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高考动点轨迹方程的常用求法(含练习题及答案)

轨迹方程的经典求法一、定义法:运用有关曲线的定义求轨迹方程.例2:在ABC △中,24BC AC AB =,,上的两条中线长度之和为39,求ABC △的重心的轨迹方程. 解:以线段BC 所在直线为x 轴,线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系,如图1,M 为重心,则有239263BM CM +=⨯=.M ∴点的轨迹是以B C ,为焦点的椭圆, 其中1213c a ==,.225b a c =-=∴.∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠. 二、直接法:直接根据等量关系式建立方程.例1:已知点(20)(30)A B -,,,,动点()P x y ,满足2PAPB x =·,则点P 的轨迹是( ) A .圆 B .椭圆 C .双曲线 D .抛物线解析:由题知(2)PA x y =---,,(3)PB x y =--,,由2PA PB x =·,得22(2)(3)x x y x ---+=,即26y x =+,P ∴点轨迹为抛物线.故选D .三、代入法:此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题.例3:已知△ABC 的顶点(30)(10)B C -,,,,顶点A 在抛物线2y x =上运动,求ABC △的重心G 的轨迹方程. 解:设()G x y ,,00()A x y ,,由重心公式,得003133x x y y -++⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,,00323x x y y =+⎧⎨=⎩, ①∴. ②又00()A x y ,∵在抛物线2y x =上,200y x =∴. ③将①,②代入③,得23(32)(0)y x y =+≠,即所求曲线方程是2434(0)3y x x y =++≠.四、待定系数法:当曲线的形状已知时,一般可用待定系数法解决.例5:已知A ,B ,D 三点不在一条直线上,且(20)A -,,(20)B ,,2AD =,1()2AE AB AD =+.(1)求E 点轨迹方程;(2)过A 作直线交以A B ,为焦点的椭圆于M N ,两点,线段MN 的中点到y 轴的距离为45,且直线MN 与E 点的轨迹相切,求椭圆方程.解:(1)设()E x y ,,由1()2AE AB AD =+知E 为BD 中点,易知(222)D x y -,.又2AD =,则22(222)(2)4x y -++=. 即E 点轨迹方程为221(0)x y y +=≠; (2)设1122()()M x y N x y ,,,,中点00()x y ,.由题意设椭圆方程为222214x y a a +=-,直线MN 方程为(2)y k x =+.∵直线MN 与E 点的轨迹相切,2211k k =+∴,解得33k =±. 将33y =±(2)x +代入椭圆方程并整理,得222244(3)41630a x a x a a -++-=,2120222(3)x x a x a +==--∴, 又由题意知045x =-,即2242(3)5a a =-,解得28a =.故所求的椭圆方程为22184x y +=.五、参数法:如果不易直接找出动点坐标之间的关系,可考虑借助中间变量(参数),把x ,y 联系起来例4:已知线段2AA a '=,直线l 垂直平分AA '于O ,在l 上取两点P P ',,使其满足4OP OP '=·,求直线AP 与A P ''的交点M 的轨迹方程.解:如图2,以线段AA '所在直线为x 轴,以线段AA '的中垂线为y 轴建立直角坐标系.设点(0)(0)P t t ≠,, 则由题意,得40P t ⎛⎫' ⎪⎝⎭,.由点斜式得直线AP A P '',的方程分别为4()()t y x a y x a a ta =+=--,.两式相乘,消去t ,得222244(0)x a y a y +=≠.这就是所求点M 的轨迹方程.评析:参数法求轨迹方程,关键有两点:一是选参,容易表示出动点;二是消参,消参的途径灵活多变.配套训练一、选择题1. 已知椭圆的焦点是F 1、F 2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长F 1P 到Q ,使得|PQ |=|PF 2|,那么动点Q 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2. 设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点,P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点,则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A.14922=+y xB.14922=+x yC.14922=-y x D.14922=-x y二、填空题3. △ABC 中,A 为动点,B 、C 为定点,B (-2a ,0),C (2a ,0),且满足条件sin C -sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________.4. 高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上,且相距10 m ,如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (-5,0)、B (5,0),则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.三、解答题5. 已知A 、B 、C 是直线l 上的三点,且|AB |=|BC |=6,⊙O ′切直线l 于点A ,又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线,设这两切线交于点P ,求点P 的轨迹方程.6. 双曲线2222by a x =1的实轴为A 1A 2,点P 是双曲线上的一个动点,引A 1Q ⊥A 1P ,A 2Q ⊥A 2P ,A 1Q 与A 2Q的交点为Q ,求Q 点的轨迹方程.7. 已知双曲线2222ny m x -=1(m >0,n >0)的顶点为A 1、A 2,与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q .(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程;(2)当m ≠n 时,求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.已知椭圆2222by a x +=1(a >b >0),点P 为其上一点,F 1、F 2为椭圆的焦点,∠F 1PF 2的外角平分线为l ,点F 2关于l 的对称点为Q ,F 2Q 交l 于点R .(1)当P 点在椭圆上运动时,求R 形成的轨迹方程;(2)设点R 形成的曲线为C ,直线l :y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点,当△AOB 的面积取得最大值时,求k 的值.参考答案配套训练一、1.解析:∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|,∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆.答案:A2.解析:设交点P (x ,y ),A 1(-3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,-y 0)∵A 1、P 1、P 共线,∴300+=--x y x x y y ∵A 2、P 2、P 共线,∴300-=-+x yx x y y 解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得答案:C二、3.解析:由sin C -sin B =21sin A ,得c -b =21a , ∴应为双曲线一支,且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=-. 答案:)4(1316162222ax a y a x >=-4.解析:设P (x ,y ),依题意有2222)5(3)5(5y x y x +-=++,化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y 2-85x +100=0.答案:4x 2+4y 2-85x +100=0三、5.解:设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点,两切线交于点P .由切线的性质知:|BA |=|BD |,|PD |=|PE |,|CA |=|CE |,故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC |=|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18>6=|BC |,故由椭圆定义知,点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆,以l所在的直线为x 轴,以BC 的中点为原点,建立坐标系,可求得动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0) 6.解:设P (x 0,y 0)(x ≠±a ),Q (x ,y ).∵A 1(-a ,0),A 2(a ,0).由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x a x y a x y a x y a x y 220000000)( 11得 而点P (x 0,y 0)在双曲线上,∴b 2x 02-a 2y 02=a 2b 2,即b 2(-x 2)-a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为:a 2x 2-b 2y 2=a 4(x ≠±a ).7.解:(1)设P 点的坐标为(x 1,y 1),则Q 点坐标为(x 1,-y 1),又有A 1(-m ,0),A 2(m ,0),则A 1P 的方程为:y =)(11m x mx y ++ ①A 2Q 的方程为:y =-)(11m x mx y -- ②①×②得:y 2=-)(2222121m x mx y --③又因点P 在双曲线上,故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即代入③并整理得2222ny m x +=1.此即为M 的轨迹方程.(2)当m ≠n 时,M 的轨迹方程是椭圆.(ⅰ)当m >n 时,焦点坐标为(±22n m -,0),准线方程为x =±222nm m -,离心率e =m n m 22-;(ⅱ)当m <n 时,焦点坐标为(0,±22n m -),准线方程为y =±222mn n -,离心率e =n m n 22-.8.解:(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ,连接PQ ,∴∠F 2PR =∠QPR ,|F 2R |=|QR |,|PQ |=|PF 2|又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线,故点F 1、P 、Q 在同一直线上,设存在R (x 0,y 0),Q (x 1,y 1),F 1(-c ,0),F 2(c ,0). |F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,则(x 1+c )2+y 12=(2a )2.又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x 得x 1=2x 0-c ,y 1=2y 0.∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2,∴x 02+y 02=a 2. 故R 的轨迹方程为:x 2+y 2=a 2(y ≠0)(2)如右图,∵S △AOB =21|OA |·|OB |·sin AOB =22a sin AOB当∠AOB =90°时,S △AOB 最大值为21a 2.此时弦心距|OC |=21|2|kak +.在Rt △AOC 中,∠AOC =45°,.33,2245cos 1|2|||||2±=∴=︒=+=∴k k a ak OA OC。

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