第四章 根轨迹分析法习题4-2 单位回馈控制系统的开环传递函数1)(+=s K s G r，试用解析法绘出r K 从零变化到无穷时的死循环根轨迹图，并判断-2, j1, (-3+j2)是否在根轨迹上。

解：1-s 01s 0r=⇒=+=时，K2-s 02s 1r=⇒=+=时，K3-s 03s 2r=⇒=+=时，K……-2 在根轨迹上，（-3+j2），j1不在根轨迹上。

4-3 回馈控制系统的开环传递函数如下，0≥r K ，试画出各系统的根轨迹图。

(2) )4)(1()5.1()(+++=s s s s K s G r (3) 2)1()(+=s s K s G r ， 解：（2）1）开环零、极点：p 1=0，p 2=-1,p 3=-4,z=-1.0，n=3，m=1 2）实轴上根轨迹段：（0，-1），（-1.5，-4） 3）根轨迹的渐近线：︒±=±=-+±=-=----=902)12(,75.12)5.1(410)2( ππϕσm n k aa夹角交点条渐近线4）分离点和会合点6.05.1141111-=+=++++d d d d d 试探法求得（3）1）开环零、极点：p 1=0，p 2,3=-1，n=32）实轴上根轨迹段：（0，-1），（-1，-∞） 3）根轨迹的渐近线：±=-+±=-=--=3)12(,323110)3( ππϕσm n k aa夹角交点条渐近线4）分离点和会合点310121-=⇒=++d d d 5）与虚轴交点：223++s s4-5 系统的开环传递函数为)1()2()(++=s s s K s G r ，(1) 画出系统的根轨迹，标出分离点和会合点；(2) 当增益r K 为何值时，复数特征根的实部为-2？求出此根。

解： （1）1）开环零、极点：p 1=0，p 22）实轴上根轨迹段：（0，-13）分离点和会合点.3,586.02111121-=-=⇒+=++d d d d d（2）系统特征方程为02)1(rr2=+++K s K s2j 2322122,1rr±-==-=+-=-s K K a b ，，得：由0123ss s s r2K-r211K rKj,202rr±==⇒=-s K K4-6 单位回馈系统的前向信道函数为)3)(1()(++=s s s K s G r，为使死循环主导极点具有阻尼比5.0=ξ，试确定r K 的值。

解：系统的根轨迹如图在根轨迹图上作射线: β=与根轨迹相交点为s 1和s 2n n j s ωω866.05.01+-=nnj s ωω866.05.02--=则死循环特征方程式可表示为0)()())()((2332233321=--+-+=---nnnns s s s s s s s s s s s ωωωω034r23=+++K s s s 系统特征方程为比较系数，得： ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-r2332334K s s s nnnnωωωω⎪⎩⎪⎨⎧=-==⇒828.125.375.0r3K s n ω4-7 控制系统的开环传递函数为)4)(2()(++=s s s K s G r(1) 绘出该回馈系统的根轨迹图；(2) 求系统具有阻尼振荡响应的r K 取值范围； (3) 系统稳定的r K 最大为多少？并求等幅震荡的频率；(4) 求使主导极点具有阻尼比5.0=ξ时的r K 值，并求对应该值时， 零极点形式的死循环传递函数。

解：（1）1）开环零、极点：p 1=0，p 2=-22）实轴上根轨迹段：（0，-2），3）根轨迹的渐近线：︒︒±=±=-+±=-=--=180,603)12(,23420)3( ππϕσm n k aa夹角交点条渐近线4）分离点和会合点)(732.4,845.004121121舍-=-=⇒=++++d d d d d分离点对应的08.3155.3155.1845.0r=⨯⨯=K5）与虚轴交点：086r23=+++K s s s（2）系统具有阻尼振荡响应的r K 取值范围是：4808.3r<<K（3）系统稳定的48r<K，等幅振荡频率为22=ω（4）同上题方法可求得： 阻尼比5.0=ξ时j1.1567.0,67.4,3.82,13±-=-==s s K r)15.1j 67.0)(15.1j 67.0)(67.4(3.8)(-++++=Φs s s s4-8单位负反馈系统的开环传递函数为)15.0)(1()(++=s s s K s G r，用根轨迹分析系统的稳定性。

解：1）开环零、极点：p 1=0，p 2=-1，p 3=-2，n=3 2）实轴上根轨迹段：（0，-1），（-23）根轨迹的渐近线：123s ss s r84K-r68 1KrK2j2,48084rr±==⇒=-s K K︒︒±=±=-+±=-=--=180,603)12(,13210)3( ππϕσm n k aa夹角交点条渐近线4）分离点和会合点)(644.1,356.002111121舍-=-=⇒=++++d d d d d5）与虚轴交点：0223r23=+++K s s s所以，系统稳定的rK 取值范围是：30r<<K4-9 单位负反馈系统的开环传递函数为)02.01)(01.01()(s s s K s G r++=(1) 画出系统的根轨迹图；(2) 确定系统临界稳定时的开环增益； (3) 确定与临界阻尼比相应的开环增益。

解：（1）)50)(100(5000)(++=s s s Ks G r① 实轴上的根轨迹：[0, -50],[-100,-∞]123s ss s r26K-r2 32 1Kr2Kj,30262,1rr±==⇒=-s K K② 分离点：0100d 150d 1d 1=++++ 求解得87.78d 13.21d 21-=-=，③ 渐近线：o oa a 1806050，，±=ϕ-=σ 根轨迹如图所示。

(2) 系统临界稳定时150750000*==rK K ，(3) 系统临界阻尼比时62.95.48112*==rK K ，4-10 系统的开环传递函数为32)2()(2+++=s s s K s G r ，试绘制系统在∞<<r K 0时的根轨迹，并确定系统临界阻尼时的解：1）开环零、极点：,2j 12,1±-=p2）实轴上根轨迹段：（-2，-∞） 3）分离点和会合点1)( ,22)()( ,32)(2='+='=++=s B s s A s s B s s s A)()()()(s A s B s B s A '=')22)(2(322++=++s s s s s 1=-3.732，s 2=-0.268（舍）此时系统即为临界阻尼情况， 对应的46.5732.1732.22732.2222r=+⨯+=K 4）出射角︒-=︒-︒+︒-=7.1447.5490180θ4-12 系统结构如图所示，试画出回馈系数k 为变数的根轨迹。

解：)110(10)(++=K s s s G 0)110(101)(1=+++=+K s s s G 由 01010s 2=+++⇒s Ks则，系统等效开环传递函数1010)(2++='s s ks s G 1）分离点和会合点1)( ,12)()( ,10)(2='+='=++=s B s s A s s B s s s A )()()()(s A s B s B s A '=')12(102+=++s s s s s 1=-3.16，s 2=3.16（舍）2）与虚轴无交点：010)110(2=+++s k s3）︒-=︒--︒+︒=1.9)1.99(90180θ4-14 系统结构如图所示，闭环根轨迹通过(-0.65+j1.07)点，试绘制r K 从∞→0变化时系统的根轨迹。

-k110+s s1-)(s R )(s Cj3.12),(-0.5︒9.1︒9.1-3.12)(-0.5,-3.16-解：)2)(1()1(10)(1+++=s s s s T K s G 系统特征方程为：0)1(10)2)(1(1=++++s T K s s s 将s=-0.65+j1.07代入上式，可得：667.0,266.01==T K∴G 1 21+d 5所以，与虚轴无交点。

4-16 单位回馈系统的闭环特征方程为04)1(223=++++r r K s K s s 。

试绘制系统的根轨迹，并求闭环出现重根时的r K 值和对应的闭环根。

解：由系统特征方程可得系统等效开环传递函数2)1()4()(++=s s s K s G r12s ss s r.516K+rr1.5 32 1KK+r2K1）根轨迹的渐近线：±-+±==+--=2)12(,124110)2( ππϕσm n k aa夹角交点条渐近线2）与虚轴交点：04)1(223=++++rrK s K s s3）分离点和会合点： 354.041121-=+=++d d d d 求得：分离点对应的04.0646.3646.0646.0354.0r=⨯⨯=K此时特征方程可写为：0)354.0)((23=+-s s s与题目已知系统特征方程对比可得292.13-=s4-17 控制系统结构如图所示，0≥r K ，试画出系统的根轨迹，并分析增益对系统阻尼特性的影响。

解：)1()3)(2()(+++=s s s s K s G r1）分离点和会合点： 31211111-=+++=++d d d d d 求得：123ss s s rrKK 4 21 1+0)1(2=-rK rK42,1j s K r±==⇒j0.354-4-1-22-1此时0718.0366.2366.1366.0634.0r1=⨯⨯=K93.13366.0634.0336.2336.1r2=⨯⨯=K增益对系统阻尼特性的影响：0r>K 时系统都是稳定的；0718.00r<<K 时，系统是过阻尼系统；93.130718.0r<<K 时，系统是欠阻尼系统；93.13r>K 时，系统又变成过阻尼系统。

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