正态分布和肥尾分布
幂律：正态分布的代替
• 在分析很多市场变量的收 益行为时，幂律似乎要比 正态分布更好（Prob(v > x) =
a Kx ）
对应于汇率增量的log-log图
估计波动率的标准方法
• 定义 n 为第n-1天所估计
1 的市场变量在第 n 天的波 (u u ) m 1 i 1 1 m u un i m i 1
可得
1 e aT (T ) 252 VL (V (0) VL ) aT
• 估计一个期限为T天的期权
1 a ln a
波动率期限结构
• GARCH（1，1）模型允许 我们预测波动率期限结构
1 e aT (0) (0) aT (T )
2 i
的正态分布的方差 or:
This gives: ui2 ln(v ) v i 1 1 n 2 v ui n i 1
GARCH（1，1）的应用
• 选择参数，最大化下式 u
ln(v ) v
i 1 n 2 i i

i

日元汇率数据的计算
a
i 1
m
i
1
ARCH（m）模型
• 在 ARCH （ m ）模型中，我 V a u
2 n L

i 1
m
2 i n i
们也给长期平均方差 VL一 a 1
m i 1 i
个权重γ
指数加权移动平均模型 （EWMA） • 要避免由于简单移动平均导 致的缺陷，最简单的方法是 (1 )u
型）族的核心思想。
• EWMA属于GARCH模型的一个特 例。GARCH模型族假设收益率
GARCH（1，1）模型
•在 1，1）中，我 GARCH V au （
2 n L 2 n1 2 n1
a 1 们赋予长期平均方差一定
的权重 au
2 n
2 n 1
的改变 • 当σ(0)的变化量为Δσ(0)，
最大似然估计法
• 选择合适的参数使得数据 发生的几率达到最大
例
• 随机抽取某一天10只股票 的价格，我们发现一只股 票价格在这一天价格下降 了，而其它9只股票的价格
例
• 估计一个变量服从均值为 0 1 u Maximize: exp

i 1 n n
2 v
2 v
GARCH（p，q）
2 2 n2 ai un j n j i i 1 j 型已 被提出 • 比如，我们可以设计一个 GARCH模型，使其赋予
2 ui
方差目标
• 一种估计GARCH（1，1） 参数的很好方法是所谓的 方差目标 • 将长期平均方差设定为由
2 n 2 n1 2 n1
对近期的数据赋予更高的权 重。这是指数加权移动平均 法（EWMA）背后的基本思
EWMA的诱人之处
• 需要的数据相对较少 • 仅需记忆对当前波动率的 估计以及市场变量的最新 观察值
CWMA与GARCH
• 运用EWMA估计的市场波动率
并不是常数，这正是广义自回 归条件异方差模型（GARCH模
2 n 1
VL 1a
例10.8
• 假设 0.000002 0.13u
2 n
2 n1
2 0.86 n 1
• 每天长期平均方差为
0.000002 0.13 0.0001 0.86 0.000256 0.00023336
0.0002，对应的波动率为
252
隐含波动率
• 期权公式中唯一不能直接 观察到的一个参数就是股
c S0N (d1 ) Ke rT N (d 2 )
票价格的波动率 ln(S / K ) (r / 2)T d
2 0 1
p Ke rT N ( d 2 ) S0N ( d1 )
• 隐含波动率是将市场上的
汇率的日变化量是否服从正态分 布
标准 现实世 正态模 差的 界 (%) 型 (%) 天数 >1 SD 25.04 31.73 >2SD 5.27 4.55 >3SD 1.34 0.27
肥尾分布
• 证券的收益率。 从图形上说，
较正态分布图的尾部要厚， 峰处要尖。是大概率的小规
模事件与小概率的大规模事 件并存的一种状态。
波动率的定义
• 某个变量的波动率σ定义 为这一变量在单位时间内
T 连续复利收益率的标准差
• 定义Si 为变量在时间 i 的值，
交易天数与日历天数
• 研究表明，交易所开盘交 易时的波动率比关闭时的
year day 252
day
year
波动率要大很多，因此， 当由历史数据估计波动率
2 n m n i
动率
• 定义 Si 为市场变量在第 i
简化形式
• 定义 ui = (Si−Si-1)/Si-1 • 假设 u 期望为0
1 m 2 uni m i 1 i
2 n
• 用 m 代替 m-1
加权权重的格式
• 对等权重进行改进 a u
2 n m i 1 2 i n i
T ln(S0 / K ) (r 2 / 2)T d2 d1 T T
VIX指数
• VIX指数是S&P500指数的波 动率指数
VIX指数
• VIX 是芝加哥期权期货交易所
使用的市场波动性指数。通过 该指数，可以了解到市场对未
来30天市场波动性的预期。
• VIX由CBOT（芝加哥期权期货交
第i 天
Si
ui
-ln v i vi =si2 2 ui /vi
0.0077 1 28 0.0077 0.006 2 79 599
1988~1997年日元日波动率
未来波动率的预测
• 经过一系列的代数过程， E V (a ) ( V )
2 n t t L 2 n L