专题学习
---- 几何证明中常见的 “添辅助线”方法
---- “周长问题”的转化
Ⅰ.连结 目的:构造全等三角形 或等腰三角形 典例1:如图,AB=AD,BC=DC, 求证:∠B=∠D.
B
A
C
D
1.连结AC
构造全等三角形
2.连结BD 构造两个等腰三角形
Ⅰ.连结
典例2:如图,AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD,
3.如图,A、A1关于OM对称, A、A2关于ON对称. 若A1 A2 =6cm,求△ABC的周长.
AB+AC+BC
A1
M
A1 B+ A2 C+BC
AA
12
O
B A
N C
A2
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质 ”
4.如图, △ABC中，MN是AC的垂直平分线 . 若AN=3cm, △ABM周长为13cm，求△ABC的周长.
C P
G EB
Ⅲ.垂直平分线上点向两端连线段
目的:构造直角三角形 ,得到斜边相等
△ABC 中,AB ＞AC ，∠A的平分线与
BC的垂直平分线 DM相交于D，过D作
DE ⊥AB 于E，作DF⊥AC于F。
求证：BE=CF
A
连接DB,DC
EM
C
F
B
D
垂直平分线上点向两端连线段
Ⅳ.中线延长一倍
目的:构造直角三角形 ,得到斜边相等
典例2:如图,△ABC中, ∠C =90 o,AC=BC, AD平分∠ BAC,求证:AB=AC+DC.
A
过点D作DE⊥AB
构造了 :
E
全等的直角三角形 且距离相等
思考:
B
C
D
若AB=15cm, 则△ BED 的周长是多少
?
∠A= ∠D =90 o, B A
AB+BC+AC
A
AB+ BM+MC+6
AB+ BM+AM+6
13+6
B
N
M
C
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“等腰三角形性质 ”
5.如图, △ABC中，BP、CP是△ABC的角平分线， MN//BC. 若BC=6cm, △AMN周长为13cm，求△ABC的周长.
A
AB+AC+BC
AM+ BM+AN+NC+6
1.AD是△ABC的中线，求证： A D? 1 ( A B? A C) 2
延长 AD到点 E，使 DE=AD ，
A
连结CE.
C B
D
E
截长 补短
已知在△ABC 中，∠C=2∠B, ∠1=∠2
求证:AB=AC+CD
A
E
12
B
D
C
在AB 上取点E使得AE=AC ，连接DE F 在AC的延长线上取点F使得CF=CD，连接DF
BE、CE均是角平分线 ,
求证:BC=AB+CD.
F
过点E作EF⊥BC
E
构造了 :
全等的直角三角形 且距离相等
C
D
思考: 你从本题中还能得到哪些结论 ?
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
2.如图,梯形中, ∠A= ∠D =90 o, BE、CE均是角平分线 ,
求证:BC=AB+CD.
延长 BE 和 CD 交于点 F
求证 :点M是CD 的中点 .
连结AC、AD
A
构造全等三角形
B
E
C MD
Ⅰ.连结
典例3:如图,AB=AC,BD=CD, M 、N分别是BD、CD
的中点，求证：∠ AMB＝ ∠ ANC
连结AD
A
构造全等三角形
B
C
M
N
D
Ⅰ.连结
典例4:如图,AB与CD交于O, 且AB=CD，AD=BC，
OB=5cm ，求 OD的长 .
AM+ MP+AN+NP+6
M
P
N
AM+AN+MN+6
B
C
13+6
线段与角求相等，先找全等试试看。 图中有角平分线，可向两边作垂线。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 线段计算和与差，巧用截长补短法。 三角形里有中线，延长中线=中线。 想作图形辅助线，切莫忘记要双添。
如图所示，已知 AD∥BC，∠1=∠2， ∠3=∠4，直线DC经过点E交AD于点D，
交BC 于点C。求证： AD+BC=AB
D
1 2
A
E C截 长
4 3
补
F
B短
在AB 上取点F使得AF=AD, 连接EF
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“角平分线性质 ”
1.如图,△ABC中,∠C=90 o,AC=BC,AD 平分∠ ACB, DE⊥AB.若 AB=6cm,则△DBE的周长是多少 ?
构造了 : 全等的 直角三角形
C
思考: 你从本题中还能得到哪些结论 ?
B
A
E
DF
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
典例4:如图,OC 平分∠AOB, ∠DOE +∠DPE =180 o,
求证: PD=PE.
A
过点P作PF⊥OA,PG ⊥OB
F
构造了 :
D
全等的直角三角形 且距离相等
O
思考: 你从本题中还能得到哪些结论 ?
连结BD
AC
构造全等三角形
O
D
B
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
目的:构造直角三角形 ,得到距离相等
典例1:如图,△ABC中, ∠C =90 o,BC=10,BD=6, AD平分∠ BAC,求点D到AB的距离.
A
E
过点D作DE⊥AB
B
构造了 : 全等的直角三角形 且距离相等
C D
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
BE+BD+DE
C D
BE+BD+CD
BE+BC
A
B E
BE+AC
BE+AE
AB
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质 ”
2.如图,△ABC中, D在AB的垂直平分线上 , E在AC的垂直平分线上 .若BC=6cm, 求△ADE的周长.
AD+AE+DE
A
BD+CE+DE
BC
B
D
E
C
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质 ”