2012年大学物理（上）期中考试试卷姓名 学号 班号 成绩 .考试时间：90分钟1、（本题16分）质量为m 的子弹以速度v 0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为Ｋ，忽略子弹的重力，求： (1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式； (2) 子弹进入沙土的最大深度．2、（本题16分）一个具有单位质量的质点在合外力j t i t t F )612()43(2-+-= (SI) 的作用下运动．设该质点在t = 0时静止于坐标原点．试求： （1）该质点在t 时刻的位置矢量和速度； （2）在t = 2秒时，该质点受到的合外力对坐标原点的力矩和该质点对坐标原点的角动量．3、（本题12分）质点沿曲线j t i t r22+= (SI) 运动，其所受摩擦力为 v 2-=f(SI)．求摩擦力在t = 1 s 到t = 2 s 时间内对质点所做的功． 4、（本题12分）小球A ，自地球的北极点以速度0v 在质量为M 、半径为R 的地球表面水平切向向右飞出，如图所示。

在地心参考系中，轴OO ＇与0v 平行，小球A 的运动轨道与轴相交于距O 为3R 的C 点．不考虑空气阻力，求小球A 在C 点的速度v与0v（即与轴OO ＇）之间的夹角θ ．（提示：小球在飞行过程中对地心的角动量守恒）5、（本题16分）一轴承光滑的定滑轮，质量为M ，半径为R ，一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为m 的物体，如图所示．已知定滑轮的转动惯量为J ＝221MR ，其初角速度 ω0，方向垂直纸面向里．求：(1) 定滑轮的角加速度的大小和方向； (2) 定滑轮的角速度变化到ω＝0时，物体上升的高度；mM R O A CθO ＇vvmMR ω06、（本题14分）有一轻弹簧，当下端挂一个质量m 1 = 10 g 的物体而平衡时，伸长量为4.9 cm ．用这个弹簧和质量m 2 = 16 g 的物体组成一弹簧振子．取平衡位置为原点，向上为x 轴的正方向．将m 2从平衡位置向下拉 2 cm 后，给予向上的初速度v 0 = 5 cm/s 并开始计时，试求m 2的振动周期和振动表达式．（2sm 8.9-⋅=g ）7、（本题14分）一列平面简谐波在媒质中以波速u = 5 m/s 沿x 轴正向传播，坐标原点O 处质元的振动曲线如图所示．试求 (1) 波动表达式(2) 求解并画出x = 25 m 处质元的振动曲线．2012年大学物理（上）期中考试试卷姓名 学号 班号 成绩 .考试时间：90分钟1、（本题16分）质量为m 的子弹以速度v 0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为Ｋ，忽略子弹的重力，求： (1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式； (2) 子弹进入沙土的最大深度． 1解：(1) （8分）子弹进入沙土后受力为：Kv -，由牛顿定律tmK d d vv =- 3分 ∴ ⎰⎰=-=-v v v vvv 0d d ,d d 0t t m K t m K 3分 ∴ mKt /0e -=v v 2分(2) （8分）求最大深度 解法一： txd d =vt x mKt d ed /0-=v 2分t x m Kt txd e d /000-⎰⎰=v 2分∴ )e1()/(/0mKt K m x --=v 2分K m x /0max v = 2分解法二： x m t x x m t m K d d )d d )(d d (d d vvv v v ===- 2分 ∴ v d K mdx -= 2分v v d d 000max ⎰⎰-=K mx x 2分∴ K m x /0max v =2分2、（本题16分）一个具有单位质量的质点在合外力j t i t t F )612()43(2-+-= (SI) 的作用下运动．设该质点在t = 0时静止于坐标原点．试求： （1）该质点在t 时刻的位置矢量和速度；（2）在t = 2秒时，该质点受到的合外力对坐标原点的力矩和该质点对坐标原点的角动量． 解：(1) （8分） 由 a m F=，且 m = 1得 j t i t t m F t v a)612()43(d d 2-+-=== (2s m -⋅) 1分∴ ⎰⎰=t v t a v 0d d⎰-+-=tt j t i t t 02d ])612()43[( 2分j t t i t t v)66()2(223-+-= (1s m -⋅) 2分又∵ t r v /d d =，且 t = 0时， 00=r∴⎰⎰=t rt v r 0d d ⎰-+-=tt j t t i t t 0223d ])66()2[(⎰=td t v rj t t i t t )32()3241(2334-+-= (m ) 3分(2) （8分） 当t = 2 s 时j i r 43/4+-=，j v12=, j i F 184+= 2分力矩 k j i j i F r M40)184()434(0-=+⨯+-=⨯= 3分角动量 k j j i v m r L1612)434(0-=⨯+-=⨯= 3分3、（本题12分）质点沿曲线j t i t r22+= (SI) 运动，其所受摩擦力为 v 2-=f(SI)．求摩擦力在t = 1 s 到t = 2 s 时间内对质点所做的功．解： j i t t r22/d d +==v 3分j i t f442--=-=v 2分⎰⋅⎰⋅==t f r f A d d v⎰⋅+--=21d )22()44(t j i t j i t4分3/80-= J 3分4、（本题12分）小球A ，自地球的北极点以速度0v在质量为M 、半径为R 的地球表面水平切向向右飞出，如图所示。

在地心参考系中，轴OO ＇与0v平行，小球A 的运动轨道与轴相交于距O 为3R 的C点．不考虑空气阻力，求小球A 在C 点的速度v与0v（即与轴OO ＇）之间的夹角θ ．（提示：小球在飞行过程中对地心的角动量守恒）m M RO A CθO ＇vv解：由机械能守恒：)3/(21/21220R GMm m R GMm m -=-v v ① 4分根据小球绕O 角动量守恒： θsin 30v v Rm Rm = ② 4分 ①、②式联立可解出． RGM /129sin 20-=v v θ 4分5、（本题16分）一轴承光滑的定滑轮，质量为M ，半径为R ，一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为m 的物体，如图所示．已知定滑轮的转动惯量为J ＝221MR ，其初角速度 ω0，方向垂直纸面向里．求：(1) 定滑轮的角加速度的大小和方向；(2) 定滑轮的角速度变化到ω＝0时，物体上升的高度； 解：(1) （11分） ∵ mg －T ＝ma 2分TR ＝J β 2分a ＝R β 2分 ∴ β = mgR / (mR 2＋J )()R M m mgMR mR mgR +=+=222122 2分 方向垂直纸面向外. 3分(2) （5分） ∵ βθωω2202-=当ω＝0 时飞轮转过的角度 βωθ220= 3分物体上升的高度 ()mgR M m R h 42220ωθ+== 2分6、（本题14分）有一轻弹簧，当下端挂一个质量m 1 = 10 g 的物体而平衡时，伸长量为4.9 cm ．用这个弹簧和质量m 2 = 16 g 的物体组成一弹簧振子．取平衡位置为原点，向上为x 轴的正方向．将m 2从平衡位置向下拉 2 cm 后，给予向上的初速度v 0 = 5 cm/s 并开始计时，试求m 2的振动周期和振动的数值表达式．（2sm 8.9-⋅=g ）解：设弹簧的原长为l ，悬挂m 1后伸长∆l ，则 k ∆l = m 1g ，k = m 1g/ ∆l = 2 N/m 2分 取下m 1挂上m 2后， 2.1155/2===m k ω rad/s 2分a2552/2==ωπT =0.56 s 1分（5分 ） 由题意知：t = 0时， m 102cos 20-⨯-==φA x 1分m/s 105sin 20-⨯=-=φωA v 1分解得 22220201005.2102.4m 10521)/v (---⨯=⨯=⨯=+=ωx A m 2分（4分 ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-=2120arccos 105arctan )/v arctan(00x ωφ =180°+12.6°=3.36 rad （1.07π）也可取 φ = -2.92 rad （π93.0-） 3分振动表达式为 ()π07.12.11cos 1005.22+⨯=-t x (SI) 2分或 ()π93.02.11cos 1005.22-⨯=-t x (SI)7、（本题14分）一列平面简谐波在媒质中以波速u = 5 m/s 沿x 轴正向传播，坐标原点O 处质元的振动曲线如图所示．试求（1）波动表达式（2）求解并画出x = 25 m 处质元的振动曲线．解：(1)（8分） 由图知，s 4=T ，cm 2=A 且坐标原点处 0=t 时，0cos 0==ϕA y0sin 0>-=ϕωA v 2分由此得 2πϕ-= 2分 所以坐标原点O 处质元的振动方程为)22cos(1022ππ-⨯=-t y ， (SI) 2分 波的表达式为[]22)5/(cos 1022ππ--⨯=-x t y (SI) 2分(2) （6分） x = 25 m 处质元的振动方程为)32cos(1022ππ-⨯=-t y ， (SI) 3分 振动曲线见图 (a)3分-2×6、（本题12分）如图所示，长为l 、质量为m 的匀质细杆，可绕通过杆的端点并与杆垂直的固定轴O 转动．杆的另一端连接一质量为m 的小球，杆从水平位置由静止开始释放．忽略轴处的摩擦，试用功能关系求解当杆转至与竖直方向成θ 角时，杆的角速度，并求距转轴为3l / 4处的C 点的法向加速度。

解：杆和小球对O 轴的转动惯量为J ＝ml 2＋31ml 2＝4ml 2 / 3 3分 由动能定理，有： 21mgl cos θ＋mgl cos θ＝21J ω 2 3分∴ ω 2＝9g cos θ / (4l ) 3分∴ C 点的法向加速度为：a n ＝3l ω 2 / 4＝27g cos θ / 16 3分。