物理竞赛辅导测试卷（力学综合1）一、（10分）如图所时，A 、B 两小球用轻杆连接，A 球只能沿竖直固定杆运动，开始时，A 、B 均静止，B 球在水平面上靠着固定杆，由于微小扰动，B 开始沿水平面向右运动，不计一切摩擦，设A 在下滑过程中机械能最小时的加速度为a ，则a= 。

二、(10分) 如图所示，杆OA 长为R ，可绕过O 点的水平轴在竖直平面内转动，其端点A 系着一跨过定滑轮B 、C 的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块M ，滑轮的半径可忽略，B 在O 的正上方，OB 之间的距离为H ，某一时刻，当绳的BA 段与OB 之间的夹角为α时，杆的角速度为ω，求此时物块M 的速度v M 三、（10分）在密度为ρ0的无限大的液体中，有两个半径为R 、密度为ρ的球，相距为d ，且ρ>ρ0，求两球受到的万有引力。

四、（15分）长度为l 的不可伸长的轻线两端各系一个小物体，它们沿光滑水平面运动。

在某一时刻质量为m 1的物体停下来，而质量为m 2的物体具有垂直连线方向的速度v ，求此时线的张力。

五、(15分)二波源B 、C 具有相同的振动方向和振幅，振幅为0.01m ，初位相相差π，相向发出两线性简谐波，二波频率均为100Hz ，波速为430m/s ，已知B 为坐标原点，C点坐标为x C =30m ，求：①二波源的振动表达式；②二波的表达式；③在B 、C 直线上，因二波叠加而静止的各点位置。

六、(15分) 图是放置在水平面上的两根完全相同的轻质弹簧和质量为m 的物体组成的振子，没跟弹簧的劲度系数均为k ，弹簧的一端固定在墙上，另一端与物体相连，物体与水平面间的静摩擦因数和动摩擦因数均为μ。

当弹簧恰为原长时，物体位于O 点，现将物体向右拉离O 点至x 0处(不超过弹性限度)，然后将物体由静止释放，设弹簧被压缩及拉长时其整体不弯曲，一直保持在一条直线上，现规定物体从最右端运动至最左端（或从最左端运动至最右端）为一个振动过程。

求： （1）从释放到物体停止运动，物体共进行了多少个振动过程；（2）从释放到物体停止运动，物体共用了多少时间？（3）物体最后停在什么位置？（4）整个过程中物体克服摩擦力做了多少功？七、（15分）一只狼沿半径为R 圆形到边缘按逆时针方向匀速跑动，如图所示，当狼经过A 点时，一只猎犬以相同的速度从圆心出发追击狼，设追击过程中，狼、犬和O 点在任一时刻均在同一直线上，问猎犬沿什么轨迹运动？在何处追击上？M O C yxv vB0 v 0八、（15分）经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识，双星系统由两个星体构成，其中两个星体的线度都远小于两星体之间的距离，一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统处理。

现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M ，两者相距L ，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动。

（1）试计算该双星体统的运动周期T 计算，（2）若实验上观测到的运动周期为T观测， 且）（：：计算观测11>=N NT T 。

为了解释T 观测与T 计算的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质，作为一种简化模型，我们假定在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种物质，而不考虑其他暗物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。

九、（20分）一半径为R=1.00m 的水平光滑圆桌面，圆心为O ，有一竖直的立柱固定在桌面上的圆心附近，立柱与桌面的交线是一条凸的平滑的封闭曲线C ，如图所示，一根不可伸长的柔软的细轻绳，一端固定在封闭曲线上的某一点，另一端系一质量为m=7.5×10-2kg 的小物体，将小物块放在桌面上并把绳拉直，再给小物块一个方向与绳垂直，大小为100.4-⋅=s m v 得初速度。

物块在桌面上运动时，绳将缠绕在立柱上，已知当绳的张力为N T 0.2=时，绳即断开，在绳断开前物块始终在桌面上运动。

（1）问绳刚要断开时，绳的伸直部分的长度为多少？（2）若绳刚要断开时，桌面圆心O 到绳的伸直部分与封闭曲线的接触点的连线正好与绳的伸直部分垂直，问物块的落地点到桌面圆心O 的水平距离为多少？已知桌面高度m H 80.0=。

物块在桌面上运动时未与立柱相碰，取重力加速度大小为110-⋅s m十、（25分）如图所示为一半径为R 的实心均质球，在朝地板下落之前球的质心静止，但球绕着过质心的一条水平轴自转，角速度为0ω，球上的最低点距地板的高度为h ，将球释放后，它因受重力而下落且被弹回到最高点高度等于αh 处。

球与地板相碰时的形变可以忽略，设球与地板之间的滑动摩擦系数为已知量κμ，假定球在真空下落，且碰撞时间为有限小量。

球的质量与重力加速度分别记为m 和g ，球绕过质心的轴的转动惯量为252mR I =。

求：（1）反弹偏向角θ的正切值；（2）球在第一次与地板碰撞后到第二次碰撞前，它的质心通过的水平距离。

物理竞赛辅导测试卷参考答案（力学综合）一、解：A 、B 组成的系统机械能守恒，最初E B =0，最后E B =0，对B 物体，某一位置总有杆对它作用力为零 则该处E B 最大，此时E A 最小故g a A =二、解：速度分解如图所示设M 物体的运动速度为v M有 βωβcos cos ⋅⋅=⋅=R v v M 由几何关系有αβsin cos RH = 得 RH αβsin cos =所以M 物体的速度为 αωsin ⋅⋅=H v M三、解：将两球心分别记为O 、O /，若只有球O 单独处于无限大液体中，其受的合引力为0如果将球O /放回原处，相当于用密度为ρ的球代替ρ0的同体积液体因为ρρ>0，代替的结果使O /处的质量增加 )(3403ρρπ-⋅=∆R m 因球O 的质量为ρπ334R m ⋅=则球O 将受到来自球O /的引力故两球的相互引力为 2062209)(16dGR d m Gm F ρρρπ-=∆= 四、解：该系统的质心位于连线上，与第一个物体距离 2111m m lm R +=，并以速度2120m m vm v +=相对于平面运动选择与质心相连的坐标系MωR对第一个物体 1201R v m F =将R 1、v 0代入得 lm m v m m F )(21221+=五、解：设B 点初位相0=φ，由题意知C 点初位相πφ=而πγπω2002=⋅= rad/sB 点的振动方程为t y B ⋅=π200cos 01.0C 点的振动方程为)200cos(01.0φπ+⋅=t y C取B 点为坐标原点，BC 为x 轴正向，则波的表达式为：)430(200cos 01.0x t y B -=π ])43030(200cos[01.0ππ+--=xt y C在BC 线上两波叠加为：)48.6430200cos()48.6200cos(01.0ππππ+-⋅=+=x t y y y C B在x 轴上合振动的位移为零，满足0)48.6430200cos(=+ππx即 2/)12(48.6465.0πππ⋅+=+⋅k x 得 )19,8,7,6()(86.1215.2Λ=-=k m k x因为只有300≤≤x 才是二波叠加区 （x<0无B 波，x>30无C 波） 六、解：（1）振子每次全振动的平衡位置与O 的距离为mg kl ⋅=μ02 则kmgl 20⋅=μ当00l x <时，振子不振动当00l x >时，振子振动规律如下：振子的振动相对平衡位置是简谐振动，故关于平衡位置对称每振动一次与原点距离减小02l 故n 次振动后距离为 002nl x L n -= 当0l L n ≤时，振子将停止 即：0002l nl x ≤-02l l x n -≥所以振动次数为：0000002)12(l lx Int l l x Int N +=+-= （Intf 为f 的整数部分） （2）振子振动周期 k m T 2π= 所以振动时间为 km N t 2π= （3）以O 点为原点建立坐标系，取向右为正方向振子停止的位置在 )2()1(00Nl x x N--=（4）振子每次振动过程经过的路程为 )2(2000nl l x s n -+= 所以N 次振动过程的总路程 )(200Nl x N S N -= 克服摩擦力做功为 )(420000Nl x kNl S kl W N -== 七、解：有题设条件狼、犬速度相等可知，0v v =，并且在追击中任意瞬间，狼、犬在（如图所示的B 、C 点）在一直线上，即0v v ∥θ，且始终有CD v r ⊥，其中Rvr v 0==θω即θv 与0v 的“速端”在一条直线上AD2200,θθv v v R r v v r -==Rr R vv r22-= 所以OCD v Cv r ∆∆∽0，即t ⋅==ωϕα设犬运动的距离为r OC =，而t R OC ωsin =，所以t R r ωsin =。

故犬沿半径为2R的圆弧，在02v R t π=时刻位于R r =处，即在2πα=的b 点追上狼。

犬的运动亦可分解为两个分运动来求解。

八、解：（1）双星均绕它们的连线中点做圆周运动，设运动速率为v ，向心加速度满足下面的方程： 2222LGM L v M = ——① LGMv 2=——② 周期： GMLL v L T 2)2/(2⋅==ππ计算 ————③ （2）根据观测结果，星体的运动周期 计算计算观测T T NT <=1 ————④这说明双星系统中受到的向心力大于本身的引力，故它一定还受到其他指向中心的作用力，按题意这一作用来源于均匀分布的暗物质，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量M /位于中心处的质点相同。

考虑暗物质作用后双星的速度即为观察到的速度v 观，则有：2/222)2/(2L/L MM GL GM v M +=观————⑤ LM M G v 2)4(/+=观 ————⑥因为在轨道一定时，周期和速度成反比，由④式得v Nv 111=观 ————⑦把②、⑥式代入⑦式得 M N M 41/-= ————⑧ 设所求暗物质的密度为ρ，则有M N L 41)2(343-=ρπ 故 32)1(3LMN ⋅-=πρ ————⑨ 九、解：1.因桌面是光滑的，轻绳是不可伸长和柔软的，且在断开前绳都是被拉紧的，故在绳断开前，物块在沿桌面运动的过程中，其速度始终与绳垂直，绳的张力对物块不做功，物块速度的大小保持不变，设在绳刚要断开绳的部分的长度为x ，若此时物快速度的大小为v x ，则有0v v x = （1）绳对物块的拉力仅改变物快速度的方向，是作用于物块的向心力，故有 xmv x mv T x 2020== （2） 由此得 020T mv x = （3）带入数据得 m x 60.0= （4） 2.设在绳刚要断开时，物块位于桌面上的P 点，BP 是绳的伸直部分，物块速度v 0的方向如图解所示，由题意可知，OB ⊥BP ，因物快离开桌面时的速度仍为v o ，物块离开桌面后便做初速度为v o 的平抛运动。