第七章 线性变换3.在[]P x 中,()()f x f x '=A ,()()f x xf x =B ,证明:-=A B BA =E .『解题提示』直接根据变换的定义验证即可. 证明 任取()[]f x P x ∈,则有()()()()(())(())f x f x f x xf x f x '-=-=-=A B BA A B BA A B(())()()()xf x xf x f x f x ''=-==E ,于是-=A B BA =E .4.设,A B 是线性变换,如果-=A B BA =E ,证明:1,1k kk k k --=>A B BAA.『解题提示』利用数学归纳法进行证明.证明 当2k =时,由于-=A B BA =E ,可得22()()2-=-+-=A B BA A A B BA A B BA A A ,因此结论成立.假设当k s =时结论成立,即1sss s --=A B BAA.那么,当1k s =+时,有11()()(1)s s s s s s s s s s ++-=-+-=+=+AB BAA AB BA A B BA A A A A ,即对1k s =+结论也成立.从而,根据数学归纳法原理,对一切1>k 结论都成立. 『特别提醒』由0=AE 可知,结论对1k =也成立.5.证明:可逆映射是双射.『解题提示』只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可.证明 设A 是线性空间V 上的一个可逆变换.对于任意的,V ∈αβ,如果=αβA A ,那么,用1-A 作用左右两边,得到11()()--===ααββAA AA ,因此A 是单射;另外,对于任意的V ∈β,存在1V -=∈αβA ,使得1()-==αββA A A ,即A 是满射.于是A 是双射.『特别提醒』由此结论可知线性空间V 上的可逆映射A 是V 到自身的同构.6.设12,,,n L εεε是线性空间V 的一组基,A 是V 上的线性变换,证明A 可逆当且仅当12,,,n L εεεA A A 线性无关.证法1 若A 是可逆的线性变换,设1122n n k k k +++=0L A A A εεε,即1122()n n k k k +++=0L A εεε.而根据上一题结论可知A 是单射,故必有1122n n k k k +++=0L εεε,又由于12,,,n L εεε是线性无关的,因此120n k k k ====L .从而12,,,n L εεεA A A 线性无关.反之,若12,,,n L εεεA A A 是线性无关的,那么12,,,n L εεεA A A 也是V 的一组基.于是,根据教材中的定理1,存在唯一的线性变换B ,使得()i i =B A εε,1,2,,i n =L .显然()i i =BA εε,()i i =A B A A εε,1,2,,i n =L .再根据教材中的定理1知,==A B BA E .所以A 是可逆的.证法2 设A 在基12,,,n L εεε下的矩阵为A ,即121212(,,,)(,,,)(,,,)n n n ==L L L A A A A εεεεεεεεεA .由教材中的定理2可知,A 可逆的充要条件是矩阵A 可逆.因此,如果A 是可逆的,那么矩阵A 可逆,从而12,,,n L εεεA A A 也是V 的一组基,即是线性无关的.反之,如果12,,,n L εεεA A A 是线性无关,从而是V 的一组基,且A 是从基12,,,n L εεε到12,,,n L εεεA A A 的过渡矩阵,因此A 是可逆的.所以A 是可逆的线性变换.『方法技巧』方法1利用了上一题的结论及教材中的定理1构造A 的逆变换;方法2借助教材中的定理2,将线性变换A 可逆转化成了矩阵A 可逆.9.设三维线性空间V 上的线性变换A 在基123,,εεε下的矩阵为111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A . 1)求A 在基321,,εεε下的矩阵;2)求A 在基123,,k εεε下的矩阵,其中k P ∈且0k ≠;3)求A 在基1223,,+εεεε下的矩阵.『解题提示』可以利用定义直接写出线性变换的矩阵,也可以借助同一个线性变换在两组不同基下的矩阵是相似的进行求解.解 1)由于3131232333333232131a a a a a a =++=++A εεεεεεε, 2121222323323222121a a a a a a =++=++A εεεεεεε, 1111212313313212111a a a a a a =++=++A εεεεεεε.故A 在基321,,εεε下的矩阵为3332311232221131211a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B . 2)由于11112123131112123131a a a a a k a k =++=++A εεεεεεε,2121222323121222323k ka ka ka ka a k ka =++=++A εεεεεεε,31312323331312323331a a a a a k a k=++=++A εεεεεεε.故A 在基123,,k εεε下的矩阵为111213221222331323311a ka a a a a k k a ka a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B . 3)由于从123,,εεε到1223,,+εεεε的过渡矩阵为100110001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭X ,故A 在基1223,,+εεεε下的矩阵为1111213111212133212223211122122212231331323331323233100100110110001001a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪==-+--- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭B .『方法技巧』根据线性变换的矩阵的定义,直接给出了1)和2)所求的矩阵;3)借助了过渡矩阵,利用相似矩阵得到了所求矩阵.事实上,这三个题目都可以分别用两种方法求解.10.设A 是线性空间V 上的线性变换,如果1k -≠0A ξ,但k =0A ξ,求证:1,,,k -L A Aξξξ(0k >)线性无关.证明 由于k=0A ξ,故对于任意的非负整数i ,都有()k ii k +==0AA A ξξ.当0k >时,设112k n x x x -+++=0L A Aξξξ,用1k -A作用于上式,得11k x -=0Aξ,但1k -≠0Aξ,因此10x =.于是12k n x x -++=0L A Aξξ,再用2k -A作用上式,同样得到20x =.依此下去,可得120k x x x ====L .从而1,,,k -L A Aξξξ线性无关.16.证明:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλO21与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n i ii λλλO21 相似,其中n i i i ,,,21Λ是1,2,,n L 的一个排列.『解题提示』利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的或直接相似的定义. 证法1 设V 是一个n 维线性空间,且12,,,n L εεε是V 的一组基.另外,记12n λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭O A ,12n i ii λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭OB . 于是,在基12,,,n L εεε下,矩阵A 对应V 的一个线性变换A,即12121212(,,,)(,,,)(,,,)n n nn λλλ⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭L L L O εεεεεεεεεA A .从而i i i λ=εεA ,1,2,,i n =L .又因为12,,,n i i i K εεε也是V 的一组基,且12121212(,,,)(,,,)(,,,)n n n n i ii i i i i i i i i i λλλ⎛⎫ ⎪⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭K K K OεεεεεεεεεB A . 故A 与B 相似.证法2 设12n λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭O A 与 12n i ii λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭OB . 对A 交换,i j 两行,再交换,i j 两列,相当于对A 左乘和右乘初等矩阵1(,)(,)i j i j -=P P 和(,)i j P ,而1(,)(,)i j i j -P AP即为将A 中的i λ和j λ交换位置得到的对角矩阵.于是,总可以通过这样的一系列的对调变换,将A 的主对角线上的元素12,,,n λλλL 变成12,,,n i i i λλλL ,这也相当于存在一系列初等矩阵12,,,s L Q Q Q ,使得1112112s s ---=L L Q Q Q AQ Q Q B ,令12s =L Q Q Q Q ,则有1-=Q AQ B ,即A 与B 相似.『方法技巧』证法1利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的这一性质;证法2利用了矩阵的相似变换,直接进行了证明.17.如果A 可逆,证明AB 与BA 相似. 证明 由于A 可逆,故A1-存在.于是11()()--==A AB A A A BA BA ,因此,根据相似的定义可知AB 与BA 相似.19.求复数域上线性变换空间V 的线性变换A 的特征值与特征向量.已知A 在一组基下的矩阵为:1)3452⎛⎫= ⎪⎝⎭A ; 4)563101121-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ;5)001010100⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A .解 1)设A 在给定基1ε,2ε下的矩阵为A .由于A 的特征多项式为234|514(7)(2)52λλλλλλλ---==--=-+--E A ,故A 的特征值为17λ=,22λ=-.当17λ=时,方程组1()λ-=0E A X ,即为1212440,550.x x x x -=⎧⎨-+=⎩ 解得它的基础解系为⎪⎪⎭⎫⎝⎛11.从而A 的属于特征值17λ=的全部特征向量为112k k =+ξεε,其中k 为任意非零常数.当22λ=-时,方程组2()λ-=0E A X ,即为1212540,540.x x x x --=⎧⎨--=⎩ 解得它的基础解系为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-54,从而A 的属于特征值22λ=-的全部特征响向量为 21245l l =-ξεε,其中l 为任意非零常数.4)设A 在给定基123,,εεε下的矩阵为A ,由于A 的特征多项式为56311(2)(11121λλλλλλλ---=-=---+--+E A ,故A 的特征值为12λ=,21λ=,31λ=当12λ=时, 方程组1()λ-0E A X =,即为1231231233630,20,230.x x x x x x x x x --+=⎧⎪+-=⎨⎪--+=⎩ 求得其基础解系为210-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭,故A 的属于特征值2的全部特征向量为111122k k =-+ξεε其中1k 为任意非零常数.当21λ=时, 方程组2()0λ-E A X =,即为123123123(4630,(10,2(20.x x x x x x x x x ⎧-+-+=⎪⎪++-=⎨⎪--+=⎪⎩ 求得其基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--3213,故A的属于特征值122122233(2k k k =-+ξεεε其中2k 为任意非零常数.当31λ=3()0λ-E A X =,即为123123123(4630,(10,2(20.x x x x x x x x x ⎧---+=⎪⎪+--=⎨⎪--+=⎪⎩ 求得其基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-3213,故A的属于特征值133132333(2k k k =-+ξεεε其中3k 为任意非零常数.5)设A 在给定基123,,εεε下的矩阵为A ,由于A 的特征多项式为20110(1)(1)1λλλλλλ--=-=-+-E A ,故A 的特征值为11λ=(二重),21λ=-.当11λ=时,方程组1()λ-0E A X =,即为13130,0.x x x x -=⎧⎨-+=⎩ 求得其基础解系为,101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,故A 的属于特征值1的全部特征向量为 1112213k k k ++ξ=εεε其中12,k k 为任意不全为零的常数.当21λ=-时,方程组2()0λ-E A X =,即为132130,20,0.x x x x x --=⎧⎪-=⎨⎪--=⎩ 求得其基础解系为101-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,故A 的属于特征值1-的全部特征向量为213l l +ξ=-εε,其中l 为任意非零常数.『方法技巧』求解一个线性变换的特征值即求其矩阵的特征多项式的根,再对每个根求得所对应的特征向量,但一定要注意表达成基向量的线性组合形式.24.1)设21,λλ是线性变换A 的两个不同特征值,12,εε是分别属于21,λλ的特征向量,证明:12+εε不是A 的特征向量;2)证明:如果线性空间V 的线性变换A 以V 中每个非零向量作为它的特征向量,那么A 是数乘变换.证明 1)反证法.假设12+εε是A 属于特征值λ的特征向量,即121212()()λλλ+=+=+A εεεεεε.而由题设可知111222,λλ==A A εεεε,且12λλ≠,故12121122()λλ+=+=+A A A εεεεεε.比较两个等式,得到1122()()λλλλ-+-=0εε.再根据12,εε是属于不同特征值的特征向量,从而是线性无关性,因此021=-=-λλλλ,即12λλ=.这与12λλ≠矛盾.所以12+εε不是A 的特征向量.2)设12,,,n L εεε是V 的一组基,则它们也是A 的n 个线性无关的特征向量,不妨设它们分别属于特征值12,,,n λλλL ,即i i i λ=A εε,1,2,,i n =L .根据1)即知12n λλλλ====L .否则,若12λλ≠,那么12+≠0εε,且不是A 的特征向量,这与V 中每个非零向量都是它的特征向量矛盾.所以,对于任意的V ∈α,都有λ=A αα,即A 是数乘变换.25.设V 是复数域上的n 维线性空间,,A B 是V 上的线性变换,且=A B BA .证明: 1)如果0λ是A 的一个特征值,那么0V λ是B 的不变子空间; 2),A B 至少有一个公共的特征向量.证明 1)设0V λ∈α,则0λ=A αα,于是,由题设知00()()()()()λλ=====A B A B BA B A B B αααααα,因此0V λ∈B α.根据不变子空间的定义即知,0V λ是B 的不变子空间.2)由1)可知0V λ是B 的不变子空间,若记00|V λ=B B ,则0B 是复数域上线性空间0λV 的一个线性变换,它必有特征值0μ及非零向量0V λ∈β,使得00μ==B B βββ,即β是B 的特征向量,从而β是A 和B 的公共特征向量.因此,,A B 存在公共的特征向量.。