1.已知，如图AD是△ABC的中线，
1 求证： AD ( AB AC ) 2
延长AD到点E，使DE=AD， 连结CE.
B
A
C D
思考：若AB=3,AC=5 求AD的取值范围？
E
倍 长 中 线
证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE ∵AD为△ABC的中线 （已知） A ∴BD=CD （中线定义） 在△ACD和△EBD中 D BD=CD （已证） B C ∠1=∠2 （对顶角相等） AD=ED （辅助线作法） ∴△ACD≌△EBD （SAS） E ∴BE=CA（全等三角形对应边相等） 图5 1 ∵在△ABE中有：AB+BE>AE（三角形两边之 和大于第三边） ∴AB+AC>2AD。 （常延长中线加倍，构造全等三角形）
全等三角形中几种 常见的辅助线添法
知识回顾：
一般三角形的全等条件：
定义（重合）法； 解题 1.SSS； 中常 2.SAS； 用的 3.ASA； 4种 4.AAS.
方法
方法指引
证明两个三角形全等的基本思路：
找第三边 (SSS) （1）：已知两边---找夹角 （SAS) 找这边的另一个邻角(ASA) 已知一边和它的邻角 (2):已知一边一角--已知一边和它的对角 找这个角的另一个边(SAS) 找这边的对角 (AAS) 找一角(AAS)
(3):已知两角---
找两角的夹边(ASA) 找夹边外的任意边(AAS)
1.连结
目的:构造全等三角形或等腰三角形
适用情况:图中已经存在两个点—A和B
语言描述:连结AB 注意点:双添---在图形上添虚线 在证明过程中描述添法
1.如图,AB=AD,BC=DC,求证:∠B=∠D.
B A C
连 线 构 造 全 等
1 2 4 3
截 长 补 C短
B
A
F
在AB上取点F使得AF=AD,连接EF
4.角平分线上点向两边作垂线段
目的:构造直角三角形,得到距离相等 适用情况:图中已经存在一个点P和一条线MN 语言描述:过点P作PD⊥MN 注意点:双添---在图形上添虚线 在证明过程中描述添法
1.如图,△ABC中, ∠C =90o,BC=10, BD=6,AD平分∠BAC,求点D到AB的距离.
2.练习；如图1，AD是△ABC的中线， AB=3,AC=5，求中线AD的取值范围。
• 例、如图，AD为△ABC的中线， • ∠ADB、∠ADC的平分线交AB、AC于E、F。 • 求证：BE+CF＞EF
分析：本题中已知D为BC的中点， 要证BE、CF、EF间的不等关系，可利用点D将BE旋转， 使这三条线段在同一个三角形内。
截长 补短
1.已知在△ABC中 , ∠C=2∠B, ∠1=∠2 求证:AB=AC+CD E
B
A
1 2
D
C F
在AB上取点E使得AE=AC,连接DE
在AC的延长线上取点F使得CF=CD,连接DF
2.如图所示，已知AD∥BC， ∠1=∠2，∠3=∠4， 直线DC经过点E交AD于点D， 交BC于点C。 D E 求证：AD+BC=AB
D
连接AC
构造全等三角形
连线 构造全等
2.如图,AB与CD交于O,且AB=CD, AD=BC，OB=5cm,求OD的长.
连接BD 构造全等三角形
D
A
C
B
拓展题
3.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.
求证:BC∥EF
F E D
A B C
2.倍长中线法
目的:构造直角三角形,得到斜边相等 适用情况:图中已经存在一条线段MN 和垂直平分线上一个点A 语言描述:连结AM和AN 注意点:双添---在图形上添虚线 在证明过程中描述添法
方法3:旋转法
如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD 上的一点，∠EAF=45°，求证：BE+DF=EF E′ A （B） D F
将△ABE绕点A逆时 针方向旋转90 °， 使AB与AD重合,点 E落在E′处
B E
C
小结
线段与角求相等，先找全等试试看。 图中有角平分线，可向两边作垂线。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 线段计算和与差，巧用截长补短法。 三角形里有中线，延长中线=中线。 想作图形辅助线，切莫忘记要双添。
A
过点D作DE⊥AB于点E
E B C
D向两边作垂线段
典例:如图,梯形中, ∠A= ∠D =90o, BE、CE均是角平分线, 求证:BC=AB+CD.
过点E作EF⊥BC 构造了: 全等的直角三角形且距离相等
C B F E
A
D
思考: 你从本题中还能得到哪些结论?