概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号 第五章 大数定律与中心极限定理、第六章 样本及其分布一、选择题：1．设n μ是n 次重复试验中事件A 出现的次数，p 是事件A 在每次试验中出现的概率，则对任意的0ε>均有lim {}nn P p nμε→∞-≥ [ A ]（A ）0= （B ）1= （C ）0> （D ）不存在 2. 设,,,,n X X X 12为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为λλ>(1)的指数分布，记()x Φ为正态分布函数，则 (考研题 2005) [ C ]（A）lim }()nin Xn P x x λ→∞-≤=Φ∑ （B）lim }()nin Xn P x x λ→∞-≤=Φ∑（C）lim }()ni n X nP x x λ→∞-≤=Φ∑ （D）lim }()nin XP x x λ→∞-≤=Φ∑3．设随机变量(,),(,),X N Y N 0101则 (考研题 2002) [ C ]（A ）X Y +服从正态分布 （B ）22X Y +服从χ2分布 （C ）22X Y 和服从χ2分布 （D ）22/X Y 服从F 分布 二、填空题：1．对于随机变量X ，仅知其1()3,()25E X D X ==，则可知{|3|3}P X -<≥ 2. 设总体X 服从参数为2的指数分布，,,,,n X X X 12是来自总体X 的简单随机样本，则当n →∞时，211i i Y X n ==∑n依概率收敛于 (考研题 2003)3．设总体2~(,)X N μσ，12,,,n X X X 为其样本，记11n i i X X n ==∑，2211()1n i i S X X n ==--∑，则)/Y X S μ=-服从的分布是 .22422512(1)t n -分布三、计算题：1．计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差是独立的且在(0.5,0.5)-上服从均匀分布。

问：（1）若将1500个数相加，误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2）最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90 ？2. 一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1元、1.2元、1.5元各个值的概率分别为0.3、0.2、0.5。

某天售出300只蛋糕。

（1）求收入至少400元的概率； （2）求售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率。

1500150011(1)()1/2,()1/12.7501{|1500|15}{|| 1.34}2(1(1.34))0.180221500150.1802(2){||10}{|2i i i i i i ni nii X i E X D X X P X P X n P X P ====--⨯>=>≈≈-Φ=-<=∑∑∑∑若将个数相加，误差总和的绝对值超过的概率为解：随机变量表示第个数的舍入误差，则|210.90.95,100.510449n n -<≈Φ-≈∴Φ=⇒=最多可有441个数相加使得误差总和的绝对值小于的概率不小于，3003001(1)() 1.29,()0.0489.300 1.29{400} 3.39}1(3.39)=0.(2)~(300,0.2),()60,()484.{00.i i i i i i X E X D X X P X P Y Y B E Y D Y P ===-⨯>=>≈=-Φ==∑∑答解：设随机变量为出售一只蛋糕的收入，则设出；收入至少元的概率几乎为售1.2元的蛋0糕数量为，则6060}{0}(0)1.2600.0.548 5.Y Y P ->=>=Φ=答售出价格为元的蛋糕多于只的概率：3. 总体2(,)N μσ，在该总体中抽取一个容量为n =16的样本1216(,,)X X X 。

求：（1）22211{()2}2n i i P X n σμσ=≤-≤∑； （2）22211{()2}2n i i P X X n σσ=≤-≤∑。

,222122222112222212211()~(16)11{()2}{8()32}0.950.010.942(1)1~(1),()11{8()32}0.920.0050.915ni i n ni i i i n i i n i i X P X P X n n S n S X X n P X X μχσσμσμσχσσ=====-∴≤-≤=≤-≤=-=--=--∴≤-≤=-=∑∑∑∑∑解：其中概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第七章 参数估计（一）一、选择题：1．矩估计必然是 [ C ] （A ）无偏估计 （B ）总体矩的函数 （C ）样本矩的函数 （D ）极大似然估计 2．设12,X X 是正态总体(,1)N μ的容量为2的样本，μ为未知参数，μ的无偏估计是 [ D ] （A ）122433X X + （B ）121244X X + （C ）123144X X - （D ）122355X X + 3．设某钢珠直径X 服从正态总体(,1)N μ（单位：mm ），其中μ为未知参数，从刚生产的一大堆钢珠抽出9个，求的样本均值31.06X =，样本方差2290.98S =，则μ的极大似然估计值为 [ A ]（A ）31.06 （B ）(31.06-0.98 , 31.06 + 0.98) （C ）0.98 （D ）9×31.06 二、填空题：1．如果1ˆθ与2ˆθ都是总体未知参数θ的估计量，称1ˆθ比2ˆθ有效，则1ˆθ与2ˆθ的期望与方差一定满 足2．设样本1230.5,0.5,0.2x x x ===来自总体1~(,)X f x xθθθ-=，用最大似然法估计参数θ时，似然函数为()L θ=3．假设总体X 服从正态分布212(,),,,(1)n N X X X n μσ>为X 的样本，12211()n i i i C X X σ-+==-∑是2σ的一个无偏估计，则C = 三、计算题：1．设总体X 具有分布律，其中(01)θθ<<为未知参数，已知取得了样本值1231,2,1x x x ===，试求θ1212ˆˆˆˆ()(),()()E E D D θθθθ=<31123()x x x θθ-12n()12355641,2,1()2122.5()2(56)0.656x x x L L θθθθθθθθθθ====-=-'=-=⇒=解：当样本的最大似取然时，似然函数为所估计值以。

2．设12,,,n X X X 是来自于总体10~()0x X f x θθ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它(0)θ>的样本,试求：（1）θ的一个无偏估计1θ；（2）θ的极大似然估计2.θ3．设总体X 的概率密度为(1)01()0x x f x θθ⎧+<<=⎨⎩其它，其中1θ>-是未知参数，12,,,nX X X 为一个样本，试求参数θ的矩估计量和最大似然估计量。

*4. 设12,,,n x x x 为来自正态总体20(,)N μσ的简单随机样本，其中0μ已知，2σ>0未知，X 和S 2分别表示样本均值和样本方差。

（1）求2σ的极大似然估计2σ；（2），计算22E D σσ和。

(考研题 2002) 1111ˆ(1)(),2,221ˆ(2)2()2.22(2),,(;,,),0,1,,;,,( ,,112n nn i n n i X E X X X E X E X X n x x L x x x i n L L x x x i θθθθθθθθθθθθθθθ--=∴=⇒===⋅⋅=∴=⋯=<≤=⋯==解：总体服从均匀分布，是的无偏估计。

设为样本的一组观测值，于是似然函数为：显然是的一个单值递减函数.要使（）达到极大，就要使达到最小，但不能小于每一个212,),ˆmax{,,,}3n n x x x θθ⋯=所以的极大似然估计量为：11100121111121ˆ()(1)(1)..()221,,,()(1)()(ln ())ln ()ln(1)(ln ),ln 01ˆ=ln n n n i i n nii i i iX E X xx dx x x dx X X X X X L x d L n L n x x d n x θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ+===++-=+=+=∴=⇒=++-=+=++=+=+-⎰⎰∏∑∑解：矩估计法设样本的极大似然估计函数为：取对数求导得所以的极大似然估计量为11.()ni =-∑极大似然估计法22221()()222221122212222224112,,(,;,)(2)()ln ln(2),22ln 111ˆ()0,()221ˆ()((1n i i i i n x x n n n i n i i nn i i i i x x L x x e x L L n x x X B n E E X n μμσσμσπσμπσσμσσσσσ=-----====⋯∑⋯==-=--∂=-+-==-=∂=∑∑∑解：设为样本的一组观测值，于是似然函数为：，两边取对数 22222222112422111))(()())(()()).ˆˆˆ()()()......n ni i i n X E X nE X n n n n n n D E E σσμμσσσσ==--=-=+-+==-=∑∑概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第七章 参数估计（二）一、选择题：1．设总体X 服从正态分布2~(,)X N μσ，其中μ未知,2σ已知，12,,,n X X X 为样本，11ni i X X n ==∑，则μ的置信水平为0.95的置信区间是 [ D ]（A）0.950.95(,X Z X Z -+ （B）0.050.05(,X Z X Z -+（C）0.9750.975(,X Z X Z -+ （D）0.0250.025(,X Z X Z -+2．设总体2~(,)X N μσ，对参数μ或2σ进行区间估计时，不能采用的样本函数有 [ D ]（AX （BX （C ）21ni i X X σ=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ （D ）1n X X -二、计算题：1．设总体X 的方差为2)3.0(，根据来自X 的容量为5的简单随机样本，测得样本均值为21.8，求X 的数学期望的置信度为0.95的置信区间。

2．设冷抽铜丝的折断力服从正态分布2~(,)X N μσ，从一批铜丝任取10根，测得折断力如下：578、572、570、568、572、570、570、596、584、572，求方差2σ的0.90的置信区间。