一元二次不等式解法·典型例题
例若＜＜，则不等式－－＜的解是1 0a 1(x a)(x )01a [ ] A a x B x a ．＜＜．＜＜11a a C x a D x x a ．＞或＜．＜或＞x a
a
11 例有意义，则的取值范围是
．2 x x 2--x 6 例3 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________． 例4 解下列不等式
(1)(x －1)(3－x)＜5－2x
(2)x(x ＋11)≥3(x＋1)2
(3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2) (4)3x 2-+--+-3132
5113122x x x x x x ＞＞()()
例不等式＋＞
的解集为5 1x 11-x [ ] A ．{x|x ＞0}
B ．{x|x≥1}
C ．{x|x ＞1}
D ．{x|x ＞1或x ＝0}
例与不等式≥同解的不等式是6 0x x --32[ ]
A ．(x －3)(2－x)≥0 B．0＜x －2≤1
C ．≥230--x x
D ．(x －3)(2－x)≤0
例不等式＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a ax x -1[ ]
A a
B a
C a
D a ．＜．＞．＝．＝－
1
2
121212
例解不等式≥．8 237232x x x -+-
例9 已知集合A ＝{x|x 2－5x ＋4≤0}与B ＝{x|x 2
－2ax ＋a ＋2 ≤，若，求的范围．0}B A a ⊆
例10 解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)＞0．
例11 若不等式ax 2
＋bx ＋c ＞0的解集为{x|α＜x ＜β}(0＜α
＜β)，求cx 2＋bx ＋a ＜0的解集．
例解关于的不等式：
＜－∈．12 x 1a(a R)x x -1
例13 不等式|x 2
－3x|＞4的解集是________．
例14 设全集U ＝R ，A ＝{x|x2－5x －6＞0}，B ＝{x||x －5|＜a}(a 是常数)，且11∈B，则[ ]
A ．(UA)∩B＝R
B ．A∪(UB)＝R
C ．(UA)∪(UB)＝R
D ．A∪B＝R
参考答案
例1：
分析比较与的大小后写出答案． a 1a
解∵＜＜，∴＜，解应当在“两根之间”，得＜＜．选． 0a 1a a x A 11a a
例2
分析 求算术根，被开方数必须是非负数．
解 据题意有，x 2－x －6≥0，即(x －3)(x ＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x≥3或x≤－2．
例3：
分析 根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两个根，考虑韦达定理．
解 根据题意，－1，2应为方程ax2＋bx －1＝0的两根，则由韦达定理知 -=-+=-=-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪b a a ()()1211122×得a b ==-1212，．
例4：
分析 将不等式适当化简变为ax2＋bx ＋c ＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)．
答:(1){x|x ＜2或x ＞4}
(2){x|1x }≤≤32
(3)∅
(4)R
(5)R
说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式．
例5：
分析 直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分．
解不等式化为＋－＞，通分得＞，即＞， 1x 000111122
----x
x x x x
∵x2＞0，∴x－1＞0，即x ＞1．选C ．
说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解．
例6：
解法一原不等式的同解不等式组为≥，≠． ()()x x x ---⎧⎨⎩32020
故排除A 、C 、D ，选B ．
解法二≥化为＝或－－＞即＜≤ x 320x 3(x 3)(2x)02x 3--x
两边同减去2得0＜x －2≤1．选B ．
说明：注意“零”．
例7：
分析可以先将不等式整理为＜，转化为 0()a x x -+-111
[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，根据其解集为{x|x ＜1或x ＞2}
可知－＜，即＜，且－
＝，∴＝．a 10a 12a 1112a -
答 选C ． 说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧．
例8：
解 先将原不等式转化为
3723202x x x -+--≥
即≥，所以≤．由于＋＋＝＋＋＞，---+-+++-21232123
14782222x x x x x x x x 002x x 12(x )022
∴不等式进一步转化为同解不等式x2＋2x －3＜0，
即(x ＋3)(x －1)＜0，解之得－3＜x ＜1．解集为{x|－3＜x ＜1｝．
说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题．
例9：
分析 先确定A 集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关
系，结合，利用数形结合，建立关于的不等式．B A a ⊆
解 易得A ＝{x|1≤x≤4}
设y ＝x 2
－2ax ＋a ＋2(*) (1)B B A 0若＝，则显然，由Δ＜得∅⊆
4a 2
－4(a ＋2)＜0，解得－1＜a ＜2． (2)B (*)116若≠，则抛物线的图像必须具有图－特征：∅
应有≤≤≤≤从而{x|x x x }{x|1x 4}12⊆
12a 12042a 4a 2014 12a 22－·＋＋≥－·＋＋≥≤≤解得≤≤a a --⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪22187
综上所述得的范围为－＜≤．a 1a 187
说明：二次函数问题可以借助它的图像求解．
例10：
分析 不等式的解及其结构与a 相关，所以必须分类讨论．
解 1° 当a ＝0时，原不等式化为
x －2＜0其解集为{x|x ＜2}；
2 a 02(x 2)(x )0°当＜时，由于＞，原不等式化为－－＜，其解集为
22a a
{x|2a x 2}＜＜；
3 0a 12(x 2)(x )0°当＜＜时，因＜，原不等式化为－－＞，其解集为22a a
{x|x 2x }＜或＞；2a
4° 当a ＝1时，原不等式化为(x －2)2＞0，其解集是{x|x≠2}；
5 a 12(x 2)(x )0°当＞时，由于＞，原不等式化为－－＞，其解集是22a a
{x|x x 2}＜或＞．2a
从而可以写出不等式的解集为：
a ＝0时，{x|x ＜2｝；
a 0{x|2a x 2＜时，＜＜｝；
0a 1{x|x 2x }＜＜时，＜或＞；2a
a ＝1时，{x|x≠2}；
a 1{x|x x 2}＞时，＜或＞．2a
说明：讨论时分类要合理，不添不漏．
例11：
分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系．考虑使用韦达定理：
解法一 由解集的特点可知a ＜0，根据韦达定理知：
－＝α＋β，＝α·β．b a c a ⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
即＝－α＋β＜，＝α·β＞．b a c a ()00⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
∵a＜0，∴b＞0，c ＜0．
又×，b a a c b c =
∴
＝－α＋β
①由＝α·β，∴＝α·β②b c c a a c (1)111 对＋＋＜化为＋＋＞，cx bx a 0x x 022b c a c
由①②得α，β是＋＋＝两个根且α＞β＞，1111x x 002b c a c
∴＋＋＞即＋＋＜的解集为＞α或＜β．x x 0cx bx a 0{x|x x }22b c a c 11 解法二 ∵cx2＋bx ＋a ＝0是ax2＋bx ＋a ＝0的倒数方程．
且ax2＋bx ＋c ＞0解为α＜x ＜β，
∴＋＋＜的解集为＞α或＜β．cx bx a 0{x|x x } 211
说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维。

例12：
分析 将一边化为零后，对参数进行讨论．
解原不等式变为－－＜，即＜， (1a)00x x ax a x -+--111
进一步化为(ax ＋1－a)(x －1)＜0．
(1)当a ＞0时，不等式化为
(x )(x 1)01{x|a 1a x 1}－
－＜，易见＜，所以不等式解集为＜＜；a a a a ---11
(2)a ＝0时，不等式化为x －1＜0，即x ＜1，所以不等式解集为{x|x ＜1}；
(3)a 0(x )(x 1)01{x|x 1x }＜时，不等式化为－
·－＞，易见＞，所以不等式解集为＜或＞
．a a a a a a
---111 综上所述，原不等式解集为： 当＞时，＜＜；当＝时，＜；当＜时，＞或＜．a 0{x|
a 1a x 1}a 0{x|x 1}a 0{x|x x 1}--a a 1
例13：
分析可转化为(1)x2－3x＞4或(2)x2－3x＜－4两个一元二次不等式．
(1)x1x4(2)
由可解得＜－或＞，．
答填{x|x＜－1或x＞4}．
例14：
分析由x2－5x－6＞0得x＜－1或x＞6，即
A＝{x|x＜－1或x＞6}由|x－5|＜a得5－a＜x＜5＋a，即
B＝{x|5－a＜x＜5＋a}
∵11∈B，∴|11－5|＜a得a＞6
∴5－a＜－1，5＋a＞11 ∴A∪B＝R．
答选D．
说明：本题是一个综合题，涉及内容很广泛，集合、绝对值不等式、一元二次不等式等内容都得到了考查。