第七章线性变换3．在P[x]中，Af(x)f(x)，Bf(x)xf(x)，证明：ABBA=E．『解题提示』直接根据变换的定义验证即可．证明任取f(x)P[x]，则有=(A BBA)f(x)ABf(x)BAf(x)A(xf(x))B(f(x))(xf(x))xf(x)f(x)Ef(x)，于是ABBA=E．4．设A,B是线性变换，如果ABBA=E，证明：kkk k1,k1ABBAA．『解题提示』利用数学归纳法进行证明．证明当k2时，由于ABBA=E，可得22()()2ABBAAABBAA B BAAA，因此结论成立．假设当ks时结论成立，即ssss1ABBAA．那么，当ks1时，有s1s1(s s)()ssss(s1)sABBAAABBAA B BAAAAA，即对ks1结论也成立．从而，根据数学归纳法原理，对一切k1结论都成立．『特别提醒』由AE可知，结论对k1也成立．5．证明：可逆映射是双射．『解题提示』只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可．1证明设A是线性空间V上的一个可逆变换．对于任意的,V，如果AA，那么，用A 作用左右两边，得到A AAA，因此A是单射；另外，对于任意的V，存在1()1()1()1()1V A，使得1AA(A)，即A是满射．于是A是双射．-1-『特别提醒』由此结论可知线性空间V上的可逆映射A是V到自身的同构．6．设1,2,,n是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换，证明A可逆当且仅当A1,A2,,A n线性无关．证法1若A是可逆的线性变换，设k AkAkA0，即1122nnA(kkk nn)0．1122而根据上一题结论可知A是单射，故必有k kk0，又由于1,2,,n是线性无关的，1122nn因此k1k2k n0．从而A1,A2,,A n线性无关．反之，若A1,A2,,A n是线性无关的，那么A AA也是V的一组基．于是，根据1,2,,n教材中的定理1，存在唯一的线性变换B，使得B(A i)i，i1,2,,n．显然BA(i)i，A B(A i)A i，i1,2,,n．再根据教材中的定理1知，ABBAE．所以A是可逆的．证法2设A在基1,2,,n下的矩阵为A，即A(,,,n)(A,A,,A n)(,,,n)A．121212由教材中的定理2可知，A可逆的充要条件是矩阵A可逆．因此，如果A是可逆的，那么矩阵A可逆，从而A1,A2,,A n也是V的一组基，即是线性无关的．反之，如果A AA是线性无关，从而是V的一组基，且A是从基1,2,,n到1,2,,nA1,A2,,A n的过渡矩阵，因此A是可逆的．所以A是可逆的线性变换．『方法技巧』方法1利用了上一题的结论及教材中的定理1构造A的逆变换；方法2借助教材中的定理2，将线性变换A可逆转化成了矩阵A可逆．9．设三维线性空间V上的线性变换A在基1,2,3下的矩阵为aaa111213A aaa．212223aaa3132331）求A在基3,2,1下的矩阵；-2-2）求A在基1,k2,3下的矩阵，其中kP且k0；3）求A在基12,2,3下的矩阵．『解题提示』可以利用定义直接写出线性变换的矩阵，也可以借助同一个线性变换在两组不同基下的矩阵是相似的进行求解．解1）由于A3a131a232a333a333a232a131，A2a121a222a323a323a222a121，A1a111a212a313a313a212a111．故A在基3,2,1下的矩阵为aaa333231B aaa．1232221aaa1312112）由于1Aaaaaaka，1111212313111212313kAkkakakakaakka，21212223231212223231Aaaaaaka．3131232333131232333k故A在基1,k2,3下的矩阵为akaa11121311B aaa．2212223kkakaa3132333）由于从1,2,3到12,2,3的过渡矩阵为100X110，001故A在基12,2,3下的矩阵为-3-1100aaa100aaaa11121311121213B110aaa110aaaaaaaa．32122232111221222122313001aaa001aaaa31323331323233『方法技巧』根据线性变换的矩阵的定义，直接给出了1）和2）所求的矩阵；3）借助了过渡矩阵，利用相似矩阵得到了所求矩阵．事实上，这三个题目都可以分别用两种方法求解．10．设A是线性空间V上的线性变换，如果k01A，但k0A，求证：,A,,Ak1（k0）线性无关．证明由于k0kiik0A，故对于任意的非负整数i，都有AA(A)．当k0时，设k1xxAxA0，12n用k1A作用于上式，得k1x A0，1但k10A，因此x10．于是k1xAxA0，2n再用k2A作用上式，同样得到x．依此下去，可得20x1x2x k0．从而k1,A,,A线性无关．16．证明：1 i 12与i 2n i n相似，其中i1,i2,,i是1,2,,n的一个排列．n『解题提示』利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的或直接相似的定义．证法1设V是一个n维线性空间，且1,2,,n是V的一组基．另外，记1 i 12 A，iB．2n in -4-于是，在基1,2,,n下，矩阵A对应V的一个线性变换A，即12A(,,,n)(,,,n)(,,,n)A．121212n从而A，i1,2,,n．又因为iii i1,i2,,i也是V的一组基，且ni1iA(,,,)(,,,)2(,,,)．iiiiiiiii12n12n12nBin故A与B相似．证法２设1 i 12 A与iB．2n in对A交换i,j两行，再交换i,j两列，相当于对A左乘和右乘初等矩阵1P(i,j)P(i,j)和P(i,j)，而1P(i,j)AP(i,j)即为将A中的i和j交换位置得到的对角矩阵．于是，总可以通过这样的一系列的对调变换，将A的主对角线上的元素1,2,,n变成i1,i2,,i，这也相当于存在一系列初等矩阵Q1,Q2,,Q s，使得n111QQQAQQQB，s2112s令QQQQ，则有12s1QAQB，即A与B相似．『方法技巧』证法１利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的这一性质；证法２利用了矩阵的相似变换，直接进行了证明．17．如果A可逆，证明AB与BA相似．证明由于A可逆，故A 1存在．于是AABAAABABA，1()(1)-5-因此，根据相似的定义可知AB与BA相似．19．求复数域上线性变换空间V的线性变换A的特征值与特征向量．已知A在一组基下的矩阵为：1）34A；4）52563A101；5）121001A010．100解1）设A在给定基1,2下的矩阵为A．由于A的特征多项式为342EA|514(7)(2)，52故A的特征值为17，22．当17时，方程组(1EA)X0，即为4x4x0,125x5x0.12解得它的基础解系为11．从而A的属于特征值17的全部特征向量为1k1k2，其中k为任意非零常数．当22时，方程组(2EA)X0，即为5x4x0,125x4x0.12解得它的基础解系为45 ，从而A的属于特征值22的全部特征响向量为24l15l2，其中l为任意非零常数．4）设A在给定基1,2,3下的矩阵为A，由于A的特征多项式为563EA11(2)(13)(13)，121故A的特征值为12，213，313．-6-当12时,方程组(1EA)X=0，即为3x6x3x0,123x2xx0,123x2x3x0.1232求得其基础解系为1，故A的属于特征值2的全部特征向量为12k11k12其中k1为任意非零常数．当213时,方程组(2EA)X=0，即为(43)x6x3x0,123x(13)xx0,123x2x(23)x0.1233求得其基础解系为1，故A的属于特征值13的全部特征向量为2323k21k22(23)k23其中k为任意非零常数．2当313时，方程组(3EA)X=0，即为(43)x6x3x0,123x(13)xx0,123x2x(23)x0.1233求得其基础解系为1，故A的属于特征值13的全部特征向量为2333k31k32(23)k33其中k3为任意非零常数．-7-5）设A在给定基1,2,3下的矩阵为A，由于A的特征多项式为012EA010(1)(1)，10故A的特征值为11（二重），21．当11时，方程组(1EA)X=0，即为0,xx130.xx1310求得其基础解系为,1，故A的属于特征值1的全部特征向量为101k11k22k13其中k1,k2为任意不全为零的常数．当21时，方程组(2EA)X=0，即为0,xx132x0,20.xx1310，故A的属于特征值1的全部特征向量为求得其基础解系为12l1l3，其中l为任意非零常数．『方法技巧』求解一个线性变换的特征值即求其矩阵的特征多项式的根，再对每个根求得所对应的特征向量，但一定要注意表达成基向量的线性组合形式．24．1）设1,2是线性变换A的两个不同特征值，1,2是分别属于1,2的特征向量，证明：12不是A的特征向量；2）证明：如果线性空间V的线性变换A以V中每个非零向量作为它的特征向量，那么A是数乘变换．-8-证明1）反证法．假设12是A属于特征值的特征向量，即A()()．121212而由题设可知A111,A222，且12，故A()AA．12121122比较两个等式，得到()()0．1122再根据1,2是属于不同特征值的特征向量，从而是线性无关性，因此120，即12．这与12矛盾．所以12不是A的特征向量．2）设1,2,,n是V的一组基，则它们也是A的n个线性无关的特征向量，不妨设它们分别属于特征值1,2,,n，即A，i1,2,,n．iii根据1）即知12n．否则，若12，那么120，且不是A的特征向量，这与V中每个非零向量都是它的特征向量矛盾．所以，对于任意的V，都有A，即A是数乘变换．25．设V是复数域上的n维线性空间，A,B是V上的线性变换，且ABBA．证明：1）如果0是A的一个特征值，那么V是B的不变子空间；2）A,B至少有一个公共的特征向量．证明1）设V，则A0，于是，由题设知A(B)(AB)(BA)B(A)B()B，00因此B V．根据不变子空间的定义即知，0 V是B的不变子空间．02）由1）可知V是B的不变子空间，若记0 B|V B，则B0是复数域上线性空间00V的一个线性变换，它必有特征值0及非零向量V，使得BB，00即是B的特征向量，从而是A和B的公共特征向量．因此，A,B存在公共的特征向量．-9-。