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第7章 线性变换

第7章 线性变换§1 线性变换的定义线性空间V 到自身的映射,通常叫做V 的一个变换,现在讨论的线性变换是线性空间的最简单也是最重要的一种变换。

一、线性变换的定义定义7.1 设V 为线性空间,若对于V 中的任一向量α,按照一定的对应规则T ,总有V 中的一个确定的向量β与之对应,则这个对应规则T 称为线性空间V 中的一个变换,记为βα=)(T 或 )(,V T ∈=αβα,β称为α的象,α称为β的原象。

象的全体所构成的集合称为象集,记作T (V ),即T (V )={}V T ∈=ααβ|)(。

由此定义可见,变换类似于微积分中的函数,不过微积分中的函数是两个实数集合间的对应,而这里的变换则是线性空间中的向量与向量之间的对应。

定义7.2 线性空间V 中的变换T ,若满足条件(1) 对任意V ∈βα,有(2) )()()(βαβαT T T +=+;(3) 对任意V ∈α及数域P 中任意数k 有)()(ααkT k T =,则称变换T 为V 中的线性变换。

例7.1 线性空间V 中的恒等变换或称单位变换E ,即E )()(V ∈=ααα 以及零变换ℴ,即ℴ)(0)(V ∈=αα都是线性变换.例7.2 设V 是数域P 上的线性空间,k 是P 中的某个数,定义V 的变换如下: V k ∈→ααα,.这是一个线性变换,称为由数k 决定的数乘变换,可用K 表示.显然当1=k时,便得恒等变换,当0=k 时,便得零变换.例7.3 在线性空间][x P 或者n x P ][中,求微商是一个线性变换.这个变换通常用D 代表,即 D ()(x f )=)(x f '.例7.4 定义在闭区间[]b a ,上的全体连续函数组成实数域上一线性空间,以),(b a C 代表.在这个空间中变换ℐ()(x f )=⎰xadt t f )( 是一线性变换.例7.5 在3R 中,定义下列变换:对任意的∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x 3R ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛T 1321321x x x x x x x ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T 3321101x x x x ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛T 2332213212x x x x x x x x试确定它们是否为线性变换?解 对任意的∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321,y y y x x x 3R 和数∈k R ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++T =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T 1321132111332211332211321321)(y y y y x x x x y x y x y x y x y x yx y x y y y x x x=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T 321321y y y x x x ;⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T 32113211321321321x x x k x x x x k kx kx kx kx kx kx kx x x x k 。

故T 是线性变换;⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++T =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T 333322111321321101y x y x y x y x y y y x x x ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T 333332113211020101y x y x y y y x x x 。

上两式不等,故1T 不是线性变换。

同理可验证2T 也不是线性变换。

(也可取特殊的向量来验证不是线性变换)二、线性变换的性质命题7.1 设V 是n 维线性空间,T 是V 的一个线性变换,则有:(1))()(,0)0(ααT -=-T =T ;(2)线性变换保持线性组合与线性关系式不变.即 )()()()(22112211m m m m k k k k k k ααααααT ++T +T =+++T ;(3)若m a a a ,,,21 线性相关,则)(,),(),(21m αααT T T 也线性相关。

证明 此命题的证明请读者自己证之。

注意命题7.1(3)的逆命题是不成立的。

即若m a a a ,,,21 线性无关,则)(,),(),(21m αααT T T 不一定线性无关。

(如前面的微分变换)§2 线性变换的运算一、线性变换的乘法设A,B 是线性空间V 的两个线性变换,定义它们的乘积为.(AB )(α)= A,(B (α)) (V ∈α).则线性变换的乘积也是线性变换.(自己验证)线性变换的乘法适合结合律,即(AB)C=A(BC).但线性变换的乘法不适合交换律.例如,在实数域上的线性空间中,线性变换D ()(x f )=)(x f '. ℐ()(x f )=⎰xadt t f )( 的乘积D ℐ=ℰ,但一般ℐD ≠ℰ.对于任意线性变换A ,都有A ℰ=ℰA = A .二、线性变换的加法设A,B 是线性空间V 的两个线性变换,定义它们的和A+B 为(A+B )(α)= A (α)+B (α) (V ∈α).则线性变换的和还是线性变换(自己验证).线性变换的加法适合结合律与交换律,即A+(B+C)=(A+B)+C .A+B=B+A .对于加法,零变换ℴ与所有线性变换A 的和仍等于A :A +ℴ=A .对于每个线性变换A ,可以定义它的负变换(-A ): (-A )(α)=- A (α) (V ∈α).则负变换(-A )也是线性变换,且A +(-A )=ℴ.线性变换的乘法对加法有左右分配律,即A(B+C)=AB+AC ,(B+C)A=BA+CA.三、线性变换的数量乘法数域P 中的数与线性变换A 的数量乘法定义为 k A =KA即k A (α)=K (A (α))=KA (α),当然A 还是线性变换.线性变换的数量乘法适合以下的规律:)(kl A =k (l A ),)(l k +A =k A +l A , k (A+B )=k A +k B , 1A =A .线性空间V 上全体线性变换,对于如上定义的加法与数量乘法,也构成数域P 上一个线性空间.V 的变换A 称为可逆的,如果有V 的变换B 存在,使AB=BA=E .这时,变换B 称为A 的逆变换,记为A 1-.如果线性变换A 是可逆的,那么它的逆变换A 1-也是线性变换.既然线性变换的乘法满足结合律,当若干个线性变换A 重复相乘时,其最终结果是完全确定的,与乘法的结合方法无关.因此当n 个(n 是正整数)线性变换A 相乘时,就可以用个n A AA来表示,称为A 的n 次幂,简记为A n .作为定义,令A 0= E .根据线性变换幂的定义,可以推出指数法则:A n m +=A m A n ,(A m )n =Am n )0,(≥n m 当线性变换A 可逆时,定义A 的负整数幂为 A n -=(A 1-)n (n 是正整数).值得注意的是,线性变换乘积的指数法则不成立,即一般说来(AB )n ≠A n B n .设 011)(a x a x a x f m m m m +++=--是][x P 中一多项式,A 是V 的一个线性变换,定义f (A )=m a A m +1-m a A 1-m +…+0a E显然f (A )是一线性变换,它称为线性变换A 的多项式.不难验证,f (A )g ( A )=g ( A )f ( A ).即同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的.例 在线性空间n P ][λ中,求微商是一个线性变换,用D 表示.显然有D=n ℴ.其次,变换的平移 P a a f f ∈+→)()(λλ也是一个线性变换,用ℐa 表示.根据泰勒展开式)()!1()(!2)()()()1(12λλλλλ---++''+'+=+n n f n a f a f a f a f ,因之ℐa 实质上是D 的多项式:ℐa =ℰ+a D +!22a D 2+…+)!1(1--n a n D 1-n . §3 线性变换和矩阵一、线性变换关于基的矩阵设V 是数域P 上n 维线性空间.n εεε,,,21 V 的一组基,现在建立线性变换与矩阵关系.空间V 中任意一个向量ξ可以被基n εεε,,,21 线性表出,即有关系式n n x x x εεεξ+++= 2211 (1)其中系数是唯一确定的,它们就是ξ在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性关系不变,因而在ξ的像A ξ与基的像A 1ε,A 2ε,…,A n ε之间也必然有相同的关系:A ξ=A (n n x x x εεε+++ 2211)=1x A (1ε)+2x A (2ε)+…+n x A (n ε) (2)上式表明,如果知道了基n εεε,,,21 的像,那么线性空间中任意一个向量ξ的像也就知道了,或者说1. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基,如果线性变换A 与ℬ在这组基上的作用相同,即A i ε=B i ε,,,,2,1n i =那么A = B .结论1的意义就是,一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出,基向量的像却完全可以是任意的,也就是2. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基,对于任意一组向量n ααα,,,21 一定有一个线性变换A 使A i ε=i α .,,2,1n i =定理1 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基,n ααα,,,21 是V 中任意n 个向量.存在唯一的线性变换A 使A i ε=i α .,,2,1n i =定义2 设n εεε,,,21 是数域P 上n 维线性空间V 的一组基,A 是V 中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=.,,22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a A a a a A a a a A εεεεεεεεεεεε 用矩阵表示就是A (n εεε,,,21 )=(A (1ε),A (2ε),…, A (n ε))=A n ),,,(21εεε (5) 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nnn n n n a a a a a a a a a A 212222111211 矩阵A 称为线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵. 例1 在4][x R 中,取基1,,,432231====ααααx x x 求微分运算D 的矩阵。

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