第十一章《一次函数》知识点串讲及考点透视 同学们已经知道了一次函数是研究函数的入门知识，也是今后学习其它函数的基础．为了使大家能牢固地掌握一次函数的性质与简单应用，现从以下几个方面帮助同学们搞好一次函数重点知识的回顾．一、要点解读1，知识总揽一次函数是函数大家族中的主要成员之一，是研究两个变量和学习其它函数的基础，它的表达式简单，性质也不复杂，但在我们的日常生活中的应用却十分广泛，与其它函数的联系也十分密切，许多实际问题只要我们注意细心观察，认真分析，及时将问题转化为一次函数模型，再得用一次函数的性质即可求解．2，疑点、易错点（1）若两个变量x 、y 间的关系式可以表示成y ＝kx +b (k ≠0)，则称y 是x 的一次函数．特别地，当b ＝0时，称y 是x 的正比例函数，就是说，正比例函数是一次函数的特例，而一次函数包含正比例函数，是正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数．如y ＝－x 是正比例函数，也是一次函数，而y ＝－2x －3是一次函数，但并不是正比例函数．因此，同学们在复习时一定要注意正确理解正比例函数和一次函数的概念，注意掌握它们之间的区别和联系．（2）一次函数的图象是一条直线，它所经过的象限是由k 与b 决定的，所以在复习巩固一次函数的性质时可以通过函数图象来巩固，从而可以避免因k 与b 的符号的干扰．如，在如图中，表示一次函数y ＝mx +n 与正比例函数y ＝mnx (m 、n 是常数且mn ≠0)图象是（ ）对于两不同函数图象共存同一坐标系问题，常假设某一图象正确而后根据字母系数所表示的实际意义来判定另一图象是否正确来解决问题．例如，假设选项B 中的直线y ＝mx +n 正确则m ＜0，n ＞0，mn ＜0则正比例函数y ＝mnx 则应过第二、四象限，而实际图象则过第一、三象限，所以选项B 错误．同理可得A 正确．故应选A ．（3）虽然一次函数的表达式简单，性质也并不复杂，且一次函数y ＝kx +b (k ≠0)的图象是一条直线，它的位置由k 、b 的符号确定．但是，涉及实际问题的一次函数图象与自变量的取值范围，画出来的图象不一定是直线，可能是线段或其他图形，这一点既是学习一次函数的疑点，也是难点，更是解题量的易错点．如，拖拉机开始工作时，油箱中有油40L ，如果每小时耗油5L ，那么工作时，油箱中的余油量Q (L)与工作时间t (h)的函数关系用图象可表示为（ ）依题意可以得到油箱中的余油量Q (L)与工作时间t (h)的函数关系为Q ＝40－5t ，就这个一次函数的解析式而言，它的图象是一条直线，所以不少同学就会选择A ，而事实上，自变量t 有一个取值范围，即0≤t ≤8，所以正确的答案应该选择C ．二、思想方法408Ot Q A 408O t Q D O x y A O x yBO x y C O x y D复习一次函数这一章的知识一定注意数学思想方法的巩固．具体地说，一次函数的知识涉及常见的思想方法有：（1）函数思想所谓的函数思想就是用一个表达式将两个变量表示出来其两个变量之间是一个对应的关系．确定两个变量之间的关系和列一元一次方程解应用题基本相似，即弄清题意和题目中的数量关系，找到能够表示应用题全部含义的一个相等的关系，根据这个相等的数量关系式，列出所需的代数式，从而列出两个变量之间的关系式．例1长方形的长是20，宽是x，周长是y．写出x和y之间的关系式．简析（1）由长方形的周长公式，得y＝2(x＋20)＝2x+40；说明在依据题意写出两个变量之间的关系式时，会经常用到以前学到的各种公式，所以对以前常用的公式我们要熟练掌握，分析每一个公式的结构特征，做到运用自如，方可避免常见错误．（2）数形结合思想数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使问题的数量关系巧妙、和谐地结合起来，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．例2某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观．如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响．但同时考虑到文物的修缮和保存等费用问题，还要保证一定的门票收入．因此,博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数．在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在着如图2所示的一次函数关系．在这样的情况下，如果确保每周4万元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多少?门票价格应是多少元?解设每周参观人数与票价之间的一次函数关系式为y＝kx+b．由题意，得107000,154500.k bk b+=⎧⎨+=⎩解得500,12000.kb=-⎧⎨=⎩所以y＝－500x+12 000．而根据题意，得xy＝40 000，即x(－500x+12 000)＝40 000，x2－24x+80＝所以方程变形为(x－12)2＝64，两边开平方求得x1＝20，x2＝4．把x1＝20，x2＝4分别代入y＝－500x+12 000中得y1＝2 000，y2＝10 000．因为控制参观人数，所以取x＝20，y＝2 000．即每周应限制参观人数是2 000人，门票价格应是20元．说明本题中得到方程x2－24x+80＝0，虽然没有学过不会解，但通过适当变形还是可以求解的．（3）待定系数法待定系数法是确定代数式中某项系数的数学方法．它是方程思想的具体运用．例3为了学生的身体健康，学校课桌、凳的高度都是按一定的关系科学设计的．小明对学校所添置的一批课桌、凳进行观察研究，发现它们可以根据人的身长调节高度．于是，他测量了一套课桌、凳上相对应的四档高度，得到如下数据：第一档第二档第三档第四档凳高x(cm) 37．0 40．0 42．0 45．0桌高y(cm) 70．0 74．8 78．0 82．8（1）小明经过对数据探究，发现：桌高y是凳高x的一次函数，请你求出这个一次函数的关系式(不要求写出x的取值范围)；图2（2）小明回家后，测量了家里的写字台和凳子，写字台的高度为77cm ，凳子的高度为43．5cm ，请你判断它们是否配套，说明理由．解（1）设y ＝kx +b (k ≠0)，依题意得3770,4074.8.k b k b +=⎧⎨+=⎩解得 1.6,10.8.k b =⎧⎨=⎩ 所以这个一次函数的关系式y ＝1．6x +10．8；（2）当小明家写字台的高度y ＝77cm 时，由（1）中的一次函数的关系式y ＝1．6x +10．8得77＝1．6x +10．8，解得x ＝41．375＜凳子的高度43．5cm ，所以小明家的写字台和凳子的高度是不配套的．说明 对于（2）中的问题也可以利用凳子的高度x ，求出写字台的高度y ，再与77cm 比较．由此，用待定系数法求一次函数的解析式的方法可归纳为：“一设二列三解四还原”．就是说，一设：设出一次函数解析式的一般形式y ＝kx +b (k ≠0)；二列：根据已知两点或已知图象上的两个点坐标列出关于k 、b 的二元一次方程组；三解：解这个方程组，求出k 、b 的值；四还原：将已求得（4）方程思想方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决．方程思想是最重要的一种数学思想，在数学解题中所占比重较大，综合知识强、题型广、应用技巧灵活．从例1、例2和例3中，我们都可以看出用到了方程思想求解．三、考点解密（所选例题均出自2006年全国部分省市中考试卷）考点1 确定自变量的取值范围确定函数解析式中的自变量的取值范围，只需保证其函数有意义即可．例1（盐城市）函数y ＝11x -中，自变量x 的取值范围是 ． 分析 由于函数的表达式是分式型的，因此必需保证分母不等于0即可．解 要使函数y ＝11x -有意义，只需分母x －1≠0，即x ≠1． 说明 确定一个函数的自变量的取值范围，对于函数是整式型的可以取任何数，若是分数型，只需使分母不为0，对于从实际问题中求出的解析式必须保证使实际问题有意义．考点2 函数图象把一个函数的自变量x 与对应因变量y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做函数函数图象．例2（泉州市）小明所在学校离家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行驶了5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了5分钟到家．如图1中，哪一个图象能大致描述他回家过程中离家的距离．．．．．s (千米)与所用时间t （分）之间的关系（ ）分析 依据题意，并观察分析每一个图象的特点，即可作出判断．解 依题意小明所在学校离家距离为2千米，先行驶了5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了5分钟到家，即能大致描述他回家过程中离家的距离s (千米)与所用时间t（分）之图1间的关系只有D 图符合，故应选D ．说明 求解时要充分发挥数形结合的作用，及时从图象中捕捉求解有用的信息，并依据函数图象的概念对图象作出正确判断．考点3 判断图象经过的象限对于一次函数y ＝kx +b ：①当k ＞0，b ＞0时，图象在第一、二、三象限内；②当k ＞0，b ＜0时，图象在第一、三、四象限内；③当k ＜0，b ＞0时，图象在第一、二、四象限内；④当k ＜0，b ＜0时，图象在第二、三、四象限内．特别地，b ＝0即正比例函数y ＝kx 有：①当k ＞0时，图象在第一、三象限内；②当k ＜0时，图象在第二、四象限内．例3（十堰市）已知直线l 经过第一、二、四象限，则其解析式可以为＿＿＿（写出一个即可）．分析 由题意直线l 经过第一、二、四象限，此时满足条件的解析式有无数个．解 经过第一、二、四象限的直线有无数条，所以本题是一道开放型问题，答案不唯一．如：y ＝－x +2，y ＝－3x +1．等等．说明 处理这种开放型的问题，只要选择一个方便而又简单的答案即可．考点4 求一次函数的表达式，确定函数值要确定一次函数的解析式，只需找到满足k 、b 的两个条件即可．一般地，根据条件列出关于k 、b 的二元一次方程组，解出k 与b 的值，从而就确定了一次函数的解析式．另外，对于实际问题可妨照列方程解应用题那样，但应注意自变量的取值范围应受实际条件的制约．例4（衡阳市）为了鼓励市民节约用水，自来水公司特制定了新的用水收费标准，每月用水量，x (吨)与应付水费(元)的函数关系如图2．（1）求出当月用水量不超过5吨时，y 与x 之间的函数关系式；（2）某居民某月用水量为8吨，求应付的水费是多少?分析 观察函数图象我们可以发现是一条分段图象，因此只要分0≤x ≤5和x ≥5求解． 解（1）由图象可知：当0≤x ≤5时是一段正比例函数，设y ＝kx ，由x ＝5时，y ＝5，得5＝5k ，即k ＝1．所以0≤x ≤5时，y ＝x ．（2）当x ≥5时可以看成是一条直线，设y ＝k 1x + b 由图象可知1155,12.510.k b k b =+⎧⎨=+⎩解得1 1.5,2.5.k b =⎧⎨=-⎩所以当x ≥5时，y ＝1．5x －2．5；当x ＝8时，y ＝1．5×8－2．5＝9．5(元)． 说明 确定正比例函数的表达式需要一个独立的条件；确定一次函数的表达式需要两个独立的条件．对于在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值．在处理本题的问题时，只需利用待定系数法，构造出相应的二元一次方程组求解．另外，在处理这类问题时，一定要从图形中获取信息，并把所得到的信息进行联系处理．考点5 比较大小利用一次函数的性质可以比较函数值的大小，具体地应由k 的符号决定．例5（青岛市）点P 1（x 1，y 1），点P 2（x 2，y 2）是一次函数y ＝－4x +3 图象上的两个点，且 x 1＜x 2，则y 1与y 2的大小关系是（ ）A ．y 1＞y 2B ．y 1＞y 2 ＞0C ．y 1＜y 2D ．y 1＝y 2分析 要比较y 1与y 2的大小，只要知道一次函数中k 的符号．图2解 因为在一次函数y ＝－4x +3中k ＝－4＜0，所以当x 1＜x 2时，y 1＞y 2．故应选A ． 说明 在一次函数y ＝kx +b 中，①当k ＞0，y 随x 的增大而增大；②当k ＜0，y 随x 的增大而减小．考点6 图象与坐标轴围成的面积问题对于一次函数y ＝kx +b 与坐标轴的两个交点坐标分别是（0，b ）和（－kb ，0），由此与坐标轴围成的三角形的面积为12b b k -⋅＝122b k． 例6（日照市）已知直线y ＝mx －1上有一点B （1，n ）直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）A ．12B ．14或12C ．14或18D ．18或12分析 若能利用直线y ＝mx －1上有一点B （1，n ）n ，则可以进一步求出了m ，从而可以求出直线与两坐标轴围成的三角形的面积．解 因为点B （1，n12+ n 2＝10，即n ＝±3，则点B 的坐标为（1，3）或（1，－3）．分别代入y ＝mx －1，得m ＝4，或m ＝－2．所以直线的表达式为y ＝4x －1或y ＝－2x －1，即易求得直线与坐标轴围成的三角形的面积为14或18．故应选C ． 说明 要求直线与两坐标轴围成的三角形的面积，只要能求出直线与坐标轴的交点坐标即可，这里的分类讨论是正确求解的关键．考点7 利用一次函数解决实际问题利用一次函数解决实际问题可妨照列方程解应用题那样，但应注意自变量的取值范围应受实际条件的制约．例7（长沙市）我市某乡A 、B 两村盛产柑桔，A 村有柑桔200吨，B 村有柑桔300吨．现将这些柑桔运到C 、D 两个冷藏仓库，已知C 仓库可储存240吨，D 仓库可储存260吨；从A 村运往C 、D 两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 村运往C 、D 两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A 村运往C 仓库的柑桔重量为x 吨，A ，B 两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为y A 元和y B 元．（1）请填写下表，并求出y A 、y B 与x 之间的函数关系式； C D 总计 A x 吨 200吨B 300吨总计 240吨 260吨 500吨（2）试讨论A ，B 两村中，哪个村的运费较少；（3）考虑到B 村的经济承受能力，B 村的柑桔运费不得超过4830元．在这种情况下，请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值．分析 依题意可以知道从A 村运往C 仓库的柑桔重量、从A 村运往D 仓库的柑桔重量、从B 村运往C 仓库的柑桔重量和从B 村运往D 仓库的柑桔重量，这样就可以求得y A 、y B 与收 地 运 地x 之间的函数关系式，进而利用不等式和一次函数的性质求解．解（1）依题意，从A 村运往C 仓库的柑桔重量为x 吨，则从A 村运往D 仓库的柑桔重量应为(200－x )吨，同样从B 村运往C 仓库的柑桔重量为(240－x )吨，从B 村运往D 仓库的柑桔重量应为(300－240+x )吨，即(60+x )吨．所以表中C 栏中填上(240－x )吨，D 栏中人上到下依次填(200－x )吨、(60+x )吨．从而可以分别求得y A ＝－5x +5000(0≤x ≤200)，y B ＝3x +4680(0≤x ≤200)．（2）当y A ＝y B 时，－5x +5000＝3x +4680，即x ＝40；当y A ＞y B 时，－5x +5000＞3x +4680，即x ＜40；当y A ＜y B 时，－5x +5000＜3x +4680，即x ＞40；所以当x ＝40时，y A ＝y B 即两村运费相等；当0≤x ≤40时，y A ＞y B 即B 村运费较少；当40＜x ≤200时，y A ＜y B 即A 村费用较少．（3）由y B ≤4830，得3x +4680≤4830，所以x ≤50．设两村运费之和为y ，所以y ＝y A +y B ，即y ＝－2x +9680，又0≤x ≤时，y 随x 增大而减小，即当x ＝50时，y 有最小值为9580y （元）．所以当A 村调往C 仓库的柑桔重量为50吨，调往D 仓库为150吨，B 村调往C 仓库为190吨，调往D 仓库110吨的时候，两村的运费之和最小，最小费用为9580元．说明 一次函数的重点内容之一就是利用一次函数图象的特征来解决解决实际应用问题，所以同学们一定要在应用上下功夫．另外，一次函数的应用问题是近年来中考的热点，其试题的形式活泼，题型新颖，情景生动，富有时代气息，体现新课程的理念，同学们应注意巩固和运用．练习题1，（衡阳市）函数y2，（攀枝花市）如图，直线y ＝－43x +4与y 轴交于点A ，与直线y ＝45x +45交于点B ，且直线y ＝45x +45与x 轴交于点C ，则△ABC 的面积为＿＿＿．3，（海淀区）打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y （升）与时间x （分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（ ）4，（江西省）如图，已知直线l 1经过点A （－1，0）与点B （2，3），另一条直线l 2经过点B，且与x轴交于点P（m，0）．（1）求直线l1的解析式；（2）若△APB的面积为3，求m的值．5，（南安市）近两年某地外向型经济发展迅速，一些著名跨国公司纷纷落户该地新区，对各类人才需求不断增加，现一公司面向社会招聘人员，其信息如下：［信息一］招聘对象：机械制造类和规划设计类人员共150名．［信息二］工资待遇：机械类人员工资为600元/月，规划设计类人员为1000元/月．设该公司招聘机械制造类和规划设计类人员分别为x人、y人．（1）用含x的代数式表示y；（2）若公司每月付给所招聘人员的工资为p元，要使本次招聘规划设计人员不少于机械制造人员的2倍，求p的取值范围．参考答案：1，≥1；2，4；3，D；4，（1）设直线l1的解析式为y＝kx + b，由题意，得0,2 3.k bk b-+=⎧⎨+=⎩解得1,1.kb=⎧⎨=⎩所以，直线l1的解析式为y＝x +1．（2）当点P在点A的右侧时，AP＝m－（－1）＝m+1，有1(1)332APCS m=⨯+⨯=．解得m＝1，此时，点P的坐标为（1，0）；当点P在点A的左侧时，AP＝－1－m，有1(1)332APCS m=⨯--⨯=．解得m＝－3，此时，点P的坐标为（－3，0）．综上所述，m的值为1或－3；5，（1）y＝150－x．（2）根据题意，得：y≥2x，所以150－x≥2x，解得：x≤50，又x≥0，150－x≥0，即0≤x≤50，所以p＝600x+1000(150－x)＝－400x+150000；又因为p随x的增大而减小，并且0≤x≤50，所以－400×50+150000≤p≤－400×0+150000，即130000≤p≤150000．。