当前位置:
文档之家› 导数的四则运算法则ppt课件
导数的四则运算法则ppt课件
5
2、由定义求导数(三步法)
步骤:
(1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
(2) 算比值 y f ( x x) f ( x);
x
x
(3) 当x 0, y 常数 x
6
3.巩固练习:利用导数定义求 y x2 x
的导数.
(x2 x) 2x 1
f (x) x2 g(x) x
f (x x) f) g(x x) g(x)
x
x
f (x x) f (x) g(x x) g(x)
x
x
f (x) g(x) 8
同理可证 : y ' ( f g) ' f ' g '
二、知识新授
21
课后作业:课本第21页 A组 2 ; B组 3.
22
18x2 8x 9
17
3. y x2 的导数 sin x
解:y'
(x2 )'
sin x x2 sin 2 x
(sin
x)'
2x sin x x2 cos x sin 2 x
18
例5:求曲线y=x3+3x-8在x=2处的切 线的方程.(备选)
解 : f (x) (x3 3x 8) 3x2 3, k f (2) 3 22 3 15, 又 切 线 过 点(2,6), 切 线 方 程 为: y 6 15(x 2), 即 :15x y 24 0.
例3.求y=sin2x的导数。
解:y′=(2sinxcosx) ′ =2(cosx·cosx-sinx·sinx) =2cos2x.
13
法则3 :两个函数的商的导数,等于分子的 导数与分母的积,减去分母的导数与分子 的积,再除以分母的平方,即:
[ f (x)] g(x)
f (x)g(x) f (x)g(x) g 2 ( x)
法则1: 两个函数的和(或差)的导数, 等于这两个函数的导数的和(或差),即:
[ f (x) g(x)] f (x) g(x).
这个法则可以推广到任意有限个函数, 即
( f1 f2 L fn ) ' f1 ' f2 'L fn '
9
例1. (1)求函数f (x) x2 sin x的导数.
1
学习目标:
1.理解两函数的和(或差)的导数法则, 会求一些函数的导数.
2.理解两函数的积(或商)的导数法则, 会求一些函数的导数
2
教学重难点
教学重点:
导数公式和导数的四则运算法则。
教学难点:
灵活地运用导数的四则运算法则进 行相关计算
3
一、复习回顾 1、基本求导公式:
C 0(C为常数);
xn nxn1 n N
解:f (x) (x2 sin x)
(x2 ) (sin x) 2x cosx
(2)求函数g(x) x3 3 x2 6x 2的导数. 2
解:g(x) (x3 3 x2 6x) 2
(x3) ( 3 x2 ) (6x) 3x2 3x 6
2
10
法则2:两个函数的积的导数,等于第一 个函数的导数乘以第二个函数加上第一个 函数乘以第二个函数的导数.即:
(loga
x)
x
1 ln
a
;
(ax ) ax lna;
(sin x) cos x;
(x ) x1(为实数); (ln x) 1 ;
x (ex ) ex; (cos x) sin x;
4
注意:关于a x和xa 是两个不同
的函数,例如:
(1)(3x ) 3x ln 3
(2)( x3) 3x2
解: y (2x3 3x2 5x 4) 6x2 6x 5
16
2. 用两种方法求y (2x2 3)(3x 2) 的导数
解:法一:y (2x2 3)(3x 2) (2x2 3)(3x 2)
4x(3x 2) (2x2 3) 3
18x2 8x 9
法二:y (6x3 4x2 9x 6)
f (x) g(x) x2 x
结论:(x2 x) (x2 ) (x).
猜想:[ f (x) g(x)] f (x) g(x)
7
证明猜想 f (x) g(x) f (x) g(x).
证明:令 y f (x) g(x).
y f (x x) g(x x)f (x) g(x)
[ f (x)g(x)] f (x)g(x) f (x)g(x).
11
有上述法则立即可以得出:
[Cf (x)] Cf (x).(C为常数)
即,常数与函数之积的导数,等 于常数乘以函数的导数。
12
例2.求y=xsinx的导数。 解:y′=(x·sinx) ′ =x′·sinx+x·(sinx) ′ =sinx+xcosx.
求函数的导数要准确把函数分割为基本函数 的和、差、积、商,再利用运算法则求导数.在 求导过程中,要仔细分析出函数解析式的结构 特征,根据导数运算法则,联系基本函数的导 数公式.对于不具备导数运算法则结构形式的 要适当恒等变形,转化为较易求导的结构形 式,再求导数,进而解决一些切线斜率、瞬时 速度等问题.
19
1.导数的四则运算法则是什么? 2.几个常用的函数的导数是什么?
y c(c是常数), y x (为实数),
y ax (a 0, a 1), y loga x(a 0, a 1), y sin x, y cosx, y tan x, y cot x.
20
3.导数应用的注意事项:
其中g(x) 0
提示: 积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导,
但积法则中间是加号, 商法则中间是减号.
14
例4.求y=tanx的导数。
解:y′= ( sin x ) ' cos x
cos
x
cos x cos2
sin x
x
sin
x
1 cos2
x
15
1.求y 2x3 3x2 5x 4的导数