第 7章 线性变换7、1知识点归纳与要点解析一.线性变换的概念与判别 1、线性变换的定义数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换,如果对V 中任意的元素,αβ与数域P 中的任意数k ,都有:()()()σαβσασβ+=+,()()k k σασα=。

注:V 的线性变换就就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。

2、线性变换的判别设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换,那么:σ为V 的线性变换⇔()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+∀∈∀∈ 3、线性变换的性质设V 就是数域P 上的线性空间,σ为V 的线性变换,12s ,,,,V αααα∀∈L 。

性质1、 ()()00,σσαα==-;性质2、 若12s ,,,αααL 线性相关,那么()()()12s ,,,σασασαL 也线性相关。

性质3、 设线性变换σ为单射,如果12s ,,,αααL 线性无关,那么()()()12s ,,,σασασαL也线性无关。

注:设V 就是数域P 上的线性空间,12,,,m βββL ,12,,,s γγγL 就是V 中的两个向量组, 如果:11111221221122221122s s s sm m m ms sc c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=+++L L LL LL记:()()1121112222121212,,,,,,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭L LL L M M M L于就是,若()dim V n =,12,,,n αααL 就是V 的一组基,σ就是V 的线性变换,12,,,m βββL 就是V 中任意一组向量,如果:()()()11111221221122221122n n n n m m m mn nb b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=+++L L LLLL记:()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ=L L那么:()()1121112222121212,,,,,,m m m n n n mn b b c b b c b b c σβββααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭L L L L M M M L设112111222212m m n n mn b b c b b c B b b c ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭L LM M M L,12,,,m ηηηL 就是矩阵B 的列向量组,如果12,,,r i i i ηηηL 就是12,,,m ηηηL 的一个极大线性无关组,那么()()()12,r i i i σβσβσβL 就就是()()()12,m σβσβσβL 的一个极大线性无关组,因此向量组()()()12,m σβσβσβL 的秩等于秩()B 。

4、 线性变换举例(1)设V 就是数域P 上的任一线性空间。

零变换: ()00,V αα=∀∈; 恒等变换:(),V εααα=∀∈。

幂零线性变换:设σ就是数域P 上的线性空间V 的线性变换,如果存在正整数m ,使得σ=m0,就称σ为幂零变换。

幂等变换:设σ就是数域P 上的线性空间V 的线性变换,如果2σσ=,就称σ为幂等变换。

(2)nV P =,任意取定数域P 上的一个n 级方阵A ,令:111222n n n n x x x x x x A ,P x x x σ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=∀∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭M M M 。

(3)[]V P x =,()()()()[]D f x f x ,f x P x '=∀∈。

(4)n nV P⨯=,()ij A a =就是V 中一固定矩阵,()n n X AX ,X P τ⨯=∀∈。

二.线性变换的运算、矩阵 1、 加法、乘法、数量乘法(1) 定义: 设V 就是数域P 上的线性空间,,στ就是V 的两个线性变换,定义它们的与στ+、乘积στ分别为:对任意的V α∈()()()()στασατα+=+,()()()()σταστα=任取k P ∈,定义数量乘积k σ为:对任意的V α∈()()()k k σασα=σ的负变换-σ为:对任意的V α∈()()()-=-σασα则στ+、στ、k σ与-σ都就是V 的线性变换。

(2)()L V ={σσ为V 的线性变换},按线性变换的加法与数乘运算做成数域P 上的维线性空间。

2、 线性变换的矩阵(1)定义:设V 就是数域P 上的n 维线性空间,σ就是V 的线性变换,12,,,n αααL 就是V的一组基,如果:()()()11111221221122221122n n n n n n n nn na a a a a a a a a σαααασαααασαααα=+++=+++=+++L L LLLL那么称矩阵112111222212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪=⎪⎪⎝⎭LL M M M L为线性变换σ在基12,,,n αααL 下的矩阵。

此时:()()()()()()121212,,,,,,,n nnA σααασασασαααα==L L L(2)线性变换的与、乘积、数量乘积、逆变换、负变换及线性变换多项式的矩阵:设12,,,n αααL 就是数域P 上的n 维线性空间V 的一组基,(),L V στ∀∈,设 它们在12,,,n αααL 下的矩阵分别为A,B 。

1)():n n f L V P ⨯→,A σa 就是数域P 上的线性空间()L V 到数域P 上的线性空间n n P ⨯的同构映射,因此()n n L V P ⨯≅。

2)σ可逆⇔A 可逆3)①στ+、στ与-σ在基12,,,n αααL 下的矩阵分别为A B,AB +与A -; ② 任取k P ∈,k σ在基12,,,n αααL 下的矩阵为kA ; ③ 若σ为可逆线性变换,则1σ-在基12,,,n αααL 下的矩阵为1A -;④ 设()1110mm m m f x a x a xa x a --=++++L 为数域P 上的任一多项式,那么()1110m m m m f a a a a σσσσε--=++++L (ε为V 的恒等变换)在基12,,,n αααL 下的矩阵为:()1110m m m m n f A a A a A a A a E --=++++L 。

三.特征值、特征向量与对角矩阵1、 矩阵的特征值与特征向量(1)矩阵的特征多项式:设A 为n 级复方阵,将多项式()λλ=-A n f E A 称为A 的特征多项式。

注: 1)若()ijnnA a =,则:()()()()1112211λλλλ-=-=+-+++++-L L nn n A n nn f E A a a a A()()()11tr 1λλ-=+-++-L nn n A A2) 将λ-n E A 称为矩阵A 的特征矩阵,0λ-=n E A 称为矩阵A 的特征方程。

(2) 定义:n 级方阵A 的特征多项式()λλ=-A n f E A 在复数域上的所有根都叫做其特征值(根),设0λ∈C 就是A 的特征值,齐次线性方程组()0λ-=n E A X 的每个非零解都叫做矩阵A 的属于其特征值0λ的特征向量。

(3)求法:1)求()λλ=-A n f E A 在复数域上的所有根12λλλL n ,,,(重根按重数计算);2)对()1λ=L k k ,n 解齐次线性方程组()0λ-=k n E A X ,得其一个基础解系12,,,,ηηηL kk k k l (=-k l n 秩()λ-k n E A ),则矩阵A 的属于特征值λk 的全部特征向量为1122,,ηηη+++L k k k k k k k l k l s s s ,其中12,,,,L k k k k l s s s 为不全为零的任意常数(复数)。

(4) 重要结论:1)设0λ∈C 就是A 的特征值,0X 就是A 的属于其特征值0λ的特征向量,()g x 为一复系数多项式。

① ()0λg 为()g A 的特征值,0X 为()g A 的属于特征值()0λg 的特征向量; ② 如果A 还就是可逆矩阵,那么1λ与λA分别为1-A 与*A 的特征值,0X 为1-A 的属于特征值1λ的特征向量,0X 为*A 的属于特征值λA的特征向量,③ 若12λλλL n ,,,就是矩阵A 的全部特征值,那么()()()12λλλL n g ,g ,,g 就就是()g A 的全部特征值,如果A 还就是可逆矩阵,则12111λλλL n,,,为1-A 的全部特征值,12λλλL nA A A,,,为*A 的全部特征值;2)若12λλλL n,,,就是矩阵A 的全部特征值,那么()12tr λλλ=+++L n A ,12λλλ=L n A 。

2、 线性变换的特征值与特征向量(1)定义:设σ就是数域P 上的线性空间V 的线性变换,0λ∈P ,若存在0α≠∈V ,使得()0σαλα=,就称0λ为σ的一个特征值,α为σ的一个属于特征值0λ的特征向量。

(2)线性变换的特征多项式设σ就是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换,任取V 的一组基12,,,n αααL ,设σ 在该基下的矩阵为A ,称矩阵为A 的特征多项式λ-n E A 为σ的特征多项式,记为()σλλ=-n f E A ,即线性变换的特征多项式为其在任意基下矩阵的特征多项式。

(3)求法:设σ就是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换。

1)取定V 的一组基12,,,n αααL ,求出σ在该基下的矩阵A ; 2)求()σλλ=-n f E A 在P 中的所有根12λλλLm ,,,(0≤≤m n ,重根按重数计算,且0=m 表示σ无特征值)。

3)若0>m ,对()1λ=L k t ,s 解齐次线性方程组()0λ-=k n E A X ,得其一个基础解系12,,,,ηηηL k k k k l (=-k l n 秩()λ-k n E A ),则线性变换σ的属于特征值λk 的全部特征向量为()()121122,,,,,αααηηη+++L L k k n k k k k k l k l s s s ,其中12,,,,L k k k k l s s s 为P 中不全为零的任意常数。

3、 矩阵相似(1)定义:设A,B 就是数域P 上的两个n 级方阵,如果存在数域P 上的n 级可逆矩阵T ,使得1-=T AT B ,就称矩阵A 相似于矩阵B ,记为:A B 。

(2)性质:1)矩阵相似就是等价关系,即:设A,B,C 都就是n 级方阵,那么:①:A A ; ② 若:A B ,那么:B A ;③ 若:A B 且:B C ,则:A C 。