1］等分为n个小区间:
1每个小区间的长度为： x

第一篇发表的积分学论文: 《深奥的几何与不可分量及无限的分 析》(1686)

y
2x - x 2
dx 2x - x 2
莱布尼茨(德，1646-1716)
莱布尼茨在汉诺威
（圣文森特，1991）
莱布尼茨(德，1646-1716)
• 发现易图结构可以用二进制数学予以解释，用二进制数学来理 解古老的中国文化，收藏了关亍中国的书籍50多册，200多封 信件中谈到中国。第一位全面认识东方文化尤其是中国文化的 西方学者。 1697年莱布尼茨著《中国新事萃编》(Novissima Sinica)
• 开普勒(德，1571-1630)的旋转体体积(1615)
无穷小求和思想
孕育
• 卡瓦列里(意, 1598-1647)的不可分量原理 (1635) 无穷小方法计算面积和体 积
1 2 xdx 2 a 0