z
0 x k: 传播矢量
球面波的等位相面: kr=c. 为球面
§1-1光波场的复振幅描述
会聚球面波
会聚球面波 U(P) a0 ejkr r
(P(x,y,z)) y (rkLeabharlann 会聚点S z 0 x.
§1-1光波场的复振幅描述
球面波 : 空间分布
P点处的复振幅:U(P) a0 ejkr 取决于k与r是平行
在与原点相距为 z 的平面上考察平面波的复振幅:
.
§1-1光波场的复振幅描述
光振动的复振幅表示: 说明
U(P) = a(P) e jj(P)
• U(P)是空间点的复函数, 描写光场的空间分布, 与时间无关;
• U(P)同时表征了空间各点的振幅 |U(P)| = |a(P)|
和相对位相 arg(U)= j(P)
• 方便运算, 满足叠加原理
• 实际物理量是实量. 要恢复为真实光振动:
光场随时间的变化关系: 由频率n表征. 可见光: n ~1014Hz
光场变化的时间周期为1/ n. 严格单色光: n为常数
光场随空间的变化关系体现在: (1) 空间各点的振幅可能不同
光场变化的空间周期为l.
(2) 空间各点的初位相可能不同, 由传播引起.
由于u(P,t) 必须满足波动方程，
可以导出a(P)、n、 .j(P)必须满足的关系
u(P,t)= e{U(P)exp(-j2pnt)} 即可
• 光强分布: I = UU*
光强是波印廷矢量的时间平. 均值, 正比于电场振幅的平方
§1-1光波场的复振幅描述
2、球面波的复振幅表示
球面波: 等相面为球面, 且所有等相面有共同中心的波
点光源或会聚中心
设观察点P(x, y, z)与发散球面波中心的距离为r,
§1-1光波场的复振幅描述
光振动的复振幅表示
为了导出a(P)、n、 j(P)必须满足的关系，将光场用复数表
示,以利于简化运算
u(P,t) = a(P)cos[2pnt - j(P)]}
= e{a(P)e-j[2pnt -j(P)] } 复数表示有利于
= e{a(P) e . jj(P) e -j2pnt } 将时空变量分开
r [(xx0)2 (yy0)2 z2]1/2
z1(xx0)2
(yy0)2 z2
1/2
z
需要作近轴近似
.
光波场的复振幅描述
球面波 : 近轴近似
只考虑 x - y平面上对源点 S 张角不大的范围,
即
(xx0)2(yy0)2 z2
1
可以作泰勒展开 rz(xx0)2(yy0)2
(1+D)1/2 1+ D /2
k 的方向余弦, 均为常量
以 k 表示的等相平面方程为 k .r = const. 故平面波复振幅表达式为:
U (x ,y ,z) a ex jkp r)(
a ex j( k p xc[a o s yco b s zcgo )
常量振幅
线性位相因子
.
光波场的复振幅描述
3、平面波: 在给定平面的分布
光波场的复振幅描述
3、 平面波的复振幅表示
等相面为平面,且 这些平面垂直于 光波传播矢量 k.
k 的方向余弦 均
为常量
等相平面的法线方向k (kcosa,. kcosb, kcosg)
光波场的复振幅描述
3、 平面波的复振幅表示
等相面为平面,且这些平面垂直于光波传播矢量 k.
等相平面的法线方向 k (kcosa, kcosb, kcosg)
r
还是反平行
距离 r 的表达
若球面波中心在原点:
r x2y2z2
若球面波中心在 S (x0, y0, z0):
r(x x0)2 (yy0)2 (z z0)2
.
光波场的复振幅描述
球面波 : 在给定平面的分布
以系统的光轴为z轴,光沿 z 轴正方向传播. 所考察的平面垂直于z 轴
令点光源位于z = 0的平面上坐标(x0, y0)处. 考察与其 距离为z的x - y平面上的光分布
j(P) = k . r k = | k |=2p /l , 为波数. 表
(P(x,y,z))
k : 传播矢量 球面波: k//r
示由于波传播, 在单位长度 上引起的位相变化, 也表明 了光场变化的“空间频率”
y k
(r
则P点处的复振幅:
U(P) a0 ejkr r
a0: 单位距离 处的光振幅
源点S
2z
一级近似 二级近似
对振幅中r 的可作一级近似. 但因为 k 很大, 对位相中的 r 须作二级近似
.
§1-1光波场的复振幅描述
二、球面波 : 近轴近似
U ( P ) U ( x ,y ) a z 0 ex j) k e p z x j2 k ( z( p x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2
第1章 现代光学的数学物理基础
Scalar Angle-Spectrum Theory of Diffraction
§1-1 光波场的复振幅描述 1、光振动的复振幅和亥姆霍兹方程
单色光场中某点 P(x,y,z)在时刻 t 的光振动可表为:
u(P,t) = a(P)cos[2pnt - j(P)]
振幅 频率 初位相
光场随时间的变化e -j2pnt不重要: n ~1014Hz, 无法探测
n为常数,线性运算后亦不变
对于携带信息的光波, 感兴趣的是其空间变化部分.
故引入复振幅U(P): U(P) = a(P) e jj(P)
则 u(P,t)= e{ U(P) e -j2pnt } .
§1-1光波场的复振幅描述
亥姆霍兹（Helmholtz)方程
将U(P)exp(j2pn t)代入波动方程
2uv12
2 t2
u0
可导出复振幅满足的方程为：
(2k2)U0 即亥姆霍兹（Helmholtz)方程
-—不含时间的波动方程
k 2p
称为波数或传播常数，
l
表示单位长度上产生的相位变化
在自由空间传播的任何单色光扰动的复振幅都必须满足 亥姆霍兹方程。也就是说，可以用不含时间变量的复振幅分 布完善地描述单色光波场。
对给定平面 是常量
随x, y变化的二次位相因子 球面波特征位相
已将球面波中心取在 z = 0的平面, 且光波沿 z 轴正方向传播. 如果 z > 0, 上式代表从 S 发散的球面波. 如果 z < 0, 上式代表向 S 会聚的球面波.
x-y 平面上等位相线方程为 : xxyyC
球面波中心 在原点:
U (x,y)a z0e.xjk p )ez(x j2 p k z(x2y2)