江苏省2021届新高考模拟试题数 学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将答题卡交回。
第I 卷(选择题 共60分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共计40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上) 1.已知集合A={x|x 2<1}, 集合B= {x||og 2x<0}, 则A∩B 等于 A. (0,1)B. (-1,0)C. (-1,1)D.(-∞,1)2.复数21iz i−=+付应的点在复平面内位于 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 在△ABC 中,内角A, B, C 的对边分别是a, b,c,若223,sin C 23sin a b bc B −==,则A 等于.6A π.3B π2.3C π5.6D π 4. 已知*111,()(),n n n a a n a a n +==−∈N 则数列{a n }的通项公式是 A. a n =n2.n C a n =.21n D a n =−5. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数,且f(0)=0, 当x<0时, f(x)单调递增. 若实数a 满足|1|3(3)(3a f f −+>−则a 的取值范围是 31.(,)22A −−31.(,)(,)22B −∞−⋃−+∞42.(,)33C −−42.(,)(,)33D −∞−⋃−+∞6.已知函数()cos()(0,0f x A x A ωϕω=+>>||)2πϕ<的图象如图所示,若函数()() 1h x f x =+的两个不同零点分别为X 1, X 2,则|X 1-X 2|的最小值为2.3A π.2B π4.3C π D.π7.已知点O 是△ABC 内部一点,且满足0,OA OB OC ++=又23,AB AC BAC ⋅=∠=60°,则△OBC 的面积为2A B.3 C.1 D.28.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F,已知点A 和B 分别为抛物线上的两个动点.且满足∠AFB=120°,过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则MNAB 的最大值为B.1.3C3D二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共计20分.在每小题给出的四个选项中,至少有两个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上)9. “存在正整数n,使不等式(r (3)(5)lg (01)an lga n a a +>+<<成立”的一个充分条件是2.03A a <<2.13B a <<15.36C a <<25.36D a << 10. 在下列函数中,最小值是2的函数有221.()A f x x x =+1.()cos (0)cos 2B f x x x x π=+<< 2.()C f x =4.()332x x D f x =+−11.利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品,其中一等品有20件,合格品有70件,其余为不合格品,现在这个工厂随机抽查一件产品, 设事件A 为“是一等品”, B 为“是合格品”,C 为“是不合格品”,则下列结果正确的是7.()10A PB =9.()10B P A B +=C . P(AB)= 0D . P(A+ B)= P(C)12. 已知函数f(x)=xln x, 若0<x 1<x 2, 则下列结论正确的是()()2112. A x f x x f x <()()1122. B x f x x f x +<+1212()().0f x f x C x x −<−D . 当ln x>-1时,112221()()2()x f x x f x x f x +>第II 卷(非选择题 共90分)三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上) 13. 已知定义在R 上的奇函数,当x >0时, f (x) =log 2x -3x , 则f (-1)=____. 14.点A,B,C,D 在同一球面上,2AB BC AC === ,若球面的表面积为25,4π则四面体ABCD 体积的最大值为_______.15. 已知向量2((sin ,3), cos ),x cos x x =−=,m n 则函数3()2f x =+mn 的最小正周期___, 单调递增区间为_______(本题第一空2分,第二空3分)16. 设F 为双曲线C:22221(0,0)x y a b ba −=>>的右焦点,过F 且斜率为ab 的直线1与双曲线C 的两条渐近线分别交于A, B 两点,且||2||,AF BF =则双曲线C 的离心率为______.四、解答题(本大题共6小题,共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)在公差不为0的等差数列{a n }中,a 1, a 3, a 9成公比为a 3的等比数列,又数列{}n b 满足2,21,2,=2n n a n k b n n k=−⎧=⎨⎩*.k ∈N(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求数列{}n b 的前2n 项和2n T .在锐角△ABC 中, a, b, c 为内角A, B, C 的对边,且满足()2 0c a cos B bcosA −−=. (1)求角B 的大小;(2)已知c=2, AC 边上的高7BD =求△ABC 的面积.19.(本小题满分12分)如图,在长方体1111ABCD A B C D −中,AA 1=1,底面ABCD 的周长为4, E 为1BA 的中点. (1)判断两直线1EC 与AD 的位置关系,并给予证明;(2)当长方体,1111ABCD A B C D −的体积最大时,求直线1BA 与平面1ACD 所成的角θ.已知椭圆22221:1(0)a b x y C a b +=>>和椭圆222:12x y C +=的离心率相同,且点在椭圆1C 上.(1)求椭圆1C 的方程;(2)设P 为椭圆2C 上一点,过点P 作直线交椭圆1C 于A,C 两点,且P 恰为弦AC 的中点,则当点P 变化时,试问△AOC 的面积是否为常数,若是,求出此常数,若不是,请说明理由.21. (本小题满分12分)当前,以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.目前,国家教育主管部门正在研制的《新时代全面加强和改进学校体育美育工作意见》,以及将出台的加强劳动教育指导意见和劳动教育指导大纲,无疑将对体美劳教育提出刚性要求.为激发学生加强体育活动,保证学生健康成长,某校开展了校级排球比赛,现有甲乙两人进行比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满8局时停止.设甲在每局中获胜的概率为1(),2p p >且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为5.9(1)求p 的值;(2)设X 表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量X 的概率分布和均值E(X).函数1()ln(0,)xf x x a aax−=+∈≠且R()(1)().1xg x b x xe bx=−−−∈R(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当a=1时,若关于x的不等式f(x) +g(x)≤- 2恒成立,求实数b的取值范围.江苏省2021届高考模拟试题样卷(供各市各校参考)高三语数学题答案精析1.A 2.D 3.A 4.A 5.B 6.A 7.C [因为O A →+O B →+O C →=0,所以O 为△A B C 的重心,所以△O B C 的面积是△A B C 面积的13,因为A B →·A C →=23,所以|A B →|·|A C →|c o s ∠B A C =23,因为∠B A C =60°,所以|A B →|·|A C →|=43,所以S △A B C=12|A B →|·|A C →|s i n ∠B A C =3,所以△O B C 的面积为1.]8.D [如图所示,过A ,B 分别作准线的垂线A Q ,B P ,垂足分别为Q ,P ,设A F =a ,B F =b ,由抛物线的定义,得A F =A Q ,B F =B P ,在梯形A B P Q 中,2M N =A Q +B P =a +b ,由余弦定理得A B 2=a 2+b 2-2a b c o s 120°=a 2+b 2+a b ,整理得A B 2=(a +b )2-a b ,因为a b ≤a +b 2()2,则(a +b )2-a b ≥(a +b )2-a +b 2()2=34(a +b )2,即A B 2≥34(a +b )2,所以A B 2M N2≥34 a +b214a +b 2=3,所以A BM N≥3,即M NA B ≤33,当且仅当a =b ,即A F =B F 时取等号,故选D .]9.B D [由(n +3)l g a >(n +5)l g a a (0<a <1),得(n +3)l g a >a (n +5)l g a (0<a <1),∵0<a <1,∴l g a <0,∴n +3<a (n +5),即a >n +3n +5=1-2n +5,若存在正整数n ,使a >1-2n +5,需a >1-2n +5()m i n,当n =1时,1-2n +5取最小值23,∴a >23,又a <1,∴a 的取值范围为a 23<a <1|{},易知选项B D 是a 23<a <1|{}的子集.]10.A D [由题意,对于A 中,函数f (x )=x 2+1x2≥2x 2·1x2=2,当且仅当x 2=1x2,即x =±1时等号成立,所以函数f (x )的最小值为2;对于B 中,因为0<x <π2,则c o s x ∈(0,1),而f (x )=c o s x +1c o s x ≥2c o s x ·1c o s x=2,当且仅当c o s x =1c o s x,即c o s x =1时等号成立,此时等号不成立,所以函数的最小值不是2;对于C 中,函数f (x )=x 2+4x 2+3=x 2+3+1x 2+3=x 2+3+1x 2+3≥2x 2+3·1x 2+3=2,当且仅当x 2+3=1x 2+3,即x 2+3=1,即x 2=-2时取等号,显然不成立;对于D 中,函数f (x )=3x +43x -2≥23x ·43x -2=4-2=2,当且仅当3x =43x ,即x =l o g 32时等号成立,此时函数f (x )的最小值为2.]11.A B C [由题意知A ,B ,C 为互斥事件,故C 正确;又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件,所以P (B )=710,P (A )=210,P (C )=110,则P (A +B )=910,故A ,B ,C 正确,D 错误.]12.A D [设g (x )=f xx=l n x ,函数g (x )在(0,+∞)上单调递增,则g (x 2)>g (x 1),即f x 2 x 2>f x 1 x 1,∴x 1f (x 2)>x 2f (x 1),A 正确;设h (x )=f (x )+x ,∴h ′(x )=l n x +2不恒大于零,B 错误;f (x )=x l n x ,∴f ′(x )=l n x +1不恒小于零,C 错误;l n x >-1,故f ′(x )=l n x +1>0,函数单调递增,故(x 2-x 1)[f (x 2)-f (x 1)]=x 1f (x 1)+x 2f (x 2)-x 2f (x 1)-x 1f (x 2)>0,即x 1f (x 1)+x 2f (x 2)>x 2f (x 1)+x 1f (x 2),f x 2 x 2=l n x 2>f x 1x 1=l n x 1,∴x 1f (x 2)>x 2f (x 1),即x 1f (x 1)+x 2f (x 2)>2x 2f (x 1),D 正确.]13.3解析因为f (1)=l o g 21-3=-3,又f (x )为定义在R 上的奇函数,所以f (-1)=-f (1)=3.14.23解析依题意A C 2=B C 2+A B 2,所以∠A B C =90°,设A C 的中点为E ,球的半径为R ,过A ,B ,C 三点的截面圆半径为r =A E =12A C =1,由球的表面积为25π4知,4πR 2=25π4,解得R =54,因为△A B C 的面积为12A B ·B C =1,所以要四面体A B C D 的体积最大,则D 为直线D E 与球的交点且球心在线段D E 上,所以球心到过A ,B ,C 三点的截面的距离为d =R 2-r2=34,所以D E =34+54=2,所以四面体A B C D 体积的最大值为13×1×2=23.15.πk π-π12,k π+5π12[],k ∈Z 解析f (x )=m ·n +32=s i n x c o s x -3c o s 2x +32=12s i n 2x -32c o s 2x =s i n 2x -π3(),其最小正周期是T =2π2=π;由2k π-π2≤2x -π3≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-π12≤x ≤k π+5π12,k ∈Z 即y =f (x )的单调递增区间为k π-π12,k π+5π12[],k ∈Z .16.2或233解析若A F →=-2B F→,则由图1可知,渐近线O B 的斜率为-b a,l ⊥O B ,在R t △O B A 中,由角平分线定理可得O A O B =F A F B =2,所以∠A O B =60°,∠x O A =30°,所以b a =33,e =c a =1+b a ()2=233.若A F →=2B F→,则由图2可知,渐近线O B 为△A O F 边A F 的垂直平分线,故△A O F 为等腰三角形,故∠A O B =∠B O F =60°,b a=3,e =c a =1+b a()2=2,即该双曲线的离心率为2或233.17.解(1)在公差d 不为0的等差数列{a n }中,a 1,a 3,a 9成公比为a 3的等比数列,可得a 23=a 1a 9,a 3=a 1a 3,可得(a 1+2d )2=a 1(a 1+8d ),a 1=1,化简可得a 1=d =1,即有a n =n (n ∈N *).(2)由(1)可得b n =2n ,n =2k -1,2n ,n =2k ,{k ∈N *.前2n 项和T 2n=(2+8+32+…+22n -1)+(4+8+12+…+4n )=2 1-4n 1-4+12n (4+4n )=2 4n -1 3+2n (n +1).18.解(1)∵(2c -a )c o s B -b c o s A =0,由正弦定理得(2s i n C -s i n A )c o s B -s i n B c o s A =0,∴(2s i n C -s i n A )c o s B =s i n B c o s A ,2s i n C c o s B -s i n (A +B )=0,∵A +B =π-C 且s i n C ≠0,∴c o s B =12,∵B ∈(0,π),∴B =π3.(2)∵S △A B C =12a c s i n B =12B D ·b ,代入c =2,B D =3217,s i n B =32,得b =73a ,由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2a c c o s B =a 2+4-2a ,代入b =73a ,得a 2-9a +18=0,解得a =3,b =7{或a =6,b =27,{又∵三角形为锐角三角形,∴a 2<c 2+b 2,∴a =3,b =7.∴S △A B C =12a c s i n B =12×2×3×32=332.19.解(1)E C 1与AD 是相交直线.证明如下:如图,连结A B 1,C 1D ,则A B 1C 1D 是平行四边形,∵E 是A B 1的中点,∴A E ∥C 1D ,A E =12C 1D ,∴A E C 1D 为梯形,A ,E ,C 1,D 四点共面,又E C 1与A D 为梯形的两腰,故E C 1与AD 相交.(2)设A B =b ,A D =2-b ,V A B C D -A 1B 1C 1D 1=b (2-b )×A A 1=b (2-b )≤b +2-b 2()2=1,当且仅当b =2-b ,即b =1时取等号,方法一连结B D (图略),设点B 到平面A 1C D 的距离为h ,则根据等体积法V B -A 1C D =V A 1-B C D ,其中S △A 1C D =12×C D ×A 1D =22,V A 1-B C D =13S △B C D ×A A 1=16,∴h =22,则直线B A 1与平面A 1C D 所成的角θ满足s i n θ=h B A 1=12,∵θ∈0,π2[],∴θ=π6.方法二分别以边A B ,A D ,A A 1所在的直线为x,y ,z 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则B (1,0,0),A 1(0,0,1),C (1,1,0),D (0,1,0),B A 1→=(-1,0,1),C D →=(-1,0,0),C A 1→=(-1,-1,1),设平面A 1C D 的法向量为n =(x ,y ,z ),则n ·C D →=0,n ·C A 1→=0,{即-x =0,-x -y +z =0,{取z =1,则n =(0,1,1),∴s i n θ=|c o s 〈B A 1→,n 〉|=12×2=12,∵θ∈0,π2[],∴θ=π6.20.解(1)由题意知,2a 2+1b 2=1,且c a =22,即a 2=4,b 2=2,所以椭圆C 1的方程为x 24+y 22=1.(2)是.①当直线A C 的斜率不存在时,必有P (±2,0),此时A C =2,S △A O C=2.②当直线A C 的斜率存在时,设其斜率为k ,点P (x 0,y 0),则A C :y -y 0=k (x -x 0),直线A C 与椭圆C 1联立,得(1+2k 2)x 2+4k (y 0-k x 0)x +2(y 0-k x 0)2-4=0,设A (x 1,y 1),C (x 2,y 2),则x 0=x 1+x 22=-2k y 0-k x 0 1+2k2,即x 0=-2k y 0,又x 20+2y 20=2,∴y 20=11+2k2,S △A O C =12×|y 0-k x 0|1+k2×1+k 2·16k 2 y 0-k x 0 2-4 1+2k 2 [2 y 0-k x 02-4]1+2k2=2|y 0-k x 0|2 1+2k 2 - y 0-k x 0 21+2k 2=2 1+2k 2 |y 0|2 1+2k 2 - 1+2k 2 2y 201+2k2=2|y 0|1+2k 2=2.综上,△A O C 的面积为常数2.21.解(1)依题意,当甲连胜2局或乙连胜2局时,第二局比赛结束时比赛结束.所以有p 2+(1-p )2=59,解得p =23或p =13(舍).(2)依题意知,X 的所有可能值为2,4,6,8.设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为59.若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P (X =2)=59,P (X =4)=1-59()×59=2081,P (X =6)=1-59()×1-59()×59=80729,P (X =8)=1-59()×1-59()×1-59()×1=64729.所以随机变量X 的概率分布为X2468P 5920818072964729则E (X )=2×59+4×2081+6×80729+8×64729=2522729.22.解(1)∵f (x )=l n x +1a x -1a,∴f ′(x )=1x -1a x 2=a x -1a x 2(x >0),当a <0时,f ′(x )>0,∴f (x )在(0,+∞)上单调递增,当a >0时,由f ′(x )>0得x >1a;由f ′(x )<0得0<x <1a,∴f (x )在0,1a()上单调递减,在1a ,+∞()上单调递增.综上,当a <0时,f (x )在(0,+∞)上单调递增;当a >0时,f (x )在0,1a()上单调递减,在1a,+∞()上单调递增.(2)由题意,当a =1时,不等式f (x )+g (x )≤-2,即l n x +1x -1+(b -1)x -x e x -1x≤-2,即b -1≤e x -l n x x -1x 在(0,+∞)上恒成立,令h (x )=e x -l n x x -1x,则h ′(x )=e x-1-l n x x 2+1x 2=x 2e x +l n x x 2,令u (x )=x 2e x +l n x ,则u ′(x )=(x 2+2x )e x +1x>0,∴u (x )在(0,+∞)上单调递增,又u (1)=e >0,u 12()=e 4-l n 2<0,∴u (x )有唯一零点x 012<x 0<1(),所以u (x 0)=0,即x 0e x 0=-l n x 0x 0,(*)当x ∈(0,x 0)时,u (x )<0,即h ′(x )<0,h (x )单调递减;x ∈(x 0,+∞)时,u (x )>0,即h ′(x )>0,h (x )单调递增,∴h (x 0)为h (x )在定义域内的最小值.令k (x )=x e x 12<x <1(),则方程(*)等价于k (x )=k (-l n x ),又易知k (x )单调递增,所以x =-l n x ,e x =1x,∴h (x )的最小值为h (x 0)=e x 0-l n x 0x 0-1x 0=1x 0--x 0x 0-1x 0=1,∴b -1≤1,即b ≤2,∴实数b 的取值范围是(-∞,2].。