4 Nhomakorabea*
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例 3.4
已知系统由两个积分环 节组成，始端条件为
θ (0) = 1，ω (0) = 1；终端条件为 θ (1) = 0，ω (1) = 0。
1 1 2 求最优控制 u ( t )，使性能指标 J = ∫ u ( t )dt为极小值。 2 0 解：令 x1 ( t ) = θ ( t ), x 2 ( t ) = ω ( t )，则系统的状态方程为
2
泛函J取极值的必要条件为 : d Fx − Fx & = 0 dt d Fu − Fu & = 0 dt & = Ax + bu x ⇔ & 1 = x2 ⎧x ⎨ &2 = u ⎩x ⇔ d ⎧ &1 = 0 ⎪ Fx1 − dt Fx ⎨ d ⎪ Fx − Fx &2 = 0 2 dt ⎩
x1 (0) = 1, x 2 (0) = 1 x1 (1) = 0, x 2 (1) = 0
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⎡0 1⎤ ⎡ 0⎤ & = Ax + bu，A = ⎢ ，b = ⎢ ⎥ x ⎥ ⎣ 0 0⎦ ⎣1 ⎦ 引入待定拉格朗日乘子 λ ( t )，构造函数 1 2 & − Ax − bu) F = u ( t ) + λT ( t )( x 2 1 2 & 1 − x 2 ) + λ 2 ( t )( x & 2 − u) = u ( t ) + λ1 ( t )( x 2
3
由此得方程 & =0 ⎧ λ 1 ⎪λ & = −λ 2 1 ⎪ ⎪ ⎨u = λ2 ⎪x &1 = x2 ⎪ &2 = u ⎪ ⎩x 解得最优控制 u ( t ) = 18 t − 10
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最优轨线 x1 ( t ) = 3 t 3 − 5 t 2 + t + 1 x 2 ( t ) = 9 t 2 − 10 t + 1
tf t0 T
&,t) + λ [F ( x, x
T
& , t ) dt ( t )G ( x , x
]
( 3)
问题 3.3 中泛函 J取极值的必要条件为 : d Fx − Fx & = 0 dt &, t) = 0 G( x, x & , t ) = F ( x, x & , t ) + λT ( t )G ( x , x & , t )，λ ( t )为m 维待定的 其中F ( x , x 乘子函数向量。
3.4 等式约束下泛函的条件 极值 问题 3.3 求泛函 & , t )dt J＝∫ F ( x , x
t0 tf
(1) ( 2)
& , t ) = 0，t ∈ [t 0 , t f ] 在等式约束 G ( x , x
& , t )为m 维函数向量， x ( t )为n维 条件下的极值。其中 G ( x , x 函数向量标量， m < n。 引入拉格朗日乘子向量 λ ( t )＝[λ1 ( t ) λ 2 ( t ) L λ m ( t )] 构造泛函 J ′＝∫