合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是( ) A．在点x0处的斜率 B．在点(x0，f(x0))处切线与x轴所夹锐角的正切值 C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率 D．点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率 解析： 由导数的几何意义知，选项C正确．
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
3.1.3 导数的几何意义
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
自主学习 新知突破
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(2)“导函数”：如果函数 f(x)在开区间(a，b)内每一点都可
导，就说 f(x)在开区间(a，b)内可导，这时对于区间(a，b)内每一
个确定的值 x0，都对应着一个导数 f′(x0)，这样就在开区间(a， b)内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做 f(x)在开区间(a，
b)内的导函数，记作 f′(x)或 y′，即 f′(x)＝y′＝li m
Δx→0
ΔΔyx＝liΔmx→0
fx＋Δx－fx
Δx
.
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(3)导函数也简称导数．所以
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(4)函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)就是导函数 f′(x)在 点 x＝x0 处的函数值，f′(x0)＝f′(x)|x＝x0.
所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数， 再计算这点的导函数值．
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
＝ lim
Δx→0
f－2＋Δx－f－2 Δx
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
＝ lim
Δx→0
－2＋2 Δx－－22 Δx
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
[提示] 割线AB的斜率kAB无限接近于曲线在点A处的切线 的斜率k，k＝f′(x0)．
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x) 在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．
高效测评 知能提升
1．了解平均变化率与割线之间、瞬时变化率与切线之间 的关系，通过函数的图象理解导数的几何意义．
2．了解导函数的概念，会求导函数． 3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方 程．
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点 B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，当点B沿曲线趋近于A时，割 线 AB 的 斜 率 kAB 与 曲 线 在 点 A 处 的 切 线 的 斜 率 k 之 间 有 什 么 关 系？与f′(x0)有什么关系？
切线方程为__y_－__f(_x_0)_＝__f_′(_x_0_)(_x_－__x_0)___．
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
函数y＝f(x)的导函数
从求函数 f(x)在 x＝x0 处导数的过程可以看到，当 x＝x0 时， f′(x0)是一个_确__定___的数．这样，当 x 变化时，f′(x)便是 x 的 一个函数，我们称它为 f(x)的导函数(简称__导__数__)．y＝f(x)的导 函数有时也记作 y′， fx＋Δx－fx
解析： ∵ΔΔyx＝3x＋ΔΔxx2－3x2＝6x＋3Δx， ∴y′|x＝1＝lim (6＋3Δx)＝6.
Δx→0
通过验证得点 A(1,3)在曲线 y＝3x2 上． ∴曲线在点 A(1,3)处的切线斜率为 6. ∴所求的切线方程为 y－3＝6(x－1)， 即 6x－y－3＝0. 答案： 6x－y－3＝0
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
4．求曲线 f(x)＝2x在点(－2，－1)处的切线方程． 解析： ∵点(－2，－1)在曲线 y＝2x上，
∴曲线 y＝2x在点(－2，－1)处的切线斜率就等于 y＝2x在点(－
2，－1)处的导数．
∴k＝f′(－2)
即 f′(x)＝y′＝_Δlix_m→_0______Δ__x_____.
数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
“函数f(x)在点x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间 的区别与联系
(1)“函数在一点处的导数”，就是在该点的函数的改变量 与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是变数．
＝2 处的导数．
f′(2)＝ lim
Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
22＋Δx2－2×22 Δx
＝ lim
Δx→0
8Δx＋Δ2xΔx2＝8，故选 C.
答案： C
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
3．已知曲线y＝3x2，则在点A(1,3)处的曲线的切线方程为 ____________．
答案： C
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
2．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为
()
A．4
B．16
C．8
D．2
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
解析： 曲线在点 A 处的切线的斜率就是函数 y＝2x2 在 x